姚春靜

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)已由“數(shù)”與“量”的教學(xué)改變?yōu)椤皵?shù)”與“形”的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念是目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)。在“圖形和幾何”的教學(xué)中，教師可以從直觀操作入手啟發(fā)學(xué)生合理想象，以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

［關(guān)鍵詞］ 空間觀念；直觀操作；合理想象

數(shù)學(xué)教學(xué)已由“數(shù)”與“量”的教學(xué)改變?yōu)椤皵?shù)”與“形”的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念是目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù)。在傳統(tǒng)“圖形和幾何”的教學(xué)中，教師過度強(qiáng)調(diào)公式的理解與記憶以及公式的直接運(yùn)用，忽視了學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)，這樣不僅影響學(xué)生對知識理解的深度，而且影響學(xué)生其他思維的發(fā)展。因此，在“圖形和幾何”的教學(xué)中，教師應(yīng)重視帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識形成和發(fā)展的過程，在參與的過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，為實(shí)際物體和幾何圖形搭建空間想象之橋，以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬Πl(fā)展學(xué)生空間觀念的一些認(rèn)識。

一、經(jīng)歷圖形概念本質(zhì)的抽象過程，建立空間觀念

“圖形的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識的基礎(chǔ)，也是幫助學(xué)生建立空間觀念的重要載體。在教學(xué)中，教師要從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、想象等活動(dòng)建立豐富的表象；引導(dǎo)學(xué)生借助空間觀念進(jìn)行概念本質(zhì)的抽象，幫助其理解和掌握相關(guān)概念。比如，在“三角形的認(rèn)識”一課教學(xué)中，教師可以通過實(shí)踐操作活動(dòng)幫助學(xué)生建立空間觀念，讓學(xué)生理解兩個(gè)概念——三角形和高。

1. 借助“做”和“想”，建立圖形表象

對于三角形，學(xué)生并不陌生，可以從生活中找到許多三角形，不過在理解三角形的定義時(shí)卻犯了難。筆者在課后調(diào)研發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生認(rèn)為教材上的定義過于抽象，應(yīng)該改為“三條邊、三個(gè)角和三個(gè)頂點(diǎn)組成的圖形為三角形”。學(xué)生認(rèn)為這樣的“新概念”直接呈現(xiàn)了三角形的明顯特征，不僅好理解，而且好記憶。可見，學(xué)生并未理解“首尾相接”這一本質(zhì)特征?；诖?，教師預(yù)留充足的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、交流、描述、抽象等活動(dòng)理解概念的本質(zhì)，形成正確的認(rèn)識。

（1）巧借畫圖，促進(jìn)概念動(dòng)態(tài)生成

師：請大家在紙上任意畫1個(gè)三角形，并簡單描述畫圖過程。

生1：先畫1條線段，然后以該線段其中的1個(gè)端點(diǎn)為起點(diǎn)畫1條線段，最后把2條線段連接在一起。

生2：先畫1條線段，在線段外找一點(diǎn)，然后將線段的2個(gè)端點(diǎn)和這個(gè)點(diǎn)連接。

生3：我直接在紙上確定3個(gè)點(diǎn)，然后每2個(gè)點(diǎn)畫1條線段。

師：很好，數(shù)一數(shù)，你們畫了幾條線段呢？

生（齊聲答）：3條。

師：共有幾個(gè)頂點(diǎn)呢？

生（齊聲答）：3個(gè)。

師：奇怪了，1條線段有2個(gè)端點(diǎn)，3條線段有6個(gè)端點(diǎn)，這里卻只看到了3個(gè)頂點(diǎn)，還有3個(gè)點(diǎn)藏哪里去了呢？

