劉煥

摘要：一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重要函數(shù).解答一次函數(shù)問題不僅要靈活運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且還需要相關(guān)的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo).其中數(shù)形結(jié)合思想立足“數(shù)”與“形”間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，通過“數(shù)”與“形”的相互對(duì)照可及時(shí)找到解答問題的切入點(diǎn)，確保一次函數(shù)問題的高效解決.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；一次函數(shù)

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題的關(guān)鍵在于具備數(shù)形結(jié)合解題的意識(shí)，同時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的正確、針對(duì)性轉(zhuǎn)化，將抽象、不易解決的問題變得直觀、容易解決.當(dāng)然還應(yīng)做好不同一次函數(shù)問題解題過程的審視，彌補(bǔ)解題的短板，尤其注重成功經(jīng)驗(yàn)的積累與靈活遷移.

1 巧解參數(shù)范圍

求解參數(shù)范圍一般運(yùn)用不等式知識(shí).對(duì)于一次函數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用觀察法也能迅速得出結(jié)果.

例1當(dāng)x>-3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=-12x+3的值都大于等于函數(shù)y=kx（k≠0）的值，則k的取值范圍是.

解析：解題的關(guān)鍵在于對(duì)題干的等價(jià)轉(zhuǎn)換.題干可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>-3時(shí)，函數(shù)y=-12x+3的圖象在函數(shù)y=kx（k≠0）圖象的上方.

對(duì)于函數(shù)y=-12x+3，將x=-3代入得到y(tǒng)=92.將點(diǎn)-3，92代入到y(tǒng)=kx，解得k=-32，此時(shí)滿足題意.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖1所示.

將函數(shù)y=kx的圖象繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象和函數(shù)y=-12x+3的圖象平行時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)k=-12，滿足題意；當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象由直線y=-12x旋轉(zhuǎn)到直線y=-32x時(shí)，也滿足題意；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)則不滿足題意.

綜上分析，滿足題意的k的取值范圍為-32≤k≤-12.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題的關(guān)鍵在于“數(shù)”與“形”的正確轉(zhuǎn)化.該題中依托圖形，通過圖形的旋轉(zhuǎn)找到參數(shù)的取值范圍，非常直觀.

2 巧解參數(shù)最值

求解參數(shù)最值常用不等式、二次函數(shù)知識(shí)，而對(duì)于一次函數(shù)的最值問題，通過數(shù)形結(jié)合解決卻不失為一種新的解題思路.

例2已知p=2x+1，q=-2x+2，若規(guī)定函數(shù)y=1+p-q（p≥q），1-p+q（p

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析：解題的關(guān)鍵在于正確理解題意.根據(jù)題干條件，由p≥q，得2x+1≥-2x+2，則有x≥14.同理由p

聯(lián)系一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，畫出y的圖象，如圖2所示，由圖可清晰地看到函數(shù)y的最小值為1.

故選擇：C.

點(diǎn)評(píng)：該題情境新穎.解題時(shí)需要深入理解題意，化陌生為熟悉.而后運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)正確畫出圖象，通過觀察圖象的最低點(diǎn)得出參數(shù)最值.

3 巧解點(diǎn)的坐標(biāo)

求解一次函數(shù)問題中點(diǎn)的坐標(biāo)離不開平面直角坐標(biāo)系.常通過數(shù)形結(jié)合，合理運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.需要注意的是，勾股定理在其中也較為常用，應(yīng)注重應(yīng)用.

例3如圖3所示，A（-8，0），B（-2，8）是△ABC的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸正半軸上，AB=AC，將△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′經(jīng)過點(diǎn)C，則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為.

解析：過點(diǎn)B作BG垂直x軸于點(diǎn)G，如圖4所示.由A（-8，0），B（-2，8），得AO=8，GO=2，AG=8-2=6，

BG=8.在直角三角形AGB中，由勾股定理可得AB=AG2+BG2=62+82=10（這里亦可直接使用兩點(diǎn)間的距離公式直接求得AB=2+（8-0）2=62+82=10）.由AB=AC，得AC=10.在直角三角形AOC中，由勾股定理可得OC=AC2-AO2=102-82=6，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）.

設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入得-8k+b=0，-2k+b=8，解得k=43，b=323，則y=43x+323.設(shè)直線AB向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)直線A′B′處，則直線A′B′的解析式為y=43（x-n）+323，因其過點(diǎn)C（0，6），代入解得n=72.易得點(diǎn)C′的坐標(biāo)為72，6.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合題干創(chuàng)設(shè)的情境，作出輔助線，靈活運(yùn)用勾股定理求出相關(guān)線段長(zhǎng)度.運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)求出直線的解析式，從平移的視角出發(fā)不難求出目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo).

4 巧解線段長(zhǎng)度

求解線段長(zhǎng)度是初中階段的常見幾何問題.常通過幾何圖形性質(zhì)作答.部分問題看似考查的是幾何知識(shí)，實(shí)則考查一次函數(shù)知識(shí).意識(shí)到這一點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合，便能迅速找到解題突破口.

例4如圖5，已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，邊BC的中點(diǎn)為E，點(diǎn)F在AE上，且滿足EF=CE，連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為.

解析：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，BA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖6所示.根據(jù)題意，易得A（0，2），C（2，0），E（1，0），則根據(jù)待定系數(shù)法容易求得AE所在的直線解析式為y=-2x+2.

由點(diǎn)F在AE上，可設(shè)點(diǎn)F（m，-2m+2），其中0

設(shè)CF所在直線的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)F，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得255=1-55k+b，0=2k+b，解得k=1-52，b=5-1，則CF所在直線的解析式為y=1-52x+5-1.

令x=0，得y=5-1.

故GB的長(zhǎng)為5-1.

點(diǎn)評(píng)：該題以正方形為背景設(shè)計(jì)問題，運(yùn)用幾何知識(shí)求解難度較大.運(yùn)用正方形的性質(zhì)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，解題思路變得清晰.

綜上所述，一次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而且是中考的必考點(diǎn).在中考中，一次函數(shù)問題情境常考常新，解題思路靈活多變，其中通過數(shù)形結(jié)合，更容易理順解題思路，使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單化，因此，在日常的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，應(yīng)夯實(shí)一次函數(shù)基礎(chǔ)，理解一次函數(shù)各參數(shù)的含義，積極運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題，提高知識(shí)運(yùn)用熟練程度，不斷積累應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)解題能力的有效提升.

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