劉竟飛 姜潮 倪冰雨 汪宗太

摘要：

針對(duì)實(shí)際工程中存在的具有多個(gè)輸出響應(yīng)的高維問(wèn)題，提出一種基于主動(dòng)學(xué)習(xí)與貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高維多輸出不確定性傳播方法。利用多個(gè)輸出響應(yīng)對(duì)應(yīng)同一組輸入變量的特點(diǎn)，對(duì)輸入變量進(jìn)行一次性采樣，從而構(gòu)造初始訓(xùn)練樣本集。采用貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初步構(gòu)建高維多輸出問(wèn)題的代理模型。貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠同時(shí)求解多個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的不確定性估計(jì)，基于該特點(diǎn)發(fā)展了一種針對(duì)高維多輸出問(wèn)題的主動(dòng)加點(diǎn)策略，通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)的方式進(jìn)一步構(gòu)建具有較高精度的高維多輸出代理模型。然后，利用蒙特卡羅采樣方法以及高斯混合模型求解多個(gè)輸出響應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。研究結(jié)果表明，所提方法不僅能夠避免分別對(duì)多個(gè)輸出響應(yīng)進(jìn)行獨(dú)立求解的復(fù)雜過(guò)程，而且能夠利用多個(gè)輸出響應(yīng)之間的關(guān)聯(lián)，主動(dòng)篩選關(guān)鍵樣本點(diǎn)進(jìn)行建模，在一定程度上提高了高維多輸出問(wèn)題的求解效率。最后，通過(guò)幾個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞：主動(dòng)學(xué)習(xí)；貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；高維不確定性；多輸出問(wèn)題

中圖分類號(hào)：TP182

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.05.004

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

High Dimensional Multioutput Uncertainty Propagation Method

via Active Learning and Bayesian Deep Neural Network

LIU Jingfei1? JIANG Chao2? NI Bingyu2? WANG Zongtai3

1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Henan University of Technology，

Zhengzhou，450001

2.School of Mechanical and Vehicle Engineering，Hunan University，Changsha，410082

3.China Nuclear Power Engineering Co.，Ltd.，Beijing，100048

Abstract： An uncertainty propagation method was proposed based on active learning and BDNN for solving the high dimensional multioutput problems existed in practical engineering. Since the multiple output responses corresponded to the same input variables， the efficient one-step sampling was implemented and the initial training dataset was established. BDNN was utilized for initially establishing the surrogate model for high dimensional multioutput problem. Because BDNN might provide the uncertainty estimation for multiple predictive output responses simultaneously， an active sampling strategy was proposed for high dimensional multioutput problem. Then， Monte Carlo sampling（MCS） method and Gaussian mixture model were combined for computing the joint probability density function of multiple output responses. The results show that proposed method may avoid the repeated computing processes for different output responses individually， and make full use of the internal relationship among multiple output responses for implementing active learning. Therefore， the efficiency for solving high-dimensional multioutput problems may be improved to some extent. Finally， several numerical examples were utilized to validate the efficiency of the proposed method.

Key words： active learning； Bayesian deep neural network（BDNN）； high dimensional uncertainty； multioutput problem

收稿日期：20240322

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（52235005）；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目計(jì)劃（23A460011）；河南工業(yè)大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)基金（2022BS025）；國(guó)家自然科學(xué)基金（52175224）

0? 引言

由于材料屬性、幾何尺寸以及外載荷等不確定因素的存在，造成結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有不確定性的問(wèn)題廣泛存在于實(shí)際工程中［1］。度量與分析輸入不確定因素對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)造成的影響及其規(guī)律，對(duì)提高結(jié)構(gòu)的安全性及可靠性至關(guān)重要。

不確定性傳播分析是可靠性分析中的重要環(huán)節(jié)［2］，其主要任務(wù)就是根據(jù)輸入變量的統(tǒng)計(jì)特性求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性（即結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)）。近年來(lái)，可靠性分析領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展出較多方法來(lái)解決這一問(wèn)題，這些方法大致可以分為以下幾類：①直接采樣法，包括蒙特卡羅采樣（Monte Carlo sampling， MCS）法［3］以及重要抽樣法［4］等。這類方法直接根據(jù)輸入變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行大批量采樣，并根據(jù)結(jié)構(gòu)在這些樣本點(diǎn)上的響應(yīng)求解其統(tǒng)計(jì)特性。直接采樣法的主要優(yōu)點(diǎn)是只要有足夠多的樣本就可以保證求解結(jié)果的精確性。②局部近似法，也稱最可能點(diǎn)法，包括一階可靠性方法［5］以及二階可靠性方法［6］等。這類方法利用低階的泰勒展開在最大可能失效點(diǎn)處逼近真實(shí)的功能函數(shù)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算并提高求解效率。由于采用了基于梯度的迭代策略，當(dāng)目標(biāo)問(wèn)題的非線性程度較低時(shí)，局部近似法能夠快速收斂。③基于代理模型的方法，常用的代理模型包括混沌多項(xiàng)式展開（polynomial chaos expansion， PCE）［7］以及Kriging［8］等。這類方法首先建立功能函數(shù)的代理模型，進(jìn)而通過(guò)調(diào)用代理模型來(lái)求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)，以減少對(duì)復(fù)雜且耗時(shí)的數(shù)值仿真模型的調(diào)用次數(shù)。④數(shù)值積分法，主要包括單變量降維法（univariate dimension reduction method， UDRM）［9］以及稀疏網(wǎng)格積分法（sparse grid integration method， SGIM）［10］等。這類方法通過(guò)數(shù)值積分的方式求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩，進(jìn)而利用最大熵方法求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù)。

