彭劍峰 劉存華
摘 要:立體幾何是培養(yǎng)學生直觀想象和邏輯推理的重要載體,在歷年高考中呈現(xiàn)“占比大、失分高”的特點。課題組通過梳理學生在立體幾何中的學習障礙,并對53份歷年數(shù)學高考卷進行分析,根據(jù)高中課程內容構建知識網絡,以知識、思想體系為核心,分類突破“空間垂直證明”的難題,從而為教師教學和學生答題提供可行性幫助。
關鍵詞:垂直證明;知識體系;立體幾何;空間垂直證明
中圖分類號:G63 文獻標識碼:A 文章編號:0450-9889(2024)14-0097-04
《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出的六大核心素養(yǎng)中的直觀想象,指的是學生利用空間想象結合幾何圖形的直觀性來解決問題的品格與能力[1]。雖然新版教材的教學內容經過了刪減,但立體幾何內容在高中課程中仍然占有一席之地,考試大綱也要求“高中生需要具備理解空間中線、面的平行與垂直關系的判定定理和性質定理的能力,并能證明相關命題”。立體幾何內容具有高度的抽象性和邏輯性,是培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體,且立體幾何內容也非常豐富,具有極高的教育研究價值。特別是歷年高考全國卷中均對“立體幾何”進行了考查,考查題型多以“小題(選擇、填空)+解答題”為主。然而,高中生立體幾何的學習是否存在障礙?高考中立體幾何的考查側重點是什么?如何突破高考幾何證明難題?基于這些問題,本研究通過梳理高中生立體幾何學習障礙,繼而對數(shù)學高考卷中的立體幾何考題進行分析,結合高中課程內容提出空間垂直證明的解題思路,并以高考真題為例進行分類歸納和總結,讓學生達到“以一題會一類”的目標,指導學生學會處理證明難題,以期為教師的教學提供參考和啟發(fā)。
一、研究基礎
(一)文獻研究
以“高中立體幾何學習”為主題進行檢索并篩選出2017—2023年的22篇碩士論文,采用文獻研究法進行研究。22篇碩士論文大多采用問卷調查、試卷測試法、訪談法對高中階段三個年級學生進行了現(xiàn)狀調查和分析。通過梳理上述研究我們發(fā)現(xiàn),高中生立體幾何學習障礙大多集中在:提取障礙(知識應用、方法選擇不合理)、認知障礙(空間想象能力、邏輯推理能力水平低)、操作障礙(證明思路不清晰、作答不規(guī)范)[2]。因此,本研究提出構建知識和思想體系,旨在解決立體幾何學習三大障礙。
(二)高考研究
高考作為我國選拔人才的重要方式之一,而數(shù)學學科更是在高考中發(fā)揮著舉足輕重的作用。因此,研究高考試題極具價值,有利于了解高考指揮棒的方向,把握高考的重難點,明晰考試常見的出題模式。
本研究選取了近七年(2017—2023年)的文科卷、理科卷的53份高考題,主要包含的卷別為全國甲卷、全國乙卷、全國新高考Ι卷、全國新高考Ⅱ卷、全國Ι卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷、浙江卷、上海卷、北京卷、天津卷、江蘇卷、山東卷,并且以其中的“立體幾何”解答題為研究樣本進行統(tǒng)計分析。因各地各卷對立體幾何的考查和賦分不一致,本研究主要探究考點集中趨勢、考查方向和考查難度,主要進行考點的頻次統(tǒng)計(基本考查方向和情況如下頁表1所示)。
由表1可知,文科卷的垂直證明占比為35%—53.3%,理科卷相對少一些,占比為33.3%—37.6%。但是值得關注的是,除2017年(理)、2018年(理)、2020年(理)外,其他年份對“垂直關系證明”考查的占比遠高于“體積面積”“角度”“平行”“其他”四類,這說明“垂直關系證明”在高考中占有相當大的比重。通過進一步深入分析我們發(fā)現(xiàn),在2017年(理)、2018年(理)、2020年(理)三次考試中,理科的第(2)小問著重考查二面角,這就是“角度”頻次高的原因。從知識層面進行分析,若使用空間向量的方法,需要建立空間直角坐標系和計算點坐標,此過程需要依賴垂直的相關知識;若使用歐氏幾何方法求解線面角和二面角,角度的確定和構造與線面垂直、面面垂直關系密切[3],因此也是側面考查垂直關系的證明和判定。
