盧恩良

1 試題呈現(xiàn)

（原創(chuàng)試題）已知橢圓E：x216+y24=1，A為E的左頂點，直線l經(jīng)過點M（-4，-4）.

（1）當(dāng)直線l與橢圓E相切時，求兩切點所在直線的方程.

（2）若直線l與E交于C，D不同兩點，動直線x=t與直線AC，AD分別交于點R和S，Q為線段RS的中點，求|MQ|的最小值.

2 命制過程

要想命制一道高質(zhì)量的解析幾何試題，研究高考真題是一個不錯的途徑.翻閱近幾年高考試題中的解析幾何大題，發(fā)現(xiàn)定點、定值問題備受命題者青睞，其中2017年新課標全國卷Ⅰ理數(shù)第20題與2022年新課標全國乙卷理數(shù)第20題引起了筆者的關(guān)注，兩道試題之間貌似有著一些聯(lián)系.

題1? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程.（2）設(shè)直線l不過經(jīng)過點P2且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

題2? 已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，-2），B32，-1兩點.

（1）求E的方程.（2）設(shè)過點P（1，-2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點.

兩道試題第（2）問都是證明直線過定點，題1是典型的“手電筒模型”.對題2作進一步研究，發(fā)現(xiàn)該題與極點極線知識有關(guān)，直線AB是點P對應(yīng)的極線.在題1的基礎(chǔ)上，筆者初步設(shè)計了題3.

題3? 已知橢圓C：x24+y2=1，P為C的上頂點，點M（2，-1），直線l與C交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），且滿足kPA+kPB=-1.

（1）證明：A，B，M三點共線.（2）連接MP與C交于另一點D，記直線AD，BP的交點為Q，求Q的軌跡方程.

設(shè)計思路：以題1為基礎(chǔ)，將題1中的第（2）問改編為證明三點共線，降低證明難度；第（2）問以極點極線知識為背景，考查橢圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，其對角線的交點Q在點M對應(yīng)的極線y=x2-1上.

反思：題3第（1）問旨在降低難度，思考后擔(dān)心學(xué)生作答時，采用kMA-kMB=0的方法，有“混分”之嫌；另有教師指出第（2）問極點極線背景過于明顯，學(xué)生可能會直接“猜出”答案.在上述基礎(chǔ)上，筆者對題3進行修改，得到以下題4.

題4? 已知橢圓C：x24+y2=1，P為C的上頂點，過點M（2，-1）的直線l與C交于A，B不同兩點（A在B的左側(cè)），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2.

（1）求k1+k2的值.（2）連接MP，與C交于另一點D，記直線AD，BP的交點為Q，求|MQ|的最小值.

設(shè)計思路：將試題第（1）問修改為求值，與2022年新高考Ⅰ卷第21題類似，計算雖有難度，但旨在考查通性通法和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).第（2）問將求點Q軌跡改為求|MQ|的最小值，需要學(xué)生主動思考點Q的軌跡，對學(xué)生能力提出了更高的要求.

反思：筆者試做第（2）問后發(fā)現(xiàn)，點D坐標不是整數(shù)，使得在利用直線AD和直線BP求解點Q坐標時比較困難.雖然第（1）問考查了學(xué)生的運算素養(yǎng)，但沒有為學(xué)生完成第（2）問提供啟發(fā)，而且兩個小問的常規(guī)運算量都非常大，學(xué)生極不容易得分.因此，筆者重新設(shè)計了試題，得到以下題5.

題5? 已知橢圓E：x216+y24=1，A，B分別為E的右頂點和下頂點，直線l經(jīng)過點M（-4，-4）.

（1）當(dāng)l與E相切時，求兩切點所在直線的方程.

（2）當(dāng)l與E交于C，D不同兩點（C在D的左側(cè)）時，記直線CA，DB的交點為Q，求|MQ|的最小值.

設(shè)計思路：第（1）問以直線與橢圓相切為背景，讓學(xué)生求解“切點弦”方程，實際就是點M對應(yīng)的極線，也即第（2）問中點Q的軌跡.第（1）問為第（2）問做了鋪墊，為第（2）問求點Q的軌跡提供了思考方向.

