摘? 要：復雜的幾何圖形大都是由一些基本圖形復合而成.熟悉基本圖形的構(gòu)成、形式及其性質(zhì)，并能從復雜圖形中分解出基本圖形是學好幾何的基本功.文章以“一線三垂直”為基本圖形，通過幾道典型題的詳細剖析，分別探討基本圖形的分解、構(gòu)造、變換的應用方法.

關(guān)鍵詞：基本圖形；分解；構(gòu)造；變換

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0042-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：徐晨，女，江西省上饒人，碩士研究生，從事數(shù)學學科教學研究.

簡單的平面幾何圖形稱為基本幾何圖形，如三角形、四邊形等簡單的多邊形以及圓形.在數(shù)學學習過程中，人們也將某些對問題解決經(jīng)常發(fā)揮作用的幾何圖形叫作基本幾何圖形.基于基本幾何圖形及其結(jié)論可以作為一個解題模塊，具有針對性較強和可操作性、間接性等特征，有利于解題過程中的知識遷移.在處理復雜的幾何圖形問題時，學生的幾何基礎(chǔ)知識儲備以及利用基本圖形分解復雜圖形的能力尤為重要［1］.基本圖形是訓練學生學會在解題中觀察、分析題意，進行計算和推理的良好載體.借助基本圖形的性質(zhì)，學生能夠?qū)⑾嚓P(guān)的知識點應用到難題的處理中，方便學生快速找到問題的切入點，高效解決復雜的幾何問題.

1 基本圖形的來源與變式

1876年4月1日，詹姆斯·艾伯拉姆·加菲爾德（后任美國第二十任總統(tǒng)）在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的一個新的證明方法.如圖1，他將兩個全等的直角三角形拼接構(gòu)成一個梯形，通過兩種方法計算直角梯形的面積，即可得到勾股定理.這種證明方法直觀、簡捷、易懂、明了，被稱為“總統(tǒng)”證法［2］.

如圖2，與線段BD有關(guān)的直角有三個，如果將P在BD上移動，并保持∠APC為直角不變，就會形成動態(tài)的構(gòu)圖.不難發(fā)現(xiàn)，如此構(gòu)成的兩個三角形相似，即△APB∽△PCD.

在圖2中，∠ABP=∠APC=∠CDP=90°，因為∠APB+∠CPD=90°，∠PCD+∠CPD=90°，所以∠APB=∠PCD，從而可得△APB∽△PCD.顯然，這是“K型”相似基本圖形.像圖2這樣，一條直線上存在三個直角，不妨稱這樣的圖形為“一線三垂直”基本圖形，該基本圖形常用于動點問題，或是函數(shù)圖象問題.因其易得三角形相似，從而能夠得到相關(guān)線段的比值或乘積，以此建立數(shù)量關(guān)系可使問題得到解決.進一步探究，可以從“一線三垂直”基本圖形中抽象出如圖3所示的相關(guān)變式以及如圖4所示的“一線三等角”基本圖形.

圖 3? “一線三垂直”變式示意圖

在圖3中，∠ACD=∠BEC=∠ADB=90° ，易知∠CAD=∠BDE，則△ACD∽△DEB.將“一線三垂直”進行變形，在題目中分解出基本圖形存在一定的難度，學生需要有敏銳的觀察力.

在圖4中，直線BD上存在∠ABC=∠ACE=∠CDE，于是∠ACB+∠ECD=180°-α ， ∠CED+∠ECD=180°-α ，可得∠ACB=∠CED ，則△ACB∽△CED，此時構(gòu)成基本圖形的條件弱化，只需要三個角相等即可證得三角形相似.

2 基本圖形在解題中的應用

在初中數(shù)學學習中，幾何綜合問題往往涉及復雜的幾何圖形，其實質(zhì)是幾個基本圖形構(gòu)建而成的.教師應引導學生學會識圖、構(gòu)圖，把握復雜的幾何圖形與基本幾何圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握解圖基本方法以及解決復雜問題的關(guān)鍵，化繁為簡，提升解決復雜問題的能力.“一線三等角”基本圖形在中考中考查多次，是中學數(shù)學中很重要的內(nèi)容.掌握和理解這個模型的本質(zhì)及結(jié)論，學會在不同的背景下發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造“一線三等角”基本圖形尤為重要.

