吳愉

摘?要：本文以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)為例，采用“設(shè)問-學(xué)生回答-再設(shè)問-再回答”的模式，闡述如何以問題為導(dǎo)向引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，同時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行探究活動(dòng)，從而解決問題.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}教學(xué)；探究活動(dòng)；深度學(xué)習(xí)；學(xué)科素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1008-0333（2024）15-0005-03

根據(jù)新課程理念的要求，教師在課堂教學(xué)中要從深度學(xué)習(xí)的視角去探索知識(shí)概念的相互關(guān)系.從高中數(shù)學(xué)學(xué)科的角度去看，深度學(xué)習(xí)是依托數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，在教師的引領(lǐng)下，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為目標(biāo)，圍繞具有挑戰(zhàn)性的主題展開探究活動(dòng)，讓學(xué)生積極參與課堂，先獨(dú)立思考，后小組合作探究，以達(dá)到主動(dòng)學(xué)習(xí)的目的.

1 創(chuàng)設(shè)問題情境，點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)興趣點(diǎn)

概念課要從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的角度出發(fā)，依托數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從數(shù)學(xué)生活的情境入手，創(chuàng)設(shè)有效有趣的問題，點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓課堂生動(dòng)起來(lái).因此本節(jié)課設(shè)置問題如下：

問題1：類比研究一般函數(shù)的性質(zhì)，你覺得正弦函數(shù)、余弦函數(shù)應(yīng)該研究哪些性質(zhì)？

問題2：根據(jù)以往研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，為了對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究，先要研究函數(shù)的什么？

問題3：如何繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象？五點(diǎn)法作圖的步驟是什么呢？

通過(guò)設(shè)置問題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí)，回憶正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0，2π的圖象，進(jìn)而回憶其在R上的圖象.在點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，培養(yǎng)他們的邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)而引出本節(jié)課所要探究的內(nèi)容：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).

2 問題引領(lǐng)探究，突破學(xué)生學(xué)習(xí)疑難點(diǎn)

探究活動(dòng)的開展需要學(xué)生積極參與課堂.因此在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可以精心設(shè)計(jì)問題，采用“設(shè)問-學(xué)生回答-再設(shè)問-再回答”的模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，在教師的引領(lǐng)下探究問題，進(jìn)而解決問題，對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：周期性以及周期函數(shù)的概念進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)，突破學(xué)生學(xué)習(xí)疑難點(diǎn).

問題4：上述問題中，我們類比研究函數(shù)的性質(zhì)，我們知道研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、對(duì)稱性和奇偶性，請(qǐng)同學(xué)們觀察正弦函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，它還有什么特征呢？

學(xué)生1：通過(guò)正弦函數(shù)的圖象作圖過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，橫坐標(biāo)每經(jīng)過(guò)2π個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的縱坐標(biāo)就會(huì)相同.

教師：很好，剛才觀察圖象，我們從形的角度定性地分析了圖象的周而復(fù)始的規(guī)律.

問題5：如何從數(shù)的角度定量地分析這一特征呢？

學(xué)生2：誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z），當(dāng)k=1時(shí)，即sin（x+2π）=sinx，即

2π，4π與0，2π的圖象相同，當(dāng)k=-1時(shí)，即sin（x-2π）=sinx，即

-2π，0與0，2π的圖象相同，當(dāng)k取不同整數(shù)時(shí)，圖象會(huì)重復(fù)的出現(xiàn).

教師：數(shù)學(xué)上用周期性來(lái)刻畫這種重復(fù)性的特征.

問題6：請(qǐng)閱讀教科書5.4.2節(jié)“1.周期性”中的內(nèi)容，回答相關(guān)問題，周期函數(shù)是怎么定義的？什么是周期？什么是最小正周期？

問題7：由周期函數(shù)的定義，y=sinx的周期是多少？

追問1：若sinπ6+π3=sinπ6，sinπ3+π3=sinπ3，sin4π3+π3=sin4π3，…，那么能說(shuō)y=sinx的周期是π3嗎？為什么？

學(xué)生3：不是，Ax∈R，sinx+π3=sinx不成立.

教師：定義是對(duì)定義域中的每一個(gè)x而言，只有個(gè)別或少數(shù)值滿足fx+T=fx，不能說(shuō)T是

fx的周期.

追問2：若函數(shù)fx的周期為T，則kT，k∈N*也是fx的周期嗎？為什么？

問題8：在正弦函數(shù)的所有周期中，是否存在一個(gè)最小正周期？

追問3：y=2，x∈R是不是周期函數(shù)？若是，其最小正周期是什么？

教師：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.同學(xué)們，還能不能舉出其他的例子？

問題9：余弦函數(shù)是否為周期函數(shù)？若是，請(qǐng)說(shuō)出其周期和最小正周期.

問題10：我們知道4π是正弦函數(shù)的一個(gè)周期，我們能說(shuō)正弦函數(shù)的周期是4π嗎？

教師：我們現(xiàn)在談?wù)液瘮?shù)、余弦函數(shù)的周期時(shí)，如果不加解釋，一般指的是最小正周期.

問題11：知道一個(gè)函數(shù)的周期，對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象與性質(zhì)有什么幫助？

教師：借助函數(shù)的周期性，有助于從局部認(rèn)識(shí)整體，比如借助周期性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可從0，2π發(fā)展到R上.

3 開展深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)點(diǎn)

在新課標(biāo)、新教材、新高考的教育背景下，教育教學(xué)應(yīng)該站在學(xué)生的角度，發(fā)展學(xué)生的思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培育學(xué)生的勇于奮斗的求知精神和積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)意識(shí)，進(jìn)而達(dá)到提升其素養(yǎng)的目的.那么，怎樣在課堂教學(xué)中落實(shí)素養(yǎng)，從哪些方面著手提升學(xué)生的素養(yǎng)呢？筆者依托深度教學(xué)，發(fā)揮育人價(jià)值，通過(guò)讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、小組合作、討論交流、師生共探、歸納提升，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，并將素養(yǎng)的發(fā)展目標(biāo)分解到相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中.

