摘? 要：在初中數(shù)學學習中，深刻理解數(shù)學概念、公式、定理、性質是學好數(shù)學的關鍵.在初中數(shù)學教學中，教師需根據(jù)學生的認知水平和教材特點，有意識地引導學生分析解題思路，培養(yǎng)解題思維，進而引導學生發(fā)現(xiàn)新知識，探索新知領域.文章以一次函數(shù)為例，探討與其有關的綜合題的求解思路.

關鍵詞：一次函數(shù)；綜合題；求解思路

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0064-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：鄭振養(yǎng)（1976.8—），男，本科，一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

在初中數(shù)學學習中，一次函數(shù)常常與其他知識相結合，能夠形成各式各樣的綜合性問題．這類綜合題涉及的知識點多，求解方法靈活多樣，具有一定的選拔性功能，對學生的數(shù)學素養(yǎng)要求較高．在具體解題過程中，有些學生對這類題感到無從下手［1］．基于此，筆者以一次函數(shù)有關的中考題為例，介紹這類問題的求解思路［2］．

1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的綜合題

一次函數(shù)是初中數(shù)學中最基本的函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，除了具有一次函數(shù)的性質外，還具有一些特殊性質.對一次函數(shù)y=kx+b而言，當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小.

1.1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義

在理解定義時需要注意以下兩個方面：第一，在一次函數(shù)y=kx+b中，之所以要規(guī)定k≠0，這是因為當k=0時，y=b，此時不論x取什么實數(shù)，函數(shù)y的值總是等于常數(shù)b，這是常數(shù)函數(shù)，所以要規(guī)定k≠0；第二，從正比例函數(shù)的定義可以得出，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例．

例1? 寫出下列函數(shù)關系式，并判斷有哪些屬于一次函數(shù)，哪些屬于正比例函數(shù)？

（1）正三角形周長W與其邊長a之間的關系；

（2）正方形面積S與其邊長x之間的關系．

解析? （1）由正三角形的定義易得W=3a，自變量a是W的一次函數(shù)，常數(shù)項為0，因此正三角形的周長W與其邊長a之間的關系也是正比例函數(shù).

（2）S=x2，因變量是S，自變量是x，x的次數(shù)是2，它既不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)．

1.2 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式

一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b中有兩個待定系數(shù)k和b，確定了它們的值就確定了一個一次函數(shù)，故一般需要兩個條件才可確定一個一次函數(shù).正比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx中只有一個待定系數(shù)k，確定了它的值就確定了一個正比例函數(shù)，故一般只需一個條件就可以確定一個正比例函數(shù)．

例2? 某一次函數(shù)的圖象過點（-2，2）和（2，0），求其解析式．

解析 ?設其解析式為y=kx+b，根據(jù)題意可知2=-2k+b，0=2k+b，解之得，k=-1/2，b=1，故所求一次函數(shù)解析式是y=-1/2x+1.

點評? 在求函數(shù)解析式時，正比例函數(shù)都應設為y=kx（k≠0）的形式.一次函數(shù)都應設為y=kx+b（k≠0）的形式，然后根據(jù)題意列方程（組）求出待定系數(shù)即可寫出其解析式．

2 一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結合

正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都是直線，故可稱直線y=kx和直線y=kx+b，前者是過點（0，0）和（1，k）的直線，而后者是過點（0，b）與（-b/k，0）的直線，直線y=kx和y=kx+b互相平行，事實上，后者可看作是由前者向上或向下平移|b|個單位長度得到的.例如，y=3x+2與y=3x-2可分別由直線y=3x向上平移2個單位和向下平移2個單位而得到.常數(shù)k代表圖象的傾斜程度，b表示圖象在y軸上的截距，即直線與y軸交點的縱坐標，它們的符號決定著直線的位置.即當k＞0時，直線必過第一、三象限；當k<0時，直線必過第二、四象限；當b＞0時，直線交y軸于正半軸；當b=0時，直線過原點；當b＜0時，直線交y軸于負半軸．

例3? 如圖1所示，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=k/x相交于點A（3，4），B兩點，點B的縱坐標為1．

（1）直接寫出a=，b=，c=；

（2）如圖2，點M（0，m）在y軸上，連接AM，BM，當△ABM的面積為15時，求m的值；

（3）關于x的不等式ax+b＜k/x的解集是．

解析? （1）a=-2/3，b=6，k=12；

（2）如圖2所示，設直線y=-2x/3+6交y軸于點C，易知C（0，6），因為S△ABM=S△CBM-S△ACM=15，所以CM（6-3）/2=15，所以CM=10，所以m的值為16或-4；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，關于x的不等式ax+b＜k/x的解集為0＜x＜3或x＞6．