2.1 發(fā)現(xiàn)并分離出基本幾何圖形

例1? （2022年蘇州中考數(shù)學試題）如圖5，在矩形ABCD中，AB/BC=2/3，動點M從點A出發(fā)，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN，動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為v1，點N運動的速度為v2，且v1＜v2.當點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動.在運動過程中，將四邊形MANB沿MN翻折，得到四邊形MA′NB′.若在某一時刻，點B的對應點B′正好在CD的中點重合，則v1v2的值為.

解析? 如圖6，設(shè)A′B′交AD于點E，設(shè)AB=2a，BC=3a，運動的時間為t.則CD=AB=2a，AD=BC=3a，A′M=AM=v1t，B′N=BN=v2t.又點B′正好為CD的中點，所以DB′=B′C=a.在Rt△B′CN中，∠C=90°，有a2+（3a-v2t）2=（v2t）2，則v2t=5a/3=BN，又∠D=∠C=∠EB′N，易得△EDB′∽△B′CN，有DE/DB′

=B′C/CN=B′C/（BC-BN）=3/4.因為B′D=B′C=a，所以DE=DB′/4=3a/4，則B′E=（DB′）2+DE2=5a/4，所以A′E=A′B′-D′E=3a/4，即DE=3a/4=A′E.又因為△A′EM≌△DEB′，則A′M=B′D=a，AM=v1t=a，所以v1/v2=3/5.

點評? 本題是一道以矩形為基本圖形的動點幾何問題，涉及的知識點較多，主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》規(guī)定的最基礎(chǔ)最核心的知識［3］.根據(jù)題意，可先考慮設(shè)動點運動的時間t，則速度之比可以轉(zhuǎn)化為路程之比，但由于條件中沒有具體線段的長，故可考慮引入?yún)?shù)a，再根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，可直接發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的基本圖形，易得△EDB′∽△B′CN，得到相關(guān)線段的比例式，進而求出線段的比值.在本題中，基本圖形的運用為之后的勾股定理、判定三角形全等打下了基礎(chǔ)，有效突破了難點，提高了解題效率.

2.2 自主建構(gòu)基本幾何圖形

例2? （2022年揚州市中考數(shù)學試題）如圖8，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，點D在邊BC上由點B向點C運動（不與點B、點C重合），過點D作DE⊥AD，交射線于AB點E.若AB=6，當DE/AD=3/2時，求AE的長.

解析? 如圖9，作AF⊥BC交BC于點F，作EG⊥BC交BC于點G.又∠EGD=∠ADE=∠AFD，易得△EDG∽△DAF，所以ED/DA=EG/DF=3/2.不妨設(shè)ED=3a，DA=2a（a＞0） ，則AE=7a ， BE=6-7a ，EG=3-7a/2.由于AB=6，∠B=30°，則AF=3，DF=4a2-9.從而3-7a/24a2-9=3/2，解得a1=37/5， a2=-37（不合題意，舍去），故AE=7a=21/5.

點評? 此題為動點問題，主要考查直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解方程等相關(guān)知識，其綜合性較強，具有一定的選拔功能，對學生而言具有一定的難度.在求解本題時，可采用特殊化策略思考問題，尋找問題解決的突破口.先考慮點D在特殊位置D′，即BC⊥AD′，然后發(fā)現(xiàn)點D應該在BD′之間，再結(jié)合條件DE⊥AD，聯(lián)想到構(gòu)造“一線三等角”的基本圖形，則作出兩條輔助線，易得△EDG∽△DAF.從而利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解.這種解法所列方程的無理方程，解方程對學生而言也有一定難度.

3 解題思考

在解決幾何問題時，為建立已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，經(jīng)常需要給圖形添加輔助線.添加輔助線的實質(zhì)在于構(gòu)造基本圖形，以便將復雜的問題簡單化，將隱蔽的關(guān)系外顯化，將分散的元素相對集中，從而找到一種解題途徑.與此同時，構(gòu)造基本圖形時還需配合使用聯(lián)想、代換、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法［4］.“一線三等角”這樣的基本圖形在教材中還有很多，教師在教學中應重視并充分挖掘，不僅要傳授基本圖形，更要重視基本圖形與其他知識的聯(lián)系，以更好提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)其數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：［1］ 何雄瑛.利用基本幾何圖形解題的教學探討［J］.福建中學數(shù)學，2018 （1）：25-28.

［2］? Eli Maor.勾股定理悠悠4000年的故事［M］.馮速，譯.北京：人民郵電出版社，2010.

［3］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］ 波利亞.怎樣解題：數(shù)學思維的新方法［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?， 2011.

［責任編輯：李? 璟］