3.1 獨(dú)立思考，自主探索

在研究正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們已經(jīng)根據(jù)三角函數(shù)的作圖過(guò)程中圖象周而復(fù)始的規(guī)律，研究函數(shù)的周期性，并懂得了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期為2π.類比一般函數(shù)的研究方法，三角函數(shù)還存在其他的性質(zhì).教師可組織學(xué)生先觀察圖象，讓他們獨(dú)立思考，自主探索，去發(fā)現(xiàn)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)[1].

問題12：觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，你能看出他們有何奇偶性嗎？

學(xué)生4：觀察正弦曲線與余弦曲線，可以發(fā)現(xiàn)，正弦曲線關(guān)于0，0對(duì)稱，余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).

問題13：除了觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，你們還有沒有其他方法來(lái)證明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性？

學(xué)生5：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx.

教師：數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的一種常用手段.由“形”到“數(shù)”，由“數(shù)”到“形”，加深對(duì)概念的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和表達(dá)能力的提高.

通過(guò)設(shè)置這一教學(xué)環(huán)節(jié)，訓(xùn)練學(xué)生思維能力，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.2 小組合作，討論交流

通過(guò)前面的設(shè)問，我們知道要研究三角函數(shù)，可研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).

問題14：觀察正弦曲線，完成下表1中正弦函數(shù)性質(zhì)部分的內(nèi)容.表1?正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)表

內(nèi)容正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域

值域（最值點(diǎn)x）周期性

奇偶性單調(diào)遞增區(qū)間

單調(diào)遞減區(qū)間對(duì)稱軸

對(duì)稱中心

師生活動(dòng)：教師安排填表任務(wù)并組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)生之間相互討論交流，完成表格的填寫.在學(xué)生分組討論時(shí)，教師巡視課堂，啟發(fā)學(xué)生積極思考，用心觀察，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.討論結(jié)束，教師請(qǐng)小組派代表展示討論結(jié)果.

學(xué)生6：（展示小組討論結(jié)果以及思維過(guò)程）

①定義域：R，值域：-1，1，x=π2+2kπk∈Z，ymax=1，

x=-π2+2kπk∈Z，ymax=-1.

②周期性：y=sinx的周期為2π;

奇偶性：y=sinx為奇函數(shù).

③單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間：［-π2+2kπ，π2+2kπ］（k∈Z），

單調(diào)遞減區(qū)間：［π2+2kπ，3π2+2kπ］（k∈Z）；

④對(duì)稱性：對(duì)稱軸：x=π2+kπk∈Z，對(duì)稱中心：kπ，0k∈Z;

教師：很好，有沒有補(bǔ)充說(shuō)明的？匯總各小組在小組合作交流中碰到的疑惑，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)指導(dǎo).

教師：在剛才的環(huán)節(jié)中，我們是通過(guò)觀察正弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合定性的得出正弦函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)論，那么能不能從另一個(gè)角度定量分析正弦函數(shù)的性質(zhì).

追問1：如何理解直線x=π/2是正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸？又如何理解點(diǎn)π，0是正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心呢？

學(xué)生7：直線x=π/2是正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸，即對(duì)于任意的x，有sinx=sinπ-x;π，0是正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心，即對(duì)于任意的x，有sinx=sin（2π-x）.

教師：非常好，正弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，可以根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性特點(diǎn)，加以解釋；其次正弦函數(shù)的對(duì)稱軸是其取最大值和最小值的時(shí)候，正弦函數(shù)的對(duì)稱中心是其取到零點(diǎn)的時(shí)候.

追問2：為什么對(duì)稱軸和對(duì)稱中心“+kπ”就可以，而單調(diào)區(qū)間和最值要“+2kπ”呢？

學(xué)生8：對(duì)稱軸和對(duì)稱中心每隔π個(gè)單位，會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，而單調(diào)區(qū)間和最值要每隔2π個(gè)單位，才會(huì)重復(fù)出現(xiàn).

前面的研究，我們已經(jīng)了解正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，那么余弦函數(shù)的性質(zhì)又如何呢？教師可以讓學(xué)生嘗試歸納，并進(jìn)行合作探究，引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，規(guī)范認(rèn)識(shí)余弦函數(shù)的性質(zhì)，并精準(zhǔn)規(guī)范地表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深層次的理解.

4 教學(xué)反思

在課堂教學(xué)過(guò)程中，問題導(dǎo)學(xué)是一種行之有效的教學(xué)手段，它以問題為核心，教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平，進(jìn)行核心問題的設(shè)計(jì)，學(xué)生依據(jù)問題，結(jié)合已有的知識(shí)和技能展開獨(dú)立的思考和自主探究，嘗試解決問題.學(xué)生也可以采用小組合作、討論交流的方式進(jìn)行探究活動(dòng)，通過(guò)討論，將研究成果進(jìn)行分享.教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和解決問題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5 結(jié)束語(yǔ)

問題導(dǎo)學(xué)可以有效引領(lǐng)探究活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，進(jìn)而提升學(xué)生素養(yǎng).因此，在實(shí)際的課堂教學(xué)過(guò)程中，教師要不斷地調(diào)整教學(xué)策略，關(guān)注學(xué)生的個(gè)性差異，因材施教，創(chuàng)造有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)環(huán)境，從而實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù).

參考文獻(xiàn)：

［1］吳景峰.新授課深度學(xué)習(xí)的六個(gè)觸動(dòng)點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（09）：28-31.

［責(zé)任編輯：李?璟］