生4：端點(diǎn)兩兩重合在一起了。

師：也就是說，這個(gè)點(diǎn)既是這條線段的端點(diǎn)，也是另1條線段的端點(diǎn)。（教師邊演示邊說）

師：如果讓你們用一個(gè)詞語來描述這2條線段，想怎么描述呢？

生5：首尾相接。

師：很好，其實(shí)無論你們運(yùn)用什么方法畫圖，最重要的都是把3條線段首尾連接起來。

師：請你們用自己的語言描述一下，什么是三角形呢？

學(xué)生互動(dòng)交流，概括指出：三條線段首尾相接圍成的圖形是三角形。

教學(xué)中，教師打破常規(guī)的教學(xué)模式，讓學(xué)生通過經(jīng)歷操作、描述、抽象等過程理解了“首尾相接”這一關(guān)鍵特征。通過創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)由幾條邊、幾個(gè)角轉(zhuǎn)移到幾個(gè)頂點(diǎn)，不僅讓學(xué)生正確理解了“首尾相接”的關(guān)鍵特征，而且為學(xué)生抽象三角形的概念積累了初步的經(jīng)驗(yàn)。

（2）巧借平移，動(dòng)態(tài)體驗(yàn)概念本質(zhì)

師：是不是任意位置上的3個(gè)點(diǎn)都能畫三角形呢？（學(xué)生沉思）

師：圖1中有4個(gè)點(diǎn)，是不是任意選擇3個(gè)點(diǎn)都能畫出三角形呢？

生6：不是，如果選的B、C、D3個(gè)點(diǎn)不能畫三角形，說明這3個(gè)點(diǎn)在1條直線上。

師：非常好！若想把B、C、D3個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，圍成1個(gè)三角形，可以怎么操作呢？

生7：可以將這3個(gè)點(diǎn)改變一下位置，如將B點(diǎn)向上或向下移幾個(gè)格子。

師：B點(diǎn)不能向左或向右移動(dòng)嗎？

生（齊聲答）：不能，那樣3個(gè)點(diǎn)還是在1條直線上。

師：很好，現(xiàn)在去掉A點(diǎn)（如圖2），只移動(dòng)D點(diǎn)，可以怎么移？

教師點(diǎn)名讓學(xué)生上講臺移一移，其他學(xué)生想象D點(diǎn)移到其他位置時(shí)，可以畫出怎樣的三角形。教師演示學(xué)生操作結(jié)果（如圖3）。

師：經(jīng)歷以上過程，請大家想一想，怎樣的3個(gè)點(diǎn)能畫出三角形呢？你認(rèn)為怎樣的圖形是三角形呢？

由此，通過經(jīng)歷“畫圖”和“平移”，學(xué)生對三角形形成了正確的認(rèn)識。在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，教師給出三角形的定義也就水到渠成了。

雖然教學(xué)中并不要求學(xué)生給出準(zhǔn)確的定義，但是教師還是有必要設(shè)計(jì)一些開放性的、富有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)，讓學(xué)生參與到定義的抽象過程之中，以此通過參與理解概念的本質(zhì)，幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)知。此外，通過觀察、操作、想象等活動(dòng)，讓學(xué)生明晰3個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系，既可以讓學(xué)生感悟“不共線”的本質(zhì)，又能培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

2. 由聯(lián)想到想象，發(fā)展抽象素養(yǎng)

聯(lián)想即聯(lián)系的思想，是表現(xiàn)想象力的一種思維方式。學(xué)習(xí)中通過聯(lián)想可以達(dá)到以舊見新、由淺入深的效果。在教學(xué)“三角形高的認(rèn)識”時(shí)，教師從聯(lián)系的觀點(diǎn)出發(fā)，讓學(xué)生通過經(jīng)歷對比分析體會高的本質(zhì)。

教師先出示圖4中①圖。

師：B、C兩點(diǎn)不動(dòng)，將A點(diǎn)向下平移，△ABC會發(fā)生怎樣的變化呢？

生8：它會變得越來越矮。

學(xué)生給出結(jié)果后，教師用課件動(dòng)態(tài)演示，并給出圖4中②和③圖。

師：確實(shí)，△ABC變得越來越矮了，那么是什么原因使它變矮了呢？

生9：當(dāng)點(diǎn)A向下平移時(shí)，點(diǎn)A到邊BC的距離變得越來越短了。

師：這里頂點(diǎn)到邊的距離就是三角形的高。

師：觀察圖4中①圖，用哪條線段可以表示△ABC的高呢？（教師點(diǎn)名讓學(xué)生在課件上指出）

從學(xué)生反饋來看，大多數(shù)學(xué)生能夠準(zhǔn)確地指出高，但也有個(gè)別學(xué)生認(rèn)為AB和AC是△ABC的高，教師及時(shí)糾正。

