李美蘭

［摘? 要］ 二次函數(shù)與幾何題的探究過程，建議分成三個階段，教師引導學生完成“過程探究—解后反思—拓展強化”，通過解題指導，讓學生掌握類型題的分析思路、解題方法. 研究者從問題綜述，設計階段性教學環(huán)節(jié)；示例探究，實施解題過程；解后反思，挖掘題型特征；拓展探究，深化解題體驗等方面進行闡述，并提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 二次函數(shù)；幾何；三角函數(shù)；面積；數(shù)形結(jié)合

問題綜述

二次函數(shù)與幾何綜合在中考中十分常見，問題涉及眾多的知識考點，如二次函數(shù)的性質(zhì)，幾何性質(zhì)、面積模型、三角函數(shù)等. 該類問題常作為壓軸題綜合考查學生對知識的理解和處理問題的能力.

解題教學中，建議分三個階段實施，引導學生探究問題、總結(jié)方法、拓展變式，體驗解題過程，培養(yǎng)解題思維.

階段一：解題過程探究，分步引導突破. 該階段精選典型問題，引導學生分析問題，體驗思路構(gòu)建，初步感知問題.

階段二：解后反思問題，總結(jié)類型題解法. 該階段需要引導學生對問題特征、解法深入反思，總結(jié)解題思路，形成相應的解題策略.

階段三：進行拓展引導，提升思維品質(zhì). 該階段引導學生拓展探究，進一步結(jié)合相關問題進行強化練習，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.

示例探究

1. 問題呈現(xiàn)

問題：已知拋物線y=x2-2x+m的頂點A位于x軸上，與y軸交于點B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線CD∥AB交拋物線于C，D兩點，若=，求△COD的面積；

（3）如圖2，已知（2）中C點坐標，點P是第二象限拋物線上一點，是否存在點P，使得tan∠PCO=2，若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

2. 分步突破

本題目為二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，涉及了拋物線、直線、三角形等幾何要素，融合了二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)等相關知識. 題設三問，各自獨立又存在一定的聯(lián)系，解析時建議采用分步突破的策略，結(jié)合題設條件逐步深入.

第一步：交點分析，聯(lián)立求解

第（1）問求解拋物線的解析式，根據(jù)條件可知拋物線的頂點位于x軸上，可推知其圖象與x軸僅有一個交點，即Δ=0，可得b2-4ac=（-2）2-4×1×m=0，解得m=1，所以拋物線的解析式為y=x2-2x+1.

第二步：比值條件轉(zhuǎn)化，面積模型構(gòu)建

第（2）問為設定平行線，以及線段比值條件，求解三角形的面積，需要轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)建面積模型，具體如下.

去除其中的拋物線，提取關鍵線段，如圖3所示. 根據(jù)題意可知OA=OB=1，可推知△AOB是等腰直角三角形. 以CD為斜邊作等腰直角三角形DEC，由于CD=3AB=3，則DE=CE=3.

設C（t，t2-2t+1），則D（t-3，t2-2t+4），由于點D在拋物線上，則（t-3）2-2（t-3）+1=t2-2t+4，可解得t=2. 當t=2時，y=22-2×2+1=1，可求得點C（2，1），D（-1，4）.

延長DE交x軸于點G，作CF⊥x軸于點F，如圖3中的虛線. 采用面積割補拼接法求△COD的面積，可將其表示為S=S-S-S，分步求其面積，則S=S-S-S=×（1+4）×3-×2×1-×1×4=，所以△COD的面積為.

第三步：假設驗證存在，相似構(gòu)建推導

第（3）問是關于點的存在性問題，涉及了三角函數(shù)知識，可采用“假設—驗證”的思路，提取其中的特殊模型，轉(zhuǎn)化求解，具體如下.

假設存在滿足條件的點P，去除非相關圖象，作直角三角形COE，使∠COE=90°，作CG⊥x軸于點G，作EF⊥x軸于點F，如圖4所示.

