蔡亞英

摘要：逆向思維屬于反向思維模式，是常規(guī)思維的反向運(yùn)用，以結(jié)果為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行推導(dǎo)，最終得出正確答案.逆向思維也是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，不僅是培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的“有力抓手”.基于此，文章結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的問題，對逆向思維模式在解題中的具體應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)探究，為當(dāng)前的解題教學(xué)提供新的思路與參考.

關(guān)鍵詞：逆向思維；小學(xué)數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)思維

中圖分類號：G622文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0062-03

一直以來，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所使用的思維均屬于正向思維模式.但是在部分?jǐn)?shù)學(xué)問題中，無法直接套用數(shù)學(xué)公式，或者套用數(shù)學(xué)公式無法取得立竿見影的效果，依然面臨著繁雜的計(jì)算.基于此，運(yùn)用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題，已經(jīng)成為教師研究的重點(diǎn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也肯定了逆向思維對于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力強(qiáng)化及今后發(fā)展的重要價(jià)值，并據(jù)此提出了新的教學(xué)要求.鑒于此，在優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維模式，不斷提升數(shù)學(xué)解題能力.

1 逆向思維與小學(xué)數(shù)學(xué)解題研究

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，不僅有助于學(xué)生打破正向思維的束縛，還有助于引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，進(jìn)而靈活運(yùn)用各種解題技巧，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的有效解答.具體來說，其重要性集中體現(xiàn)在兩個(gè)方面.

1.1 有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率

通常情況下，小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常會選擇正向思維的方式，但是很多問題很難運(yùn)用正向思維進(jìn)行解答.當(dāng)正向思維碰壁，無法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，即可借助逆向思維，將復(fù)雜的問題簡單化，以便于學(xué)生在逆向思考中，輕松解答原本繁雜的問題.例如，在計(jì)算9+99+999-48時(shí)，如果按照正向思維進(jìn)行解題，學(xué)生需要經(jīng)過大量的計(jì)算，不僅浪費(fèi)了時(shí)間，且稍有不慎就會滿盤皆輸.基于此，即可借助逆向思維的模式，引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為（9+1）+（99+1）+（999+1）-51.如此，極大地減少了學(xué)生的計(jì)算量，避免了出錯現(xiàn)象，能夠顯著提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.

1.2 有助于打破學(xué)生的定向思維

逆向思維有助于學(xué)生更加全面、系統(tǒng)化地看待問題.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果一味地進(jìn)行正向思維訓(xùn)練，學(xué)生極容易形成“單線條的思考”模式，導(dǎo)致其出現(xiàn)思維定式、問題考慮不全面等現(xiàn)象.通過逆向思維訓(xùn)練，有助于學(xué)生突破定思維定式，在學(xué)習(xí)的過程中逐漸養(yǎng)成多角度看待問題、分析問題、解決問題的習(xí)慣.在這種思維模式下，也有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的遷移、內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)觸類旁通、舉一反三[1].

2 逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

2.1 逆向分析，化繁為簡

在優(yōu)化解題教學(xué)時(shí)，教師可指導(dǎo)學(xué)生展開逆向分析，從結(jié)果出發(fā)，重新進(jìn)行思考并解題.

例1計(jì)算16+112+120+130+142.

解析這是一道分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算題，如果按照常規(guī)的正向思維進(jìn)行分析，要先通分再計(jì)算.但是由于該題目中涉及的項(xiàng)數(shù)比較多，在解題中面臨著極大的困難.鑒于此，可運(yùn)用逆向思維進(jìn)行分析，根據(jù)每一項(xiàng)分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即16=12-13，112=13-14，120=14-15，130=15-16，142=16-17，如此轉(zhuǎn)化之后，原式就可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?2-13）+（13－14）+（14-15）+（15-16）+（16-17）=12-17.

由此可以看出，通過逆向思維的融入，原本比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目變得更加簡單，不僅降低了學(xué)生的運(yùn)算難度，也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題速度.