師：說一說，你指出的高的2個(gè)端點(diǎn)分別在什么位置呢？

生10：一端為點(diǎn)A，即△ABC的頂點(diǎn)，另一端在BC邊上。

教師預(yù)留了一定的時(shí)間讓學(xué)生先互動(dòng)交流，然后讓學(xué)生用自己的語言描述“什么是三角形的高”，學(xué)生認(rèn)為頂點(diǎn)到它對邊的垂直線段是三角形的高。

師：如果這樣你們還能畫出三角形的高嗎（教師隱去圖4中的②和③圖及方格）？它和我們之前學(xué)的哪個(gè)知識有關(guān)呢？

生11：過點(diǎn)A畫BC邊的垂直線段。

在本課學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“點(diǎn)到直線的距離”，教師引導(dǎo)學(xué)生將新知與舊知建立聯(lián)系，不僅為學(xué)生提供聯(lián)想機(jī)會，而且可以消除學(xué)生的模糊認(rèn)識，為接下來繼續(xù)探究高的本質(zhì)提供有力的支持。

一般情況下，學(xué)生理解和掌握水平底邊上的高后，教師會呈現(xiàn)高的概念，然后讓學(xué)生根據(jù)概念畫出另外2條高。這樣在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生能夠畫出另外2條高，但是學(xué)生對高的理解還不夠深入，甚至?xí)嬖谝恍┢娴恼J(rèn)識?；诖?，教師繼續(xù)提供變式圖形讓學(xué)生辨析，從而抽象出高的本質(zhì)。

師：如圖5，若將三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)這條垂線段還是△ABC的高嗎？

生12（脫口而出）：不是。

師：說說你的理由。

生12：因?yàn)槟菞l線是斜的。

生13：不對，雖然看上去斜了，但是它依然是從點(diǎn)A到對邊的垂線段，所以它還是△ABC的高。

師：說得很好。大家想一想，除了剛才畫的這條高，還有其他的高嗎？

最后，學(xué)生通過互動(dòng)交流畫出了三角形的另外2條高。

在以上教學(xué)中，為了深化理解，凸顯本質(zhì)，教師在原有基礎(chǔ)上繼續(xù)變一變，通過“旋轉(zhuǎn)”預(yù)設(shè)陷阱，讓學(xué)生通過辨析對三角形的高形成了全面的、深刻的認(rèn)識。在學(xué)生理解并掌握三角形的高的本質(zhì)后，教師引導(dǎo)學(xué)生探尋另外2條高，以此進(jìn)一步深化學(xué)生對高的本質(zhì)及基本特點(diǎn)認(rèn)識，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，提升了學(xué)生的抽象素養(yǎng)。

二、借助二維到三維的靈活轉(zhuǎn)化，發(fā)展空間觀念

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)立體圖形時(shí)，容易因空間觀念薄弱而出現(xiàn)思維障礙。因此，教師要幫助學(xué)生突破障礙，不僅要讓學(xué)生準(zhǔn)確地把握圖形的本質(zhì)特征，還要實(shí)現(xiàn)二維平面與三維空間的靈活轉(zhuǎn)化，以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念。筆者以“長方體和正方體”中的“動(dòng)手做”為例，談?wù)剬θ绾瓮怀鰣D形本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生空間觀念的一些認(rèn)識，供參考。

教師課件出示教材問題，如圖6。

在研究“動(dòng)手做”這一內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了長方體和正方體的基本特征，并掌握了對應(yīng)的展開圖。在實(shí)際教學(xué)中，對于此類問題教師常常一帶而過。殊不知，該類問題非常富有思考性、探索性和趣味性，在教學(xué)中若能很好利用不僅可以促進(jìn)相關(guān)知識的深化，而且可以提升學(xué)生的空間觀念。在具體教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，提供相應(yīng)的素材讓學(xué)生邊操作、邊想象，在二維平面向三維立體的轉(zhuǎn)化中發(fā)展學(xué)生空間觀念。