點C（2，1），則OG=2，CG=1，所以tan∠OCG=2，可得∠OCG=∠EOF，從而可證△COG∽△OEF，由相似性質(zhì)可知===2，由于OC=，可推得OE=2，OF=2，EF=4，所以點E的坐標為（-2，4），利用待定系數(shù)法可求得CE的解析式為y=-x+. 聯(lián)立直線與拋物線解析式求交點，即x2-2x+1=-x+，可得x=2（舍去），x=-. 當x=-時，y=-2-2×

-+1=，所以點P的坐標為-

，

.

解后反思

上述對一道二次函數(shù)與幾何綜合題開展過程探究，挖掘問題特征，結(jié)合核心條件開展分步突破. 其中后兩問為核心之問，屬于典型問題，其解法思路具有一定的探究價值，下面從兩方面開展解題反思：一是對問題特征進行挖掘；二是從解法角度進行思考總結(jié).

1. 挖掘問題的特征

上述問題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，圖象中融合了拋物線、一次函數(shù)、幾何圖形，以函數(shù)圖象相交為背景，構(gòu)建三角形，形成了復雜的函數(shù)與幾何圖象.

第（2）問的核心條件涉及了兩線平行和線段比值關系，是與幾何平行相關的面積問題，最為顯著的特征為其中的平行關系.

第（3）問則是關于點的存在性問題，涉及了三角函數(shù)值，所以也是與三角函數(shù)相關的存在性問題，解題的關鍵是轉(zhuǎn)化其中的三角函數(shù)值.

2. 思考問題的解法

核心之問在解析突破時均需充分把握問題特征，基于核心條件進行思路構(gòu)建. 整體上采用了數(shù)形結(jié)合的思維方法，解析條件，解圖建模，結(jié)合圖象推理條件，構(gòu)建思路，下面具體分析問題的解法特點.

第（2）問求解三角形面積時，采用了面積割補拼接法，將所求幾何面積拆解為幾個易求圖形面積的組合，再利用面積公式求解. 其中隱含了數(shù)學的等價轉(zhuǎn)化思想.

第（3）問探究點的存在性問題，整體上采用了“假設—驗證”的方法思路進行思維順推. 對于其中的三角函數(shù)值條件，利用其幾何意義轉(zhuǎn)化為角度關系. 同時提取其中的相似模型，利用模型性質(zhì)進行關鍵線段、點的推導. 實際上解題時構(gòu)建了“一線三直角”相似模型，即隱含了一組相似三角形和三個直角三角形.

另外，圖象解析采用了模型拆解、提取的方式，即針對問題條件，排除了其中無關的幾何要素，提取其中的核心條件來構(gòu)建模型，重點突出，特征鮮明.

拓展探究

二次函數(shù)與幾何相關的綜合題題型眾多，對于考查三角形面積、三角函數(shù)值的壓軸題，突破解析的思路是一致的，均可以采用上述的策略：數(shù)形結(jié)合解析問題、提取構(gòu)建模型解析、等價轉(zhuǎn)化變量條件. 下面結(jié)合一道綜合題進行進一步探究.

例題拋物線y=x2-4x與直線y=x交于原點O和點B，與x軸交于另一點A，頂點為D.

（1）直接寫出點B和點D的坐標；

（2）如圖5，連接OD，P為x軸上的動點，當tan∠PDO=時，求點P的坐標；

（3）如圖6，M是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，Q是拋物線上的動點，它的橫坐標為m（0

思路引導：上述同為二次函數(shù)與幾何綜合題，同時涉及三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化與面積模型構(gòu)建，問題解析可以結(jié)合上述的解法策略，數(shù)形結(jié)合分析，提取構(gòu)建模型，轉(zhuǎn)化條件突破.