綜上所述,垂直在高考立體幾何中的考查比例最大,其重要性不言而喻。但是,根據(jù)上述文獻研究和調查分析得知,學生的作答情況并不樂觀,立體幾何中的“垂直問題”應引起一線教師的重視。
(三)策略研究
學生在學習立體幾何的過程中存在諸多困難,體現(xiàn)為提取障礙、認知障礙和操作障礙。而高考立體幾何的考查又以“垂直關系的證明”為主,所以本研究提出“通過建構知識網絡體系”的方法,以解決垂直關系證明的難題(具體網絡如圖1所示)。
策略解析:一是構建知識網絡體系,破解提取障礙。學生在教師的帶領下構建知識體系,明確“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間的關聯(lián),在做題時可運用體系中的“定義”“判定”“性質”進行組合搭配,形成做題思路和方法。二是掌握知識轉化關系,破解認知障礙。在轉化和化歸思想下,學生可在新知學習和作業(yè)練習中反復訓練“線線”“線面”“面面”之間的推理過程。同時,抓住題目中的關鍵條件或者信息輔助解題,可逐步解決認知障礙。三是運用定義定理證明,破解操作障礙。學生在日常訓練中應總結所運用的知識,并嚴格要求作答時結合題目條件“翻譯”成定理內容,在證明過程中呈現(xiàn)出定義定理,以達到踩點得分的規(guī)范效果[4]。
二、試題分析
(一)“線線垂直類”題型分析
1.真題再現(xiàn)及解答思路分析
“線線垂直類”題型例題:(2021年全國新高考Ι卷第20題的第1問)如圖2所示,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點。
(1)證明:OA⊥CD;(2)略。
2.考點及思路分析
本題考查線線垂直的證明,該證明過程秉持由復雜到簡單的化歸思想,欲證“線線垂直”可先從“面面垂直”入手,因此可執(zhí)行圖1中的“面面垂直→線面垂直→線線垂直”的證明路徑。證明過程中主要關注面面垂直和中點兩個條件,運用面面垂直的性質和線面垂直的定義可解(如圖3所示)。
3.解題規(guī)律及方法總結
證明“線線垂直”一般有如下方法[5]。①幾何法:通過“面面垂直、線面垂直、線線垂直”的路徑證明(如例題1、2019年浙江卷、2019年江蘇卷、2017年江蘇理科卷、2021年全國文科甲卷、2020年全國Ⅲ文科卷、2018年天津文科卷)。②向量法:證明兩條直線所在的向量的方向向量的數(shù)量積為0(如2021年全國理科甲卷、2020年天津文科卷)。③轉化法:通過證明目標線的平行線與另一條線垂直(如2021年浙江理科卷、2020年浙江理科卷)。
(二)“線面垂直類”題型分析
1.真題再現(xiàn)及解答思路分析
“線面垂直類”題型例題:(2019年天津文科卷第17題第1問)如圖4所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,棱PC的中點為N,連接DN。
(1)求證:PA⊥平面PCD;(2)略。
2.考點及思路分析
本題主要考查線面垂直,該證明運用了面面垂直的性質、線面垂直的定義和線面垂直的判定三個知識點,雖然有所輾轉,但核心思路是一條直線與平面內的兩條相交直線垂直,兩組“線線垂直”可通過“線面垂直”“菱形對角線”“勾股定理”等途徑來構造和證明(如圖5所示)。
3.解題規(guī)律及方法總結
證明“線面垂直”一般有如下方法。①轉化法:證明目標線的平行線垂直于平面,從而間接證明線面垂直(如2020年全國新高考卷)。②判定法:利用線面平行的判定定理證明線線垂直得到線面垂直(如2019年北京卷)。③輾轉法:證明路徑為“面面垂直→線面垂直→線線垂直→線面垂直”,其本質仍然是判定定理的運用,但是此類方法需要學生有完整的知識體系(如2019年天津文科卷)。④向量法:本質為證明直線的方向向量為平面的法向量,即為直線的方向向量和平面內兩個不共線向量的數(shù)量積均為0(如2018年浙江文科卷)。
(三)“面面垂直類”題型分析
1.真題再現(xiàn)及解答思路分析
