文衛(wèi)星 趙甜甜

章末復(fù)習(xí)課怎么上？現(xiàn)在常規(guī)做法是發(fā)一、二套題目，這些題目可能是學(xué)校老師自己編寫，也有可能是買來的成品.這些題目可以覆蓋本章知識(shí)點(diǎn)，也有一些綜合題，難度大小視學(xué)生水平而定，僅此而已.這些做法只是使得學(xué)生對(duì)一些問題更熟練一點(diǎn)而已，沒有質(zhì)的提升.

1 為何要上復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課的功能是要實(shí)現(xiàn)“由厚到薄”再到“由薄到厚”，即要把一章中學(xué)過的、但相對(duì)離散的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)串聯(lián)起來，強(qiáng)化重要的思想方法，鞏固基本技能的落實(shí).所謂“有機(jī)”就是通過若干題目展示知識(shí)的內(nèi)在思維過程，在此基礎(chǔ)上形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解答本章的常見問題，甚至有一定難度的試題.

復(fù)習(xí)課要使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上構(gòu)建本章完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)、把握本章的重點(diǎn)難點(diǎn)、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法思考問題、熟練掌握基本的解題技能.

2 復(fù)習(xí)課上什么

章末復(fù)習(xí)課如何實(shí)現(xiàn)“由厚到薄”？關(guān)鍵是選題以及怎么利用所選題目來達(dá)到既定目的.“平面直角坐標(biāo)系中的直線”這一章復(fù)習(xí)課要通過有限的題目，復(fù)習(xí)直線的斜率與傾斜角、直線的各種方程、夾角公式、點(diǎn)到直線的距離公式，以及由此延伸出的直線的位置關(guān)系、對(duì)稱性、最值等問題.

其中，對(duì)于斜率和傾斜角，已知一個(gè)范圍求另一個(gè)范圍相對(duì)比較困難；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱性雖然教材沒有要求，但是在后續(xù)學(xué)習(xí)有時(shí)有用，此處做好鋪墊會(huì)給后續(xù)學(xué)習(xí)帶來方便；最值問題也是常見問題，尤其是含參數(shù)的最值問題.

基于上述原因，武老師在本課例1中以一條動(dòng)直線和兩個(gè)定點(diǎn)為題干，第（1）題設(shè)置5個(gè)小問題，從斜率和傾斜角起逐步過渡到各種形式的直線方程，這是本章最基本的“底層邏輯”，在此基礎(chǔ)上衍生出直線的位置關(guān)系、夾角、距離以及對(duì)稱性、最值等應(yīng)用問題.可以用思維導(dǎo)圖（圖1）表示如下：

直線的斜率、傾斜角

各種形式的直線方程

直線的位置關(guān)系、夾角、距離

應(yīng)用：對(duì)稱性、最值等

這樣就搭起了這一章的邏輯框架，以下教學(xué)活動(dòng)都是建立在這個(gè)基礎(chǔ)上的.

第（2）題本質(zhì)上是已知斜率范圍求傾斜角的范圍，但設(shè)置了一個(gè)新的背景考查數(shù)形結(jié)合思想，且結(jié)論可以推廣到一般情況.這是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)閮A斜角的范圍是［0，π），在π2兩側(cè)，斜率一個(gè)“天上”一個(gè)“地下”，學(xué)生極易搞錯(cuò)，借助正切函數(shù)圖象可以有效突破難點(diǎn)，同時(shí)還可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行意志品質(zhì)教育：傾斜角在從0到π的增加過程中，斜率從0一直增加到正無窮，過了π2從正無窮跌到負(fù)無窮，可謂“從天堂到地獄”，但斜率還是以“百折不撓”的精神再“爬起來”.如果老師能加一句“頂天立地莫為難，起起伏伏趨無限.人生波折時(shí)常有，想到正切向前看”，則就把育人無痕地融入課堂教學(xué)中了.

第（3）題是一條直線關(guān)于已知直線的對(duì)稱性問題，屬于直線位置關(guān)系問題，有不同解法，結(jié)論可以推廣到對(duì)稱軸斜率為±1的情況.第（4）題是平行線間距離和直線夾角的解答綜合題，考查數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化能力.