點評? 一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象相結合充分體現(xiàn)數(shù)形結合的思想方法，這類問題其題型廣泛，求解方法靈活，能夠綜合考查基礎知識與基本技能.問題（3）是不等式問題，體現(xiàn)了函數(shù)與不等式之間的關系，求解時需根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的位置關系確定不等式的解集．

3 一次函數(shù)與圖形面積相結合

例4? 如圖3所示，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=2x+6圖象分別交x軸、y軸于點A，B，一次函數(shù)y=-2x+t的圖象經(jīng)過點B，并與x軸交于點M，點Q是直線AB上的一個動點．

（1）求△AOB的面積；

（2）動點Q在直線AB上，當△AMQ的面積為21時，求出點Q的坐標．

解析? （1）易求得A（-3，0），B（0，6），所以OB=6，OA=3，所以1/2OA·OB=9.

（2）根據(jù)已知條件易得t＝6，所以直線BM的解析式為y＝-2x+6，易知當y＝0時，x=3，所以M（3，0）.當△AMQ的面積為21時，（AM·Qy）/2=21，所以Qy=7，即滿足條件的點Q坐標為（0.5，7）或（-6.5，-7）．

點評? 一次函數(shù)與圖形面積的結合，讓學生體會到函數(shù)、坐標、圖形面積之間的關系，以及數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、方程思想、分類討論思想在解題中的運用，有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維．

4 一次函數(shù)與比例性質結合

例5? 若abc≠0，且（a+b）/c=（b+c）/a=（a+c）/b=2m，則直線y=mx+m的一定經(jīng)過哪些象限？

解析? 顯然，需根據(jù)已知條件確定出m的值.由等比的性質可得［2（a+b+c）］/（a+b+c）=2m，所以m=1，所以一次函數(shù)的表達式為y=x+1，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當a+b+c=0時，則m=-1/2，一次函數(shù)y=-x/2-1/2的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以一次函數(shù)y=mx+m的圖象一定過第二、三象限．

5 一次函數(shù)與圓的切線結合

例6? 如圖4，直線 y=-3x/4-3 交x軸于點A，交y軸于點B，點P是x軸上一動點，以點P為圓心，1個單位長度為半徑作⊙P，當⊙P與直線AB相切時，點P的坐標是．

解析? 當⊙P與直線AB相切時，如圖6所示，因為y=-3x/4-3 ，所以A-4，0，B0，-3，所以OA=4，OB=3，所以AB=32+42=5.

作PD⊥AB于D，則∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，所以△APD∽△ABO，所以PD/OB=AP/AB.當PD=1時，⊙P與直線 AB 相切，即1/3=AP/5，解得AP=

5/3，所以OP=7/3.同理可得 OP′=

17/3，所以點P的坐標為-7/3，0或 -17/3，0．

點評? 解決一次函數(shù)與圓的切線相結合的數(shù)學問題，學生需熟悉圓的切線的性質.這類問題綜合性強，靈活運用直線與圓的位置關系是解題的關鍵.

6 一次函數(shù)與二次函數(shù)相結合

例7? 在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-2x+5的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，二次函數(shù)y=ax2+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過點A．

（1）求點A，B的坐標；

（2）若二次函數(shù)y=ax2+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過線段AB上的點C（不含A、B兩點），且BC=5，求二次函數(shù)的關系式．

解析? （1）令x=0，y=5，則B（0，5）.令y=0，則-2x+5=0，所以x=5/2，即A（5/2，0）.

（2）設點C（m，-2 m+5），因為B（0，5），所以BC=m2+（-2m+5-5）2=5|m|，故m=±1.因為C在線段AB上，所以m=1，所以C（1，3）.將點A（5/2，0），C（1，3）代入y=ax2+bx（a≠0）中，得6.25a+2.5b=0，a+b=3，所以a=-2，b=5.所以二次函數(shù)的關系式為y=-2x2+5x．

點評? 本題主要考查一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的交點問題，仔細分析條件和結論，先求出直線與坐標軸的交點坐標，然后利用勾股定理，建立方程求出C點坐標，從而解決問題．

7 結束語

在解決與一次函數(shù)有關的綜合性問題時，學生應在觀察、分析、應用中，歸納總結出很多新的知識、新的學習思路及解題規(guī)律.運用恰當?shù)膶W習方法，對后續(xù)學習初中數(shù)學知識有更好的延展性．

參考文獻：［1］ 程蘭.以一次函數(shù)為背景的規(guī)律探究［J］.初中生學習指導，2022（7）：10-12.

［2］ 張元超.“一次函數(shù)”單元整體復習［J］.初中生輔導，2022（9）：33-34，11.

［責任編輯：李? 璟］