例2 一家人吃一筐梨，第一天吃了總數(shù)的一半多一個(gè)，第二天吃掉剩下的一半多一個(gè)，第三天吃掉剩下的一半多一個(gè).以此類推，到了第五天之后，筐中只剩下一個(gè)梨.那么，原來筐中有多少梨？

解析如果按照常規(guī)思維解決本題，學(xué)生需要先假設(shè)原來筐中的梨為x個(gè)，之后運(yùn)用分?jǐn)?shù)知識列出一個(gè)非常復(fù)雜的方程.鑒于此，可借助逆向思維的方式，從問題的結(jié)論出發(fā)，以第五天剩下的梨數(shù)為基礎(chǔ)出發(fā)，依次向前逆推，那么第四天梨的個(gè)數(shù)為（1+1）×2=4（個(gè)），第三天梨的個(gè)數(shù)為（4+1）×2=10（個(gè)），第二天梨的個(gè)數(shù)為（10+1）×2=22（個(gè)），第一天梨的個(gè)數(shù)為（22+1）×2=46（個(gè)）.

由此可見，通過逆向思維的應(yīng)用，以結(jié)果為導(dǎo)向，一步步向前推，即可輕松找到問題的答案.

2.2 逆向思維，分析題目中已知條件

在解決數(shù)學(xué)問題之前，學(xué)生在審題時(shí)，必須分清已知條件和所求結(jié)論.在逆向思維的輔助下，學(xué)生在解決問題時(shí)，可一反常態(tài)從所求結(jié)論入手，推導(dǎo)要想實(shí)現(xiàn)這一結(jié)論，需要具備什么樣的條件，進(jìn)而在所求結(jié)論的引導(dǎo)下得出正確的答案.

例3一個(gè)廠家要生產(chǎn)某零件，原計(jì)劃需要用10天生產(chǎn)完畢，每天生產(chǎn)2 000個(gè).但是廠家為了提前交工，實(shí)際上每天多生產(chǎn)500個(gè).實(shí)際比原計(jì)劃提前幾天完成任務(wù)？

解析在分析這一問題時(shí)，即可運(yùn)用逆向思維.要想求出實(shí)際比原計(jì)劃提前幾天完成，需要獲得兩個(gè)已知條件，即實(shí)際生產(chǎn)所用時(shí)間和計(jì)劃時(shí)間.在本題目中，計(jì)劃時(shí)間是已知條件，只需要求出實(shí)際生產(chǎn)所用時(shí)間，即實(shí)際生產(chǎn)所用時(shí)間=總量÷單日生產(chǎn)量.可見，在逆向思維的輔助下，即可得出本題的解法，即10-2 000×10÷（2 000+500）=2.

例4小明之前收集了一些卡片，在這個(gè)星期中又用自己的零花錢購買了20張.之后，小明送給小剛10張卡片，還剩下50張.那么，小明之前共有多少張卡片？

解析在分析并解答這一問題時(shí)，依然要借助逆向思維，通過倒推的方式對題目中的條件展開分析，最終形成具體的解題思路.從小明最終剩下的50張卡片入手，那么根據(jù)題目中的條件得出，小明在送給小剛之前的卡片為50+10=60（張）.繼續(xù)逆推，根據(jù)題目中已知條件得知，小明自己又購買了20張卡片，而這20張卡是包含在60張之內(nèi)，因此他在購買之前的卡片數(shù)量為60-20=40（張）.最終經(jīng)過逆推分析，得到本題目的答案為50+10-20=40（張）.

由此可見，在逆向思維的輔助下，學(xué)生以結(jié)果為起點(diǎn)，通過層層逆推的方式，對題目中的已知條件展開分析，最終形成明晰的解題思路.

2.3 逆向思維，形成解題思路

進(jìn)入到高年級之后，數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生的思維能力要求越來越高.在這種情況下，學(xué)生在日常做題訓(xùn)練中，常常會遇到一些難度比較大的問題.如果學(xué)生依然按照常規(guī)的思維進(jìn)行思考，就會陷入思維的困境，無法形成明確的解題思路.此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生開展逆向思維，從所求的問題出發(fā)，層層剝繭，最終形成明確的解題思路.

例5某養(yǎng)殖戶養(yǎng)殖的小豬和小雞一共有24只，小豬有4只腳，小雞有2只腳，共有54只腳，請問小豬、小雞各有多少只？

解析這一題目與“雞兔同籠”類型相似，學(xué)生如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題，就會受到限制，無從下手.鑒于此，可借助逆向思維的模式，從所求的問題出發(fā)，借助假設(shè)的方式求解.假設(shè)均為小雞，那么24只小雞應(yīng)有48只腳，而多出來的腳自然是充當(dāng)小雞的小豬.由此，通過逆向分析，學(xué)生即可形成明確的解題思路，即（54-24×2）÷2=3（只），因此，小雞的數(shù)量則為24-3=21（只）.