例1通過一個(gè)題干提出多個(gè)問題，每個(gè)問題都復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，幾個(gè)小題結(jié)束就能把這一章的重要知識(shí)脈絡(luò)理清楚，形成有機(jī)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，相關(guān)的思想方法也得以應(yīng)用，使斜率和傾斜角這棵大樹根深葉茂.通過例1達(dá)到“由厚到薄”的目的.

例2的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)隱含條件“含參數(shù)的直線l1和l3恒過定點(diǎn)A（-1，0），直線l1和l2互相垂直”才能得到簡(jiǎn)單解法，否則求交點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算量大，在求最值時(shí)要考慮參數(shù)m的正負(fù).例3是常規(guī)問題，但要解兩次方程組，難度不大，運(yùn)算要求高.對(duì)于變式1中求點(diǎn)A關(guān)于角B平分線的對(duì)稱點(diǎn)，由于例1中第（3）題已經(jīng)把結(jié)論推廣到一般情況，作為解答題列出方程組答案就出來了.這說明在日常教學(xué)中對(duì)“最近發(fā)展區(qū)”問題要做適當(dāng)推廣，這樣可以減少計(jì)算量.作為解答題，方程組一定要列出，否則就不規(guī)范，如果是選填題則可直接給出結(jié)論.例2、例3雖然絕對(duì)難度不大，但思想方法齊備，比較適合普通中學(xué)學(xué)生的實(shí)際情況.

整體來說，本課選題很好地照顧到學(xué)生的實(shí)際情況和數(shù)學(xué)知識(shí)的覆蓋面以及思想方法的靈活性.例2、例3檢驗(yàn)“由薄到厚”達(dá)成度.

3 復(fù)習(xí)課怎么上

俗話說一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，課堂教學(xué)也是如此.

現(xiàn)在一般的章末復(fù)習(xí)課是先把一章的知識(shí)點(diǎn)整理出來，然后再講題做題，或者是發(fā)一兩套試卷給學(xué)生做，學(xué)生做完老師講完就算復(fù)習(xí)結(jié)束.而武老師則是先讓學(xué)生做一個(gè)題干下有若干小題的例1，重在覆蓋知識(shí)點(diǎn)和思想方法，運(yùn)算難度要小，再通過對(duì)學(xué)生所做題目的講評(píng)“順便”復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò).兩相比較會(huì)發(fā)現(xiàn)：前者學(xué)生是被動(dòng)學(xué)習(xí)，后者是主動(dòng)學(xué)習(xí)；前者對(duì)大部分學(xué)生來說是浪費(fèi)時(shí)間（尤其是重點(diǎn)中學(xué)，學(xué)生都知道，復(fù)習(xí)這些知識(shí)點(diǎn)根本不能調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)興趣），后者則是上課伊始就充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性（“是騾是馬”拉出來遛遛）；前者學(xué)生即使會(huì)做題目也不一定就表示其掌握了相關(guān)知識(shí)和技能，有時(shí)會(huì)掩蓋存在的問題，后者會(huì)做題目則表示學(xué)生基本掌握了相關(guān)知識(shí)和技能，不會(huì)做的題目剛好暴露學(xué)生存在的問題，達(dá)到診斷問題的目的.所以，復(fù)習(xí)課的例1（開始的一組題目）要格外認(rèn)真準(zhǔn)備.

由此看出，復(fù)習(xí)課首先要做的是：復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).但不是一上來就把相關(guān)知識(shí)直接給學(xué)生，而是通過精心設(shè)置的一組題目，在做題中檢驗(yàn)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握沒有，掌握到什么程度？再通過師生互動(dòng)的講評(píng)，實(shí)時(shí)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在學(xué)生的腦海里形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu).這樣一舉多得：一是檢驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)水平，二是形成完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，三是提高教學(xué)效率，四是為后續(xù)教學(xué)提供知識(shí)基礎(chǔ)和思想方法支持.這就是尊重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律.