基于主動(dòng)學(xué)習(xí)與貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高維多輸出不確定性傳播方法——?jiǎng)⒕癸w? 姜? 潮? 倪冰雨等

中國(guó)機(jī)械工程 第35卷 第5期 2024年5月

盡管在不確定性傳播領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展出了一些較為有效的方法，但大多數(shù)方法只針對(duì)低維問(wèn)題較為有效。然而，高維不確定性問(wèn)題廣泛存在于實(shí)際工程中，其不確定傳播分析亟待解決［11-12］。高維不確定性傳播分析的難點(diǎn)主要在于：①對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，往往很難顯式地推導(dǎo)出輸入變量與輸出響應(yīng)之間的映射關(guān)系，即目標(biāo)問(wèn)題為“黑箱”［13］，因此，無(wú)法直觀判斷各輸入變量之間的相互關(guān)系以及目標(biāo)問(wèn)題的非線性程度強(qiáng)弱，往往需要通過(guò)調(diào)用耗時(shí)的數(shù)值仿真模型［14］來(lái)計(jì)算其響應(yīng)。對(duì)于高維問(wèn)題，這種“黑箱”效應(yīng)更加明顯，由于變量數(shù)目眾多，為對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行更加精準(zhǔn)的模擬，需要在有限元模型或計(jì)算機(jī)仿真程序中考慮更多細(xì)節(jié)，從而使模擬過(guò)程變得更為復(fù)雜，即使是單次調(diào)用也非常耗時(shí)。②對(duì)于高維問(wèn)題，很難根據(jù)少量樣本構(gòu)建其模型并開展不確定性分析，因此，解決高維問(wèn)題通常需要更多的樣本量來(lái)保證求解結(jié)果的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性，將給不確定性傳播分析帶來(lái)更為嚴(yán)峻的效率問(wèn)題。③現(xiàn)有低維不確定性傳播方法在求解高維問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)遇到計(jì)算誤差大、求解效率低甚至維數(shù)災(zāi)難等問(wèn)題，無(wú)法直接應(yīng)用于高維問(wèn)題的求解，如對(duì)于一個(gè)200維的問(wèn)題，若采用3階混沌多項(xiàng)式進(jìn)行求解，則需要計(jì)算1 373 701個(gè)（百萬(wàn)級(jí)）正交多項(xiàng)式基，為穩(wěn)定地求解正交多項(xiàng)式的系數(shù)，至少需要2×1 373 701個(gè)樣本。④在實(shí)際工程中，不確定性傳播問(wèn)題往往具有多個(gè)輸出響應(yīng)［15］，這增加了不確定性傳播分析的難度。

現(xiàn)有低維不確定性傳播方法在求解高維問(wèn)題時(shí)通常會(huì)遇到的具體問(wèn)題包括：①直接采樣法因其巨大的計(jì)算量而無(wú)法滿足實(shí)際工程需求。②局部近似法除了容易陷入局部最優(yōu)解外，在求解“黑箱”問(wèn)題時(shí)需利用有限差分法求解梯度并更新迭代方向，該步驟往往需要很大的計(jì)算量。③現(xiàn)有代理模型方法在建立較為精確的全局代理模型時(shí)，所需樣本數(shù)量往往隨著輸入變量的維度增加呈現(xiàn)指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)難”［16］。④數(shù)值積分法在求解非線性程度較強(qiáng)的高維問(wèn)題時(shí)存在計(jì)算精度和效率問(wèn)題，UDRM法是基于降維策略進(jìn)行的，容易引入近似誤差，SGIM法所需樣本量會(huì)隨著輸入變量維度及積分階次快速增加。

為求解高維不確定性傳播問(wèn)題，TRIPATHY等［14］利用活躍子空間技術(shù)對(duì)輸入變量進(jìn)行降維，降低了構(gòu)建Kriging模型（也稱作高斯過(guò)程回歸模型）的輸入變量維度。BOUHLEL等［11］利用偏最小二乘法［17］對(duì)輸入變量進(jìn)行坐標(biāo)變換，并在新的坐標(biāo)空間中篩選出主變量，從而減少構(gòu)建Kriging模型的輸入變量個(gè)數(shù)。ZHOU等［18］將稀疏偏最小二乘法與PCE模型相結(jié)合，進(jìn)而求解高維不確定性傳播問(wèn)題。LATANIOTIS等［19］利用主成分分析對(duì)輸入變量進(jìn)行降維，并結(jié)合Kriging模型求解高維不確定性傳播問(wèn)題。LI等［20］首先利用UDRM構(gòu)建初步的全局代理模型，然后將Kriging模型與主動(dòng)學(xué)習(xí)相結(jié)合，對(duì)代理模型進(jìn)行細(xì)化。然而，上述方法存在一些缺點(diǎn)：①它們都是基于降維方法開展的，而降維方法本身有其適用條件，如偏最小二乘法適用于輸入變量之間具有較強(qiáng)相關(guān)性的問(wèn)題，而活躍子空間技術(shù)則假設(shè)僅有少數(shù)輸入變量對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響較大。對(duì)于不滿足這些條件的問(wèn)題，上述方法可能產(chǎn)生較大誤差。②上述方法僅針對(duì)具有單個(gè)輸出響應(yīng)的高維不確定性問(wèn)題開展研究，而對(duì)具有多個(gè)輸出響應(yīng)的高維不確定性問(wèn)題則無(wú)法有效適用。