由此可見，在這道題目中，學(xué)生就是在逆向思維的輔助下，以問題為導(dǎo)向，通過層層分析，逐漸形成了解題思路，迅速找到解題的“突破口”[2].

3 培養(yǎng)逆向解題思維，強(qiáng)化學(xué)生解題能力

鑒于逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值，教師應(yīng)有計(jì)劃、有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，使其在潛移默化的訓(xùn)練中逐漸掌握這一解題技巧.

3.1 結(jié)合數(shù)學(xué)概念，滲透逆向思維

對小學(xué)階段的學(xué)生來說，逆向思維比較抽象，依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的思維常常感覺無從下手.鑒于此，教師在日常的教學(xué)中應(yīng)堅(jiān)持點(diǎn)滴滲透的原則，從基本的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，有針對性地滲透逆向思維.例如，在有關(guān)“倒數(shù)”的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，就給學(xué)生舉例：3和13互為倒數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生思考3是13的倒數(shù)，則13也是3的倒數(shù)；在整數(shù)乘法和整數(shù)除法相關(guān)概念教學(xué)中，即可將乘法和除法的概念整合起來，引導(dǎo)學(xué)生思考4×5=20中，4和5均為20的因數(shù)，如果將其反過來，在20÷5=4中，則20就是4和5的倍數(shù).如此，經(jīng)過數(shù)學(xué)課堂上的有意識訓(xùn)練，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中就會逐漸形成一定的逆向思維意識.

3.2 借助倒推法，培養(yǎng)小學(xué)生的逆向思維

倒推法是逆向思維的直觀體現(xiàn)，即引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論或者問題的角度出發(fā)進(jìn)行思考.例如，給某個(gè)數(shù)加上6，乘以6，減去6之后的結(jié)果是36，求這個(gè)數(shù)是多少？在對這一類數(shù)學(xué)問題進(jìn)行講解時(shí)，即可運(yùn)用倒推法，將36看作是已知條件，那么原來的“減”就變成“加”，原來的“乘”就變成“除”，原來的“加”就變成“減”.如此，學(xué)生經(jīng)過一段時(shí)間的倒推訓(xùn)練，其逆向思維能力也會隨之提升.

3.3 巧用變式訓(xùn)練，發(fā)展逆向思維

在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維時(shí)，可運(yùn)用變式訓(xùn)練的模式，將正向思維和逆向思維結(jié)合到一起，促使二者形成強(qiáng)烈的反差，最終達(dá)到既定的思維訓(xùn)練目標(biāo).例如，在“三角形面積”教學(xué)中，為了發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，首先給學(xué)生提出了一個(gè)常規(guī)性的問題：某三角形底邊長為5 m，高為2 m，如果其底邊長增加1 m，則三角形面積會增加多少？針對這一問題，學(xué)生即可運(yùn)用常規(guī)思想，借助三角形面積公式，直接求得答案.在此基礎(chǔ)上，為了發(fā)展學(xué)生的逆向思維，可對題目進(jìn)行變式：已知一個(gè)三角形底邊長為10 m，如果底邊每增加1 m，三角形的面積隨之增加3 m2，那么三角形底邊上的高是多少？在這一變式中，學(xué)生運(yùn)用常規(guī)的思維，顯然無法解答.此時(shí)，即可引導(dǎo)學(xué)生采用逆向思維的方式，從題目中所求三角形的高入手，引導(dǎo)學(xué)生從三角形面積增加3 m2對應(yīng)的底邊長出發(fā)，由此對三角形面積公式進(jìn)行逆用，最終完成題目的解答.

4 結(jié)束語

逆向思維是解決小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中疑難問題的有力武器，學(xué)生的逆向思維能力也直接反映了其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).鑒于此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在日常解題教學(xué)中，應(yīng)重視逆向思維能力在解題中的重要性，并結(jié)合日常數(shù)學(xué)基本概念、例題、變式訓(xùn)練等模式，強(qiáng)化小學(xué)生的逆向思維意識，培養(yǎng)小學(xué)生的逆向思維能力，最終促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成一定的逆向思維能力，并將其熟練應(yīng)用到日常解題中.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 劉紅紅.逆向思維在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略[J].智力，2021（19）：77-78.

[2] 石玉杰.讓逆向思維的培養(yǎng)貫穿在數(shù)學(xué)解題中[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2020（12）：70.

［責(zé)任編輯：李璟］