接下來，例題、練習(xí)數(shù)量的多少，綜合程度的高低，難度的大小都要根據(jù)所教班級(jí)學(xué)生實(shí)際水平而定.在出示題目后一定要先留時(shí)間給學(xué)生思考、發(fā)言，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，老師再選擇一種常規(guī)方法規(guī)范書寫.對(duì)特殊巧妙方法鼓勵(lì)部分學(xué)生去研討，但課堂不要過分追求，因?yàn)椴灰欢ㄟm合大部分學(xué)生.這就是尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

老師備復(fù)習(xí)課時(shí)還有一項(xiàng)重要工作是準(zhǔn)備課后作業(yè).作業(yè)要針對(duì)課堂所講內(nèi)容和學(xué)生暴露的問題來組織，這樣針對(duì)性強(qiáng)，效果會(huì)更好.

武老師教態(tài)親切，課堂氣氛活躍.出示問題首先問學(xué)生怎么想，指出幾何問題幾何先行——讓學(xué)生先畫圖，再結(jié)合已知條件找到解題思路.“平面直角坐標(biāo)系中的直線”這一章的重要內(nèi)容之一是求直線方程，可歸結(jié)為求方程中系數(shù)的值，就需要得到若干方程組成的方程組.這種基本量思想貫穿整節(jié)課始終，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力很有幫助.本課注意一題多解，不僅優(yōu)化了學(xué)生思維，減少了計(jì)算量，提高了解題正確率，也把求真、求美、求簡(jiǎn)這一數(shù)學(xué)本質(zhì)落到實(shí)處，有一定的育人作用.

4 改進(jìn)建議

武老師確定的教學(xué)目標(biāo)的第1條“確定直線點(diǎn)與向，方程各異本一樣”比較準(zhǔn)確，但表述還可以更精練，第2條有些表面化，還可以深入一些.建議修改為：（1）經(jīng)歷由斜率、傾斜角概念延伸出直線方程，把零散的知識(shí)整合成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；（2）學(xué)會(huì)運(yùn)用類比、聯(lián)想等方法歸納總結(jié)，深刻理解相關(guān)知識(shí)；（3）通過先練習(xí)后講評(píng)或生生互評(píng)的方式，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力和批判精神.

運(yùn)用教育技術(shù)可以提高教學(xué)密度.例1的總結(jié)老師可以不用板書，而用PPT呈現(xiàn).因?yàn)槊啃☆}后面都有總結(jié)，拼起來就是完整的知識(shí)框架（或說思維導(dǎo)圖），學(xué)生可以做到，課堂不必再花時(shí)間.

對(duì)變式1中求點(diǎn)A關(guān)于角B平分線的對(duì)稱點(diǎn)，第一個(gè)學(xué)生答錯(cuò)了，這說明例1第（3）題的推廣不到位.這個(gè)結(jié)論可以仿照第（3）問的方法求得，但是準(zhǔn)確應(yīng)用需要向?qū)W生說明：把已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入對(duì)稱軸方程可得對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入對(duì)稱軸方程可得對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)，掌握這一點(diǎn)才能既快又準(zhǔn).表明教學(xué)時(shí)應(yīng)該以學(xué)生為中心，不是因?yàn)槔蠋熤v得好學(xué)生就能掌握.

在小結(jié)中用打油詩(shī)總結(jié)一節(jié)課的內(nèi)容是很好的教學(xué)方式，前兩句“確定直線點(diǎn)和向，方程各異本一樣”準(zhǔn)確地總結(jié)了直線方程源于直線所過的點(diǎn)和方向，如果是過兩點(diǎn)則這兩點(diǎn)就確定了直線的方向，如果是一點(diǎn)就還需要方向.直線方程不過是斜率公式的各種不同變形而已.后兩句“根據(jù)特點(diǎn)慎選擇，掌握方向把好航”則是雙關(guān)語(yǔ)，表面意思是解題時(shí)要根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程，以減少計(jì)算量，隱喻則是同學(xué)們以后做事也要根據(jù)自身特點(diǎn)，把握人生發(fā)展方向.隱喻需要老師向?qū)W生解釋才能發(fā)揮更大作用.如果朗誦和解釋時(shí)能飽含激情，感染力會(huì)更強(qiáng)，“精氣神”會(huì)更足，數(shù)學(xué)文化的含量會(huì)更高！