近年來(lái)，基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的方法已廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性分析［21］。作為一種代理模型構(gòu)建方法，其一般求解步驟為：①利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成初始樣本點(diǎn)，并初步構(gòu)建Kriging模型。②根據(jù)Kriging模型對(duì)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的不確定性估計(jì)構(gòu)造主動(dòng)加點(diǎn)函數(shù)，并通過(guò)優(yōu)化主動(dòng)加點(diǎn)函數(shù)篩選出對(duì)提升代理模型精度貢獻(xiàn)最大的輸入樣本點(diǎn)。③通過(guò)實(shí)驗(yàn)或數(shù)值仿真分析計(jì)算與新增輸入樣本點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，進(jìn)而更新訓(xùn)練樣本集與Kriging模型。④重復(fù)執(zhí)行步驟①～步驟③，直至達(dá)到收斂條件，即可得到滿足精度要求的代理模型。雖然主動(dòng)學(xué)習(xí)方法能夠通過(guò)篩選出關(guān)鍵樣本點(diǎn)來(lái)提高構(gòu)建代理模型的效率，但利用Kriging模型處理高維問(wèn)題時(shí)可能會(huì)遇到維數(shù)災(zāi)難以及參數(shù)求解病態(tài)的問(wèn)題，無(wú)法有效地解決高維不確定性傳播問(wèn)題。

近年來(lái)，貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Bayesian deep neural network， BDNN）的發(fā)展，使上述問(wèn)題可以得到較好的解決。首先，作為一種深度學(xué)習(xí)模型，BDNN能夠有效適用于高維多輸出問(wèn)題。其次，BDNN利用貝葉斯方法進(jìn)行模型參數(shù)求解［22］，能夠?qū)崿F(xiàn)自適應(yīng)地正則化，從而有效避免欠擬合或過(guò)擬合現(xiàn)象。此外，BDNN能夠求解多個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的不確定性估計(jì)［23］，便于通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)［24］的方式構(gòu)建高維問(wèn)題的代理模型，從而提升高維不確定性傳播分析的效率。主動(dòng)學(xué)習(xí)與BDNN分別具有各自的優(yōu)點(diǎn)，使其成為解決高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題的重要選擇。

因此，本文提出一種基于主動(dòng)學(xué)習(xí)與貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高維多輸出不確定性傳播方法。一方面，該方法能夠有效利用主動(dòng)學(xué)習(xí)篩選出對(duì)提高代理模型精度貢獻(xiàn)較大的樣本點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)高維多輸出代理模型的快速構(gòu)建；另一方面，該方法不需要借助降維分析，能夠直接在高維空間中求解多輸出不確定性傳播問(wèn)題。最后，通過(guò)幾個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1? 問(wèn)題描述

首先，對(duì)于具有T個(gè)輸出響應(yīng)的結(jié)構(gòu)，其不確定性傳播問(wèn)題可以表達(dá)為［14］

fy（y）=∫Ωδ（y－g（x））fx（x）dx（1）

式中，fy（y）表示T個(gè)輸出響應(yīng)y=（y1，y2，…，yT）的聯(lián)合概率密度函數(shù)，yT為第T個(gè)輸出響應(yīng)；δ（·）表示Diracs δ函數(shù)；g（·）表示多輸出問(wèn)題模型；fx（x）表示M維輸入變量x=（x1，x2，…，xM）的聯(lián)合概率密度函數(shù)，xM為第M個(gè)輸入變量；Ω為輸入變量的定義域。

對(duì)于高維多輸出問(wèn)題，現(xiàn)有方法大多采用“逐個(gè)擊破”的策略，分別針對(duì)多個(gè)輸出響應(yīng)進(jìn)行單獨(dú)求解。這樣的方法主要存在以下弊端：①需要反復(fù)執(zhí)行建模與求解過(guò)程，不僅使求解變得復(fù)雜，甚至?xí)褂?jì)算量成倍增加。如采用UDRM或PCE進(jìn)行高維多輸出不確定性傳播分析時(shí)需要分別構(gòu)建多個(gè)代理模型，從而會(huì)增加求解復(fù)雜程度；再如，當(dāng)采用Kriging模型及主動(dòng)學(xué)習(xí)方法分別求解多個(gè)輸出響應(yīng)時(shí)，由于多個(gè)主動(dòng)加點(diǎn)過(guò)程中所篩選的樣本點(diǎn)并不完全一致，從而會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加。②單獨(dú)求解多個(gè)輸出響應(yīng)時(shí)無(wú)法利用各輸出響應(yīng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)提高求解效率，進(jìn)而會(huì)造成樣本信息利用不充分。綜上可知，現(xiàn)有方法不能有效地適用于高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題的求解。

2? 本文所提方法

為解決高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題，本文提出一種基于主動(dòng)學(xué)習(xí)與貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BDNN）的高維多輸出不確定性傳播方法，所提方法的求解流程如圖1所示。

