“比”是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念之一，也是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。“比”概念在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮承上啟下的作用?！俺猩稀狈矫?，“比”與許多知識(shí)直接關(guān)聯(lián)，如倍、乘法、除法、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等，學(xué)習(xí)“比”有助于溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的理解和認(rèn)識(shí)?！皢⑾隆狈矫?，“比”概念也是小學(xué)數(shù)學(xué)“常量”向中學(xué)數(shù)學(xué)“變量”發(fā)展的轉(zhuǎn)折，是發(fā)展函數(shù)思想和模型思想、比例推理能力的基礎(chǔ)。

“比”的知識(shí)與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)。日常生活中使用“比”可以簡(jiǎn)單、清楚地進(jìn)行表達(dá)，或進(jìn)行計(jì)算與推理。如一種餡料中使用材料的配比，用“比”表達(dá)更清楚且容易操作，還有在購買物品時(shí)對(duì)“性價(jià)比”的比較等?！氨取边€與很多學(xué)科的重要概念有關(guān)，如地理學(xué)科中，比和比例被用來定義“人口密度”，物理中“壓強(qiáng)”等概念的界定也需要依靠“比”，還有經(jīng)濟(jì)學(xué)中計(jì)算盈虧、統(tǒng)計(jì)學(xué)中計(jì)算概率等。

但是，“比”這樣一個(gè)在日常生活中、在各學(xué)科學(xué)習(xí)中都占有一席之地的概念，其本質(zhì)是什么，有很多數(shù)學(xué)教師尚存在理解的誤區(qū)?，F(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)“比”相關(guān)內(nèi)容編寫中，對(duì)“比”的定義指向的是其形式，而非實(shí)質(zhì)，是“‘比’的外殼”[1]，因此需要對(duì)什么是“比”進(jìn)行剖析，這是基于知識(shí)本質(zhì)合理進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的前提。

一、“比”概念的梳理

通過查閱文獻(xiàn)，梳理、列舉數(shù)學(xué)典籍、工具書、國(guó)內(nèi)外期刊等對(duì)“比”定義的描述，分類比較，歸納已有的“比”概念的共性，為辨析“比”概念的內(nèi)涵打基礎(chǔ)。

1.典籍中的“比”。

《幾何原本》中將“比”描述為：同類量之間的大小關(guān)系叫作比。當(dāng)一個(gè)量數(shù)倍以后能大于另一個(gè)量，則說兩個(gè)量有一個(gè)比[2]。

《算術(shù)辭典》對(duì)“比”的定義：“比，最早是同類量的比，比較兩個(gè)同類量之間的倍數(shù)關(guān)系，叫作這兩個(gè)同類量的比。單位相同時(shí)，兩個(gè)量的比可以用表示這兩個(gè)量的數(shù)的比來代替。在實(shí)際中，有同類量的相比，也有不同類量相比的，所以可以說成兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比?！盵3]

《數(shù)學(xué)辭?！氛J(rèn)為：“比”亦稱單比，算數(shù)術(shù)語，比較兩個(gè)同類量之間的一種倍數(shù)關(guān)系，稱為這兩個(gè)同類量的比。在單位相同時(shí)，兩個(gè)量的比可以用表示這兩個(gè)量的數(shù)的比來代替。在實(shí)際中，只有同類量，且取相同單位，才能相比，兩個(gè)量相比得到的倍數(shù)，稱為比值。兩個(gè)數(shù)相比可以說成兩個(gè)數(shù)相除[4]。

2.學(xué)者對(duì)“比”的探討。

（1）“比”是兩個(gè)量對(duì)等關(guān)系的記錄。

孫依云認(rèn)為：兩個(gè)數(shù)相除與兩個(gè)量的比不是等價(jià)的概念。比的本源是比較，比是表示兩個(gè)量對(duì)等關(guān)系的記錄[5]。

王永主張將“比”定義為“兩個(gè)量的對(duì)等（對(duì)應(yīng)或