“面面垂直類”題型例題:(2019年天津文科卷第17題第1問)如圖6所示,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=1,AD=[2],點M在棱BC上。
(1)若點M為棱BC的中點,證明:平面PAM⊥平面PBD;(2)略。
2.考點及思路分析
本題考查了面面垂直的證明,該證明過程主要圍繞“面面垂直的判定定理”進行,關鍵點在其中一個平面內找到一條垂直于另外一個平面的直線,因此問題就轉化為證明線面垂直和線線垂直。通過對近五年高考試題中涉及的25道面面垂直類型題進行分析,發(fā)現(xiàn)絕大部分題均可通過此方法進行證明(如圖7所示)。
3.解題規(guī)律及方法總結
證明“線面垂直”一般有如下方法。①幾何法:通過面面垂直的判定來證明,其核心是證明線面垂直,因此遵循的路徑應當是“線面垂直→線線垂直→線面垂直→面面垂直”(如例題3、2021年全國新高考Ⅱ卷)。②定義法:作出二面角的平面角,進而證明該角度為90°。③向量法:證明兩個平面的法向量垂直,即證明垂線的方向向量的數(shù)量積為0。④轉化法:兩個平行平面中的一個平面與另一個平面垂直,則另一個平面也與第三個面垂直。
三、總結反思
本研究從“學習障礙”“高考考向”出發(fā),提出“應對策略”并運用此策略對高考垂直三大類證明進行分析,得出一般的方法和規(guī)律,給予學生建議和幫助。但教學的主場仍然在于日常課堂,因此筆者提出以下三點教學建議。
(一)加強課堂小結環(huán)節(jié),構建知識思維網絡
課堂小結在很多日常課堂中經常被冠以“草草結束”的評價,教師應充分利用課堂小結的平臺與時間,運用思維導圖軟件,引導學生自主總結知識點、數(shù)學思想和方法,并且及時納入單元思維導圖中,幫助學生形成完備的網絡體系。
(二)重視以題會類教學,提升類比遷移能力
真正做到以題會類[6],需要在日常課堂中創(chuàng)設解題情境,選擇典型例題作為母題教會學生“解題出發(fā)點”,即把教師腦子里面的想法嫁接給學生,不僅要教“怎么做”,更要教“怎么想”和“為什么要這樣想”。母題教學之后應當選擇考向考點相近的題目進行訓練,讓學生在熟悉的情境里運用知識、運用方法,才能達到“同類型題怎么做”的功效。
(三)更改解題教學模式,培養(yǎng)思路梳理能力
解題教學不僅要進行“題海戰(zhàn)術”,還要精選例題;不僅要傳授解答技巧,更要梳理思路。在習題課教學中,教師可以在講解答案之前,提問學生解題思路,以“從哪里入手?為什么這么想?接下來該怎么做?你的整個解題運用了哪些知識點?解答這道題你有什么感悟或者經驗方法?”為路徑循循善誘,讓學生充分發(fā)言表達,培養(yǎng)學生梳理思路的能力[7]。
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2017.
[2]張婭婭.高中生立體幾何學習現(xiàn)狀調查研究[D].西北師范大學,2020.
[3]周建鋒.用三面角模型巧解2022年高考立體幾何題[J].中學數(shù)學研究(華南師范大學版),2023(1):16-19.
[4]逯彥周,項麗紅.2022年全國數(shù)學高考卷立體幾何試題分析及教學思考[J].中學教研(數(shù)學),2022(12):40-44.
[5]宋秀云.基于“三新”背景,掌握兩種方法:以立體幾何為例的大單元教學[J].中學數(shù)學研究,2023(7):11-13.
[6]劉華為.基于知識轉化 探求以題會類[J].中學數(shù)學教學參考,2018(8):39-42.
[7]李海東.基于核心素養(yǎng)的“立體幾何初步”教材設計與教學思考[J].數(shù)學教育學報,2019(1):8-11.
注:本文系南寧市教育科學“十四五”規(guī)劃2022年度C類課題“以課本題為生長點的深度學習策略與案例研究”(2022C395)的研究成果。
(責編 林 劍)
作者簡介:彭劍峰,1979年生,廣西梧州人,本科,一級教師,主要從事數(shù)學與應用數(shù)學、數(shù)學教育、高考數(shù)學研究;劉存華,1996年生,廣西合浦人,碩士研究生,一級教師,主要從事數(shù)學教育、教育心理學研究。