2.1? 多輸出貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

本文所提方法采用BDNN直接構(gòu)建高維多輸出不確定性問(wèn)題的代理模型。具有L個(gè)隱含層以及T個(gè)輸出響應(yīng)的BDNN如圖2所示，可將其表達(dá)為［25］

h（x;τ，θμ）=

ht，L+1（∑HLi=1w（L+1）τ，ihL·

（∑HL－1j=1w（L）i，jhL－1（…）+

b（L）i）+b（L+1）τ） （2）

式中，h（x;τ，θμ）表示BDNN的第τ（τ=1，2，…，T）個(gè)輸出響應(yīng)；hτ，L+1（·）表示BDNN輸出層（即BDNN的第L+1層）中第τ個(gè)神經(jīng)元的激活函數(shù)；b（L+1）τ為輸出層中第τ個(gè)神經(jīng)元的偏置參數(shù)；θμ為BDNN的模型均值參數(shù)向量，θμ=（w（L+1）τ，i，w（m）i，j，b（L+1）τ，b（m）i），其中w（L+1）τ，i為輸出層中第τ個(gè)神經(jīng)元對(duì)第L個(gè)隱含層中第i個(gè)神經(jīng)元的權(quán)重，w（m）i，j（i=1，2，…，Hm；j=1，2，…Hm－1；m=1，2，…，L）為第m個(gè)隱含層中第i個(gè)神經(jīng)元對(duì)第m-1個(gè)隱含層中第j個(gè)神經(jīng)元的權(quán)重（Hm為第m個(gè)隱含層中的神經(jīng)元數(shù)量），b（L+1）τ為輸出層中第τ個(gè)神經(jīng)元的偏置，b（m）i為第m個(gè)隱含層中第i個(gè)神經(jīng)元的偏置；hL（·） 表示第L個(gè)隱含層中的激活函數(shù)；HL 為第L個(gè)隱含層中的神經(jīng)元數(shù)量；w（L）i，j（i=1，2，…，HL;j=1，2，…，HL－1）為第L個(gè)隱含層中第i個(gè)神經(jīng)元對(duì)第L-1個(gè)隱含層中第j個(gè)神經(jīng)元的權(quán)重。

deep neural network

本文采用貝葉斯方法求解BDNN參數(shù)的后驗(yàn)分布［22］。假設(shè)BDNN的各個(gè)輸出響應(yīng)均存在高斯噪聲ε～Ν（0，θσ2），θσ2為高斯噪聲的方差參數(shù)，則該輸出響應(yīng)可以記作g^t（x）=h（x，τ;θμ）+ε，進(jìn)而可以將BDNN的概率模型表示為

p（g^t（x）|x，θ）=Ν（h（x，τ;θμ），θσ2）（3）

依據(jù)貝葉斯原理，BDNN模型參數(shù)θ=（θμ，θσ2）與現(xiàn)有訓(xùn)練樣本集D的聯(lián)合概率分布可以表達(dá)為BDNN模型參數(shù)的先驗(yàn)分布與其在現(xiàn)有訓(xùn)練樣本上的似然乘積，即［25］

p（D，θ）=p（θ）p（D|θ）=

p（θμ）p（θσ2）∏Tτ=1∏Dτi=1N（y（i）τ|h（x（i），τ;θμ），θσ2）（4）

D={{（x（1），y（1）1），（x（2），y（2）1），…，（x（N1），y（N1）1）}，

{（x（1），y（1）2），（x（2），y（2）2），…，（x（N2），y（N2）2）}，…，

{（x（1），y（1）T），（x（2），y（2）T），…，（x（NT），y（NT）T）}}

式中，p（θμ）表示BDNN參數(shù)均值的先驗(yàn)分布；p（θσ2）表示BDNN預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的方差的先驗(yàn)分布；Dτ為與第τ個(gè)輸出響應(yīng)對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練樣本數(shù)量；y（i）τ為第τ個(gè)輸出響應(yīng)的第i個(gè)樣本； （x（NT），y（NT）T）表示與第T個(gè)輸出響應(yīng)對(duì)應(yīng)的第NT個(gè)訓(xùn)練樣本。

在求解得到BDNN參數(shù)第i個(gè)樣本的后驗(yàn)分布θ（i）～p（θ|D）后，即可對(duì)BDNN模型的參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)采樣，進(jìn)而得到BDNN多個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的概率分布［25］：

P（g^τ（x）|x，D）=

∫θp（g^τ（x）|x，θ）p（θ|D）dθ≈

1M′∑M′i=1p（g^τ（x）|x，θ（i））（5）

式中，M′為從BDNN模型參數(shù)的后驗(yàn)分布中進(jìn)行隨機(jī)采樣的樣本數(shù)量。

由式（5）可知，BDNN在任意給定輸入變量x*處的預(yù)測(cè)均值及預(yù)測(cè)方差可分別表達(dá)為

μ（g^τ（x）|D）=1M′∑M′i=1h（x，τ;θ（i）μ） （6）

σ2（g^τ（x）|D）=

1M′∑M′i=1（h（x，τ;θ（i）μ）－

μ（g^τ（x）|D））2+θ（i）σ2（7）

由式（6）和式（7）可知，BDNN能夠同時(shí)求解多個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的不確定性估計(jì)（即均值和方差），因此，可以利用該特點(diǎn)開展主動(dòng)學(xué)習(xí)，篩選出對(duì)提高代理模型全局精度貢獻(xiàn)較大的關(guān)鍵樣本點(diǎn)，從而提升高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題的求解效率。

2.2? 針對(duì)多輸出問(wèn)題的主動(dòng)加點(diǎn)方法

如前文所述，研究不確定性傳播是為了求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性，因此需要構(gòu)建具有較高精度的全局代理模型。為了利用主動(dòng)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)高維多輸出問(wèn)題代理模型的快速構(gòu)建，本文提出一種針對(duì)高維多輸出問(wèn)題的主動(dòng)加點(diǎn)策略，可將其表達(dá)為