為了檢測試題難度，筆者把試題當(dāng)做某天額外作業(yè)布置下去，第二天詢問完成情況.由于試題第（1）問較為常規(guī)，因此筆者主要調(diào)查第（2）問的完成情況，全班54人只有三位同學(xué)把第（2）問做出來了，而且運算難度很大.基于上述調(diào)查，重新設(shè)計試題得到以下題6.

題6? 已知橢圓E：x216+y24=1，A為E的左頂點，直線l經(jīng)過點M（-4，-4）.

（1）當(dāng)直線l與橢圓E相切時，求兩切點所在直線的方程.

（2）若直線l與E交于C，D不同兩點，動直線x=t與直線AC，AD分別交于點R和S，Q為線段RS的中點，求|MQ|的最小值.

設(shè)計思路：以2022年全國乙卷理數(shù)第20題為參考，重新設(shè)計第（2）問.構(gòu)造動直線x=t，可得點Q在點M對應(yīng)的極線上，即第（1）問中的直線.點Q坐標的計算難度不大，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)點Q的坐標關(guān)系從而得出軌跡方程.

3 試題分析

試題第（1）問相對比較基礎(chǔ)，但運算量大.既可以從常規(guī)思路（圖1）出發(fā)，也可基于二級結(jié)論進行運算（圖2），下面以思維導(dǎo)圖的形式展示思路.

試題第（2）問既可從常規(guī)思路出發(fā)，耐心運算，求得點Q的坐標，也可基于“手電筒”模型，大膽猜想，具體思維導(dǎo)圖如圖3和圖4所示.

4.1 第（1）問的解答

解法一：由題易知x=-4是橢圓的切線，切點為（-4，0）.設(shè)另一條切線為y=kx+m，切點為P.聯(lián)立y=kx+m，x2+4y2-16=0，消去y，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0，Δ=16（16k2-m2+4）=0，則m2=16k2+4.又m-4k=-4，解得k=38，m=-52，所以由2xP=-8mk1+4k2，得xP=125，則yP=-85.計算得兩切點所在直線的斜率為-14，所以兩切點所在直線方程為x+4y+4=0.

解法二：設(shè)另一切點P的坐標為（m，n），則另一條切線MP的方程為y=n+4m+4（x+4）-4.聯(lián)立y=n+4m+4（x+4）-4，x2+4y2-16=0，因為相切，所以Δ=0，整理得m+4n+4=0.因此，兩切點（-4，0），（m，n）都滿足方程x+4y+4=0，即兩切點所在直線方程為x+4y+4=0.

解法三：設(shè)另一切點為P（m，n），依題意則有m2+4n2-16=0，kMP·kOP=-14，可得P125，-85.計算得，兩切點連線斜率為-14，所以兩切點所在直線方程為x+4y+4=0.

另解：由kMP·kOP=n+4m+4·nm=-14，得m2+4n2+4m+16n=0.結(jié)合m2+4n2-16=0，得m+4n+4=0.因此，兩切點（-4，0），（m，n）都滿足方程x+4y+4=0，即兩切點所在直線方程為x+4y+4=0.

解法四：根據(jù)切點弦方程可得兩切點所在直線方程為-4x16+-4y4=1，即x+4y+4=0.

4.2 第（2）問的解答

解法一：設(shè)直線CD的方程為y=kx+m，則m=4k-4.由y=kx+m，x2+4y2-16=0，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0.設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），所以x1+x2=32k-32k21+4k2，x1x2=64k2-128k+481+4k2.直線AC的方程為y=y1x1+4（x+4），得yR=（t+4）（kx1+4k-4）x1+4.同理，可得yS=（t+4）（kx2+4k-4）x2+4.因為Q是RS的中點，所以可得

2yQ=yR+yS=（t+4）2k-4x1+4-4x2+4.

又因為1x1+4+1x2+4=4k+18，所以有2yQ=-xQ+42.故點Q的軌跡方程為x+4y+4=0，因此|MQ|min=161717.