1. 利用已知、明確方法

課始，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)長方體和正方體的基本特征，為接下來的探究活動(dòng)奠基。

師：若想圍成1個(gè)長方體和正方體，至少需要幾張卡片呢？

生（齊聲答）：6張。

師：你們想怎么選呢？

生1：圍成正方體比較簡單，選擇6張相同的正方形卡片即可。（學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成生1的說法）

師：如果要圍成1個(gè)長方體呢？

生2：選擇3種不同的紙片各2張，因?yàn)橄鄬Φ拿嫦嗤募埰梢試砷L方體。

生3：還有一種特殊的長方體，其中一組相對的面是正方形，另外兩組相對的面是完全相同的長方形。

根據(jù)互動(dòng)交流結(jié)果，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)（如表1）

教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生從長方形和正方形的特征出發(fā)，通過由淺入深、層層深入地逐層探究，幫助學(xué)生理清了思路。

2. 借助活動(dòng)，靈活轉(zhuǎn)化

活動(dòng)1：1種紙片

活動(dòng)1比較簡單，確定選擇6張邊長是8cm或10cm的正方形紙片，以此圍成正方體。

活動(dòng)2：2種紙片

師：想一想，怎么選2種紙片呢？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生想象）

生4：可以選8cm的正方形和長為10cm、寬為8cm的長方形紙片。

師：你們能想象出長方體的形狀嗎？

生5：它是1個(gè)長和寬均為8cm、高為10cm的長方體，上下2個(gè)面是邊長為8cm的正方形。

生5的答案給出后，為了讓學(xué)生更加形象地感知長方體，教師用課件演示生5給出的想象過程（如圖7）。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生繼續(xù)想象，學(xué)生得到了另外3種不同的拼法（如圖8）。

活動(dòng)3：3種紙片

師：怎么選3種紙片？怎么擺呢？請大家動(dòng)手做一做。

有了活動(dòng)二的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生用長10cm、寬8cm，長10cm、寬5cm，長8cm、寬5cm的3種紙片拼出了1個(gè)長10cm、寬8cm、高5cm的長方體，教師課件演示（如圖9）。

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，將操作與想象相結(jié)合，讓學(xué)生憑借想象走向抽象的思維，不僅發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

3. 有序反思，小結(jié)提升

師：經(jīng)歷以上過程，你們有哪些收獲？

生6：長方體和正方體都有6個(gè)面，但是在圍的過程中只要想清楚3個(gè)面的位置就可以了。

生7：在操作時(shí)可以從特殊出發(fā)，先考慮正方體，再考慮長方體。

生8：也可以先特殊再一般，比如研究長方體時(shí)可以從特殊的長方體出發(fā)，考慮如何用2種紙片圍長方體。

4. 有序想象，拓展延伸

師：如果只選擇1種長方形，能不能圍成長方體呢？

生（齊聲答）：不能。

師：如果我們選擇1個(gè)長為10cm、高為8cm的長方形紙片做底面，再選2個(gè)不同的長方形紙片做前面和右面，那么另外2個(gè)長方形應(yīng)該是什么樣子的呢？

生9：2個(gè)長方形紙片的長分別為10cm和8cm，如果長方體的高為1cm，就需要長10cm、寬1cm和長8cm、寬1cm的長方形紙片。

師：很好，那么要圍成1個(gè)高為2cm的長方體呢？

生10：需要長10cm、寬2cm和長8cm、寬2cm的長方形紙片。

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從長、寬、高的角度有序想象，幫助學(xué)生建立了完整的長方體表象。在以上教學(xué)活動(dòng)中，教師不是將知識強(qiáng)灌給學(xué)生，而是教給學(xué)生合適的方法去操作、去想象，讓學(xué)生在二維平面和三維空間中自由穿行，這樣既提升其學(xué)習(xí)信心，又促進(jìn)其空間觀念的發(fā)展。

總之，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念與培養(yǎng)學(xué)生其他數(shù)學(xué)能力一樣，需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程。教師要認(rèn)真地研究教學(xué)、研究學(xué)生，找到合適的切入點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“表象—抽象”的過程，發(fā)展其空間觀念。