σ-（x）=1T∑Tτ=1σ（g^τ（x）|D） （8）

MUCB1（x）=

maxτ=1，2，…，T{μ（g^τ（x）|D）+βmaxτσ（g^τ（x）|D）max（μ（g^τ（x）|D））－min（μ（g^τ（x）|D））}（9）

MUCB2（x）=

minτ=1，2，…，T{μ（g^τ（x）|D）+βminτσ（g^τ（x）|D）max（μ（g^τ（x）|D））－min（μ（g^τ（x）|D））}（10）

式中，σ-（x）為T個(gè)輸出響應(yīng)的預(yù)測(cè)方差的均值;MUCB1（x） 表示從T個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)中可能為極大值點(diǎn)的樣本中篩選出具有最大加點(diǎn)函數(shù)的樣本點(diǎn)；MUCB2（x）表示從T個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)中可能為極小值點(diǎn)的樣本中篩選出具有最小加點(diǎn)函數(shù)的樣本點(diǎn)；βmaxτ為搜索第τ個(gè)輸出響應(yīng)極大值時(shí)的可調(diào)參數(shù)；βminτ為搜索第τ個(gè)輸出響應(yīng)極小值時(shí)的可調(diào)參數(shù)。

所提主動(dòng)加點(diǎn)策略在每一個(gè)迭代步中最多選取三個(gè)點(diǎn)。首先，通過(guò)最大化式（8）可以篩選出平均預(yù)測(cè)方差最大的點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)降低多輸出模型的預(yù)測(cè)方差貢獻(xiàn)最大，即在模型平均不確定度最大的地方加點(diǎn)；其次，通過(guò)最大化式（9）和式（10）可以從多個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)中可能為極值點(diǎn)的樣本中篩選出具有最優(yōu)加點(diǎn)函數(shù)的樣本點(diǎn)，由于在極值點(diǎn)處功能函數(shù)的非線性程度通常較高，因此，極值點(diǎn)對(duì)提高模型全局精度較為重要。同時(shí)，為消除各個(gè)輸出響應(yīng)之間由于尺度效應(yīng)對(duì)主動(dòng)加點(diǎn)過(guò)程造成的影響，在式（9）和式（10）的分母中增加了歸一化項(xiàng)。由于高維代理模型在相鄰迭代步中的更新速度較慢，其極值點(diǎn)更新也較慢，因此，對(duì)于式（9）和式（10）中所對(duì)應(yīng)的加點(diǎn)函數(shù)，設(shè)置為每Δ個(gè)迭代步執(zhí)行一次加點(diǎn)搜索過(guò)程，本文取Δ=10。

為判斷所構(gòu)建的BDNN代理模型是否達(dá)到收斂條件，本文采用BDNN在測(cè)試數(shù)據(jù)集上的泛化誤差作為指標(biāo)，當(dāng)泛化誤差小于給定閾值ζ時(shí)，判定代理模型達(dá)到收斂條件。該收斂條件可表示為

L（Dtest;A（Dtrain））<ζ（11）

式中，L（·）表示模型在測(cè)試集上的泛化誤差；Dtest為測(cè)試數(shù)據(jù)集；Dtrain為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集；A（·）表示BDNN模型。

本文所提方法的建模過(guò)程可以概括為以下5個(gè)步驟：

（1）利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲取N0 個(gè)初始訓(xùn)練樣本D（0）={（x（1），y（1）），（x（2），y（2）），…，（x（N0），y（N0））}。同時(shí)，利用蒙特卡羅采樣（MCS）方法對(duì)輸入變量進(jìn)行采樣，得到NMCS 個(gè)蒙特卡羅樣本X（0）MCS={x（1），x（2），…，x（NMCS）}。

（2）利用D（0）訓(xùn)練BDNN，構(gòu)建初始代理模型。根據(jù)式（7）可以得出T個(gè)輸出響應(yīng)在蒙特卡羅樣本集上的預(yù)測(cè)均值｛μ（g^1（x（i））|D（0）），μ（g^2（x（i））|D（0）），…，μ（g^T（x（i））|D（0））｝（i=1，2，…，NMCS）以及預(yù)測(cè)方差｛σ2（g^1（x（i））|D（0）），σ2（g^2（x（i））|D（0）），…，σ2（g^T（x（i））|D（0））｝（i=1，2，…，NMCS）。

（3）在X（0）MCS中選擇平均方差最大值所對(duì)應(yīng)的輸入樣本作為新增樣本（x，y）。

（4）當(dāng)?shù)綌?shù)為10的倍數(shù)時(shí)，選擇式（9）和式（10）所求解的輸入樣本（即多個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)中具有最優(yōu)加點(diǎn)函數(shù)的極大值和極小值點(diǎn)）（x′，y′）和（x″，y″）作為新增樣本。

（5）將新增樣本加入訓(xùn)練樣本集，并將x*、x′以及x″從X（0）MCS中剔除，得到更新的訓(xùn)練樣本D（1）以及更新的蒙特卡羅樣本X（1）MCS。循環(huán)執(zhí)行步驟（2）～步驟（4），直至滿足收斂條件。

為了更加清楚地表達(dá)所提方法，以具有兩個(gè)輸出響應(yīng)的問(wèn)題為例，圖3給出了主動(dòng)加點(diǎn)過(guò)程示意圖。對(duì)圖3的詳細(xì)解釋如下：