解法二：同解法一，Qt，-t+44，則|MQ|2=1716t+52172+25617，所以|MQ|min=161717.

解法三：設(shè)直線CD的方程為y=kx+m，則m=4k-4.由y=kx+m，x2+4y2-16=0，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0.設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），所以x1+x2=32k-32k21+4k2，x1x2=64k2-128k+481+4k2.因為kAC+kAD=y1x1+4+y2x2+4=-12，所以kAR+kAS=-12.因為Q為RS的中點，所以2kAQ=2yQt+4=yRt+4+ySt+4=kAR+kAS，則kAQ=-14，于是可求得點Q的軌跡方程為x+4y+4=0，因此|MQ|min=161717.

解法四：設(shè)直線CD方程為m（x+4）+ny=1，將橢圓方程x216+y24=1化為（x+4）2+4y2-8（x+4）=0，結(jié)合m（x+4）+ny=1，得（x+4）2+4y2-8（x+4）＼5［m（x+4）+ny］=0，整理得4yx+42-8n·yx+4+1-8m=0，得kAC+kAD=2n.又CD過點M（-4，-4），所以-4n=1，即n=-14，則kAC+kAD=2n=-12.下同解法二.

4 試題實際測試情況

為了檢測試題的效果，筆者把該試題作為2023屆高三2月17日的理科周考試題考查學(xué)生，具體情況如下：

該試題放置在理科周考卷的第19題，第（1）問5分，第（2）問7分，共764人參考，年級均分為1.68分，最高得分11分，得6分及以上的同學(xué)共30人.從得分情況來看，作答效果不好，極大地出乎筆者的意料，甚至有點不敢相信，大多數(shù)學(xué)生第（1）問都沒有處理好.經(jīng)過分析思考后，發(fā)現(xiàn)原因是多方面的.本次周考試卷整體難度較大，選擇填空題花費了學(xué)生較多時間，導(dǎo)致學(xué)生后面解答題時間不夠；學(xué)生運算求解能力較弱，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)較低；審題不明，錯誤理解題意，把第（1）問錯看成求解切線方程.

本題由筆者獨自完成閱卷，從批閱情況來看，學(xué)生不能正確選擇運算策略，無法快速準確完成運算求解.第（1）問在設(shè)直線l的方程時，大部分同學(xué)設(shè)成y=k（x+4）-4的形式，個別同學(xué)設(shè)成x=m（y+4）-4的形式，導(dǎo)致和橢圓方程聯(lián)立時運算量大，在計算方程判別式Δ時望而卻步，不敢繼續(xù)運算.圓錐曲線試題涉及字母運算與數(shù)值運算時，直線方程形式的選擇對運算量有著很大的影響，合理選擇方程形式能充分體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

個別學(xué)生直接使用二級結(jié)論（橢圓切點弦方程或橢圓切線方程）作答，但也只是少數(shù)學(xué)生，這充分說明進行圓錐曲線復(fù)習(xí)教學(xué)時，對雙切線問題沒有很好地深入拓展，導(dǎo)致學(xué)生無法得出答案，使用常規(guī)方法硬算更是無從談起.

5 命題體會

通過參加本次命題比賽，筆者有很大的收獲.命制一道高質(zhì)量的試題并非易事，稍有不慎，命制的試題就會出問題.命題是一次由內(nèi)而外的工作，需要站在更高的視角，然后從“接地氣”的角度去解答試題，要符合學(xué)生的思考方式和習(xí)慣.命題的過程不僅僅是出題和解題的過程，更是將問題指向深入研究的過程.因此，命制高質(zhì)量的試題需要深厚的數(shù)學(xué)功底，良好的思維品質(zhì)，要求命題者不斷學(xué)習(xí)，不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

研究高考真題，感悟高考命題人的命題思路，感悟各種命題手法，更能促進一線教師的成長.一線教師在日常教學(xué)中，要注重積累經(jīng)典試題，靈活地在課堂教學(xué)中加以改編應(yīng)用，既要善于收集素材，也要善于加工和應(yīng)用素材.總之，命題工作，任重道遠，我們一直在路上.