（1）求點的坐標，考查基礎知識. 可令y=x2-4x=x，求出x的值即可得出點B的坐標. 再將函數(shù)y=x2-4x化作頂點式，即可得出點D的坐標；

（2）解析三角函數(shù)值條件求點坐標，考查三角函數(shù)值的轉(zhuǎn)化方法. 同樣可構(gòu)建模型進行轉(zhuǎn)化，即過點D作DF⊥y軸于點F，易得tan∠DOF=，又因為tan∠PDO=，所以∠PDO=∠DOF. 后續(xù)分兩種情況進行討論：情形1，當點P在線段OD的右側(cè)時，DP∥y軸；情形2，當點P在線段OD左側(cè)時，設直線DP與y軸交于點G，則△ODG是等腰三角形，分別求出點P的坐標即可.

（3）構(gòu)建三角形，求兩者的面積之比的最大值，考查了模型構(gòu)建與最值分析技巧. 可分別過點M，Q作y軸的平行線，交直線OB于點N，K，利用三角形的鉛錘模型表示三角形的面積，可得S=QK（x-x），S=MN（x-x）. 結(jié)合點Q的橫坐標為m，可表示出，進而轉(zhuǎn)化為與參數(shù)m相關的二次函數(shù)，再利用其性質(zhì)即可求最值.

評析? 上述圍繞二次函數(shù)與幾何綜合中的三角函數(shù)值、面積模型開展拓展探究，第（2）問同樣是將三角函數(shù)值條件轉(zhuǎn)化為等角條件；第（3）問則是利用三角形的鉛錘模型來求解面積. 針對其中的核心條件進行轉(zhuǎn)化分析構(gòu)建，整體上采用數(shù)形結(jié)合的分析方法，提取構(gòu)建模型.

教學思考

上述對一道二次函數(shù)與幾何綜合題進行了解題探究，開展分步突破、解后反思、拓展探究，總結(jié)了類型題的解題思路，對于學生的備考有極大的幫助. 而在實際教學中，教師還應注意整合問題考點知識，設問引導探究，下面提出幾點建議.

1. 挖掘問題考點，整合知識定理

函數(shù)與幾何綜合題是眾多知識考點的融合，涉及眾多的定理、定義，是模型與方法的綜合構(gòu)建，問題突破需要挖掘其中的知識考點，準確定位問題類型，并在此基礎上探索問題解法. 解題教學中，教師要注意引導學生解析問題條件，確定問題類型. 可設計兩個環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一，拆解問題條件，逐個解讀分析，尤其是其中的核心條件；環(huán)節(jié)二，根據(jù)問題條件確定教材的知識定理，完成問題定位. 而在復習教學中，教師要注意引導學生對章節(jié)知識進行整合，構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡.

2. 設問引導探究，構(gòu)建解題策略

解題探究過程建議教師采用設問引導、分步構(gòu)建的策略，即圍繞問題條件設置引導性問題，讓學生深入思考，探索解題思路. 而在設問引導時需要關注兩點：一是注意問題應具有啟發(fā)性，逐步深入；二是注意問題應具有連續(xù)性，通過設問引導學生掌握其中的構(gòu)建思路. 而在解題指導完成后，教師還需注意進一步引導學生思考，讓學生反思解題過程，總結(jié)解題方法，如條件轉(zhuǎn)化的技巧、模型構(gòu)建的方法等.

3. 關注數(shù)形結(jié)合，掌握模型構(gòu)建

上述二次函數(shù)與幾何綜合題的探究過程中，整體上運用了數(shù)形結(jié)合、模型提煉構(gòu)建的方法，即數(shù)形結(jié)合分析問題，確定解題思路，模型提煉構(gòu)造輔助分析突破. 兩種方法技巧在解析該類問題中十分有效，教師要注意方法引導，讓學生掌握方法精髓以及使用思路. 具體教學中可從以下兩方面進行：一是關于方法概念的講解，讓學生理解對應的含義；二是關于方法使用技巧的講解，可結(jié)合具體的問題，引導學生體驗使用過程，感悟方法技巧.