（1）如圖3所示，兩個(gè)真實(shí)功能函數(shù)分別為f1（x）=2（x－1）（x－2）sin（3x）+20以及f2（x）=4（x－1）（x－2）sin（3x）。

（2）圖3中紅色虛線和藍(lán)色點(diǎn)劃線分別為兩個(gè)真實(shí)的功能函數(shù)曲線，黑色實(shí)心點(diǎn)表示現(xiàn)有訓(xùn)練樣本，紅色和藍(lán)色實(shí)線分別為由BDNN得到的兩個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)。

（3）圖3中藍(lán)色和紅色填充區(qū)域分別為由BDNN求解的預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的兩倍方差區(qū)域，綠色點(diǎn)線為當(dāng)前迭代步中式（8）所對(duì)應(yīng)的平均方差函數(shù)曲線，其最大值為紅色五角星所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x*（即新增的樣本點(diǎn)）。

（4）由圖3可以看出，在x*處兩個(gè)預(yù)測(cè)輸出響應(yīng)的平均不確定性最大，因此，在下一個(gè)迭代步中將點(diǎn)x*加入訓(xùn)練樣本集。與此同時(shí)，圖3中紅色三角形和紅色正方形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x′和x″分別為當(dāng)前迭代步中多個(gè)輸出響應(yīng)的極大值和極小值，在這兩個(gè)極值點(diǎn)處，功能函數(shù)的非線性程度較高。

2.3? 多輸出響應(yīng)的概率密度求解方法

通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)構(gòu)建高維多輸出問(wèn)題的代理模型后，即可進(jìn)行不確定性傳播分析。根據(jù)式（6）求解出與X（0）MCS={x（1），x（2），…，x（NMCS）}對(duì)應(yīng)的多個(gè)輸出響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)樣本Y={{μ（g^1（x（1））D），

μ（g^2（x（1））|D），…，μ（g^T（x（1））|D）}，

{μ（g^1（x（2））D），

μ（g^2（x（2））|D），…，μ（g^T（x（2））|D）}，

…，{μ（g^1（x（NMCS））|D），μ（g^2（x（NMCS））|D），…，μ（g^T（x（NMCS））|D）}}，根據(jù)這些統(tǒng)計(jì)樣本可求解得到多個(gè)輸出響應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

本文采用多變量高斯混合模型求解多個(gè)輸出響應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。多變量高斯混合模型可以表達(dá)為

fy（y）≈p（y）=∑Kk=1πkN（y|μk，Σk）

∑Kk=1πk=1? 0≤πk≤1（12）

式中，p（y）表示由k（k=1，2，…，K）個(gè)高斯分布N（y|μk，Σk）所構(gòu)成的高斯混合模型（即多輸出響應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)）；μk為高斯混合模型的均值向量，μk=（μ1，k，μ2，k，…，μT，k），μT，k為第T個(gè)輸出響應(yīng)的第k個(gè)高斯組分的均值；Σk（維度為T×T）為高斯混合模型第k個(gè)組分的協(xié)方差矩陣;πk為第k個(gè)高斯組分的權(quán)重系數(shù)。

3? 數(shù)值算例分析

在本節(jié)中，通過(guò)兩個(gè)輸入變量維度分別為100和200的高維顯式函數(shù)以及一個(gè)汽車車架受力分析有限元模型算例來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性。將所提方法與主成分分析（principal component analysis， PCA）加高斯過(guò)程（Gaussian process， GP）回歸模型方法（以下簡(jiǎn)稱PCA-GP方法）、主成分分析加多輸出高斯過(guò)程（multioutput Gaussian process， MGP）回歸模型方法（以下簡(jiǎn)稱PCA-MGP方法）以及蒙特卡羅采樣（MCS）方法進(jìn)行對(duì)比。其中，PCA-GP方法首先利用PCA 將輸入變量進(jìn)行降維，然后采用GP回歸模型分別對(duì)多個(gè)輸出響應(yīng)進(jìn)行單獨(dú)建模，而PCA-MGP方法首先采用PCA 將輸入變量進(jìn)行降維，進(jìn)而采用MGP回歸模型對(duì)多個(gè)輸出響應(yīng)進(jìn)行整體建模。在各算例中，主成分的個(gè)數(shù)均設(shè)置為20，GP回歸模型均采用二次指數(shù)核函數(shù)，核函數(shù)中的超參數(shù)通過(guò)最大似然估計(jì)進(jìn)行求解。

3.1? 100維顯式函數(shù)算例

具有100維輸入變量的顯式函數(shù)可表示為

y1=∑100i=1xi+20x21x22+∑99i=2x2ix2i+1－

∑100i=1sin（xi）exp（xi－2）－10

y2=∑100i=1xi+20x21x22+∑99i=2x2ix2i+1－

∑100i=1sin（xi）exp（xi－2）－20

y2=y1－10（13）

在本算例中，令第一個(gè)輸入變量服從多峰概率分布x1～（0.5N（1，0.399）+0.5N（1.5，0.449）），其余99個(gè)輸入變量均服從正態(tài)分布x2～100～N（1，0.1）且各變量之間相互獨(dú)立。BDNN的參數(shù)設(shè)置為：①隱含層數(shù)為3；②每個(gè)隱含層的神經(jīng)元數(shù)量為100；③采用tanh（·）作為激活函數(shù)；④初始訓(xùn)練樣本數(shù)量為1000，主動(dòng)加點(diǎn)最大迭代步數(shù)為1000；⑤MCS方法的采樣個(gè)數(shù)為106。

各類方法所求解的兩個(gè)輸出響應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線見圖4和圖5，所求解的兩個(gè)輸出響應(yīng)的前2階中心矩如表1所示。從圖4和圖5中可以看出，所提方法求解得到的概率密度函數(shù)曲線可以較好地與MCS所求結(jié)果相匹配，且所提方法求解的概率密度函數(shù)曲線的整體偏差比采用PCA-GP和PCA-MGP方法時(shí)更小。由表1可知，對(duì)于所有輸出響應(yīng)，所提方法求解的第1階中心矩與MCS的求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于0.2%，所提方法求解的第2階中心矩與MCS的求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于4%，且所提方法求解結(jié)果與MCS求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于采用PCA-GP和PCA-MGP方法時(shí)的相對(duì)誤差，表明所提方法在本算例中的表現(xiàn)更為優(yōu)異，驗(yàn)證了所提方法的有效性。綜上，算例1結(jié)果表明：①BDNN能夠?qū)Ω呔S多輸出問(wèn)題進(jìn)行有效建模；②所提方法能夠有效求解高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題。

3.2? 200維顯式函數(shù)算例

具有200維輸入變量的顯式函數(shù)為

在本算例中，令第一個(gè)輸入變量服從多峰概率分布x1～（0.5N（1，0.2）+0.5N（1.5，0.15）），其余各輸入變量均服從正態(tài)分布x2～200～N（1，0.2）且各變量之間相互獨(dú)立。本算例中所提方法的參數(shù)設(shè)置為：初始訓(xùn)練樣本數(shù)量為1500，主動(dòng)加點(diǎn)最大迭代步數(shù)為500，其他參數(shù)與算例1保持一致。

各類方法所求解的兩個(gè)輸出響應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線見圖6及圖7，所求解的兩個(gè)輸出響應(yīng)的前2階中心矩如表2所示。從圖6和圖7中可以看出，所提方法求解得到的概率密度函數(shù)曲線可以較好地與MCS所求結(jié)果相匹配，且概率密度函數(shù)曲線的整體偏差比采用PCA-GP和 PCA-MGP方法時(shí)更小。由表2可知，對(duì)于所有輸出響應(yīng)，所提方法求解的第1階中心矩與MCS的求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于11%，所提方法求解的第2階中心矩與MCS的求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于12%，且所提方法求解結(jié)果與MCS求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于采用PCA-GP和PCA-MGP方法時(shí)的相對(duì)誤差，表明所提方法在本算例中的表現(xiàn)更為優(yōu)異，驗(yàn)證了所提方法的有效性。綜上，算例2的結(jié)果進(jìn)一步表明所提方法能夠有效求解高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題。

3.3? 汽車車架受力分析有限元模型算例

在本算例中，以汽車車架結(jié)構(gòu)的受力分析有限元模型為例來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性。如圖8［26］所示，該汽車車架的結(jié)構(gòu)由8個(gè)長(zhǎng)度為b1～b8的橫向梁以及2個(gè)側(cè)向邊梁所構(gòu)成，該車架總長(zhǎng)為7200 mm，各橫梁之間的間距由l1～l3所決定。該車架在等效靜態(tài)模型中受到4個(gè)服從高斯隨機(jī)過(guò)程的外力Q1（t）、Q2（t）、Q3（t）、Q4（t），分別為駕駛室、發(fā)動(dòng)機(jī)、油箱以及載運(yùn)貨物產(chǎn)生的作用在汽車車架上的均布力。本算例中，將車架材料的泊松比設(shè)置為0.3，車架材料的密度ρ和彈性模量E設(shè)置為隨機(jī)變量，各參數(shù)的具體信息如表3所示。根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)變失效準(zhǔn)則，可以將汽車車架服役過(guò)程中的應(yīng)力與應(yīng)變功能函數(shù)表達(dá)為

g1（t）=σm（t）－σmax（ρ，E，Q（t））（15）

g2（t）=εm（t）－εmax（ρ，E，Q（t））（16）

式中，σm（t）、εm（t）分別為不同時(shí)刻t下汽車車架的材料屈服應(yīng)力和材料極限應(yīng)變；σmax（ρ，E，Q（t））、εmax（ρ，E，Q（t））分別為不同時(shí)刻t下的最大真實(shí)應(yīng)力和最大真實(shí)應(yīng)變，應(yīng)力和應(yīng)變的確定解可以通過(guò)車架的有限元仿真分析得到。

在本算例中，考慮到實(shí)際服役過(guò)程中車架的強(qiáng)度和剛度會(huì)出現(xiàn)衰退的現(xiàn)象，令極限應(yīng)變與屈服應(yīng)力均服從指數(shù)衰減模型，可表達(dá)為

σm（t）=σ0exp（－0.05t） （17）

εm（t）=ε0exp（－0.005t） （18）

式中，σ0、ε0分別為車架材料的初始屈服應(yīng)力以及初始極限應(yīng)變。

在本算例中，考慮車架使用15年后的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)作為多輸出響應(yīng)。由于車架所受載荷服從隨機(jī)過(guò)程變量，需采用K-L分解為Q項(xiàng)隨機(jī)變量，可表示為

Q（t）≈∑Qq=1λqZqφq（t） （19）

式中，Zq（q=1，2，…，Q）為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；λq、φq分別為協(xié)方差函數(shù)的第q個(gè)特征值和第q個(gè)特征函數(shù)。

在該算例中，K-L展開的網(wǎng)格長(zhǎng)度設(shè)置為0.25，則時(shí)間節(jié)點(diǎn)共有61個(gè)，通過(guò)K-L展開的前100項(xiàng)逼近隨機(jī)過(guò)程變量， 則在本算例中一共有104個(gè)輸入變量。本算例中所提方法的參數(shù)設(shè)置為：初始訓(xùn)練樣本數(shù)量為1000，主動(dòng)加點(diǎn)最大迭代步數(shù)為500，其他參數(shù)與算例1中保持一致。

各類方法所求解的兩個(gè)輸出響應(yīng)（即應(yīng)力σ和應(yīng)變?chǔ)牛┑母怕拭芏群瘮?shù)曲線見圖9及圖10，所求解的兩個(gè)輸出響應(yīng)的前2階中心矩如表4所示。從圖9和圖10中可以看出，所提方法求解得到的概率密度函數(shù)曲線可以較好地與MCS所求結(jié)果相匹配，且概率密度函數(shù)曲線的整體偏差比采用PCA-GP和PCA-MGP方法時(shí)更小。由表4可知，對(duì)于所有輸出響應(yīng)，所提方法求解的第1階中心矩與MCS的求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于0.1%，所提方法求解的第2階中心矩與MCS的求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于2%，且所提方法求解結(jié)果與MCS求解結(jié)果的相對(duì)誤差均小于采用PCA-GP和PCA-MGP方法時(shí)的相對(duì)誤差，表明所提方法在本算例中的表現(xiàn)更為優(yōu)異，驗(yàn)證了所提方法的有效性。綜上，算例3的結(jié)果再次表明所提方法能夠有效求解高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題。

4? 結(jié)論

本文將主動(dòng)學(xué)習(xí)與貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，充分利用二者的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，提出一種針對(duì)高維多輸出問(wèn)題的不確定性傳播方法。所提方法具有以下優(yōu)勢(shì)：

（1）能夠在不引入降維誤差的前提下，直接在高維空間中構(gòu)建多輸出問(wèn)題的代理模型。

（2）利用貝葉斯深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及多個(gè)輸出響應(yīng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)開展主動(dòng)學(xué)習(xí)，有效避免了分別對(duì)多個(gè)輸出響應(yīng)進(jìn)行單獨(dú)求解的復(fù)雜過(guò)程以及由此造成的計(jì)算量增加問(wèn)題。三個(gè)數(shù)值算例的分析結(jié)果表明，所提方法能夠有效求解高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題。

本文嘗試提出一種新的解決方案來(lái)求解高維多輸出不確定性傳播問(wèn)題。所提方法與現(xiàn)有單輸出高維不確定性傳播方法的主要區(qū)別包括：

（1）所提方法能夠直接在高維空間中實(shí)現(xiàn)多輸出問(wèn)題模型的一次性構(gòu)建，而現(xiàn)有單輸出高維不確定性傳播方法需要分別針對(duì)多個(gè)響應(yīng)單獨(dú)求解，因此，所提方法可以降低求解過(guò)程的復(fù)雜程度。

（2）所提方法通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行建模，能夠利用多個(gè)輸出響應(yīng)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)開展主動(dòng)學(xué)習(xí)，且在主動(dòng)學(xué)習(xí)的每一個(gè)迭代步中，僅對(duì)多輸出模型影響較大的輸出響應(yīng)進(jìn)行加點(diǎn)，并不是對(duì)所有輸出響應(yīng)都新增相同數(shù)量的樣本點(diǎn)，因此，所提方法可以在一定程度上提高多輸出問(wèn)題的求解效率。而對(duì)于現(xiàn)有單輸出高維不確定傳播方法，一方面，它們大都基于降維分析進(jìn)行建模，容易在降維環(huán)節(jié)引入誤差；另一方面，在針對(duì)多輸出問(wèn)題進(jìn)行單獨(dú)建模時(shí)，各個(gè)模型所需的樣本點(diǎn)不能共享，可能導(dǎo)致計(jì)算量增加。

（3）根據(jù)算例分析結(jié)果，所提方法能夠較好地求解出多個(gè)輸出響應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線，且在相同樣本點(diǎn)數(shù)量的前提下，所提方法求解出的前兩階中心矩與蒙特卡羅采樣方法求解結(jié)果的相對(duì)誤差小于采用其他算法時(shí)的相對(duì)誤差，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

在后續(xù)研究中仍需進(jìn)一步改進(jìn)和發(fā)展的方向包括：

①所提方法針對(duì)多個(gè)輸出響應(yīng)對(duì)應(yīng)同一組輸入變量的問(wèn)題較為有效，對(duì)各個(gè)輸出響應(yīng)分別對(duì)應(yīng)不同輸入變量的情況考慮不夠全面；

②如何將所提方法擴(kuò)展至高維可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)中［27-28］，并提升高維可靠性問(wèn)題的求解效率，是一個(gè)值得繼續(xù)研究的方向。

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（編輯? 胡佳慧）

作者簡(jiǎn)介：

劉竟飛，男，1991年生，講師、博士。研究方向?yàn)榛谏疃葘W(xué)習(xí)的復(fù)雜裝備不確定性建模與可靠性設(shè)計(jì)。E-mail：liujingfei@haut.edu.cn。

姜? 潮（通信作者），男，1978年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)閺?fù)雜裝備先進(jìn)可靠性設(shè)計(jì)技術(shù)、高端特種機(jī)器人技術(shù)以及先進(jìn)車身設(shè)計(jì)制造。E-mail：jiangc@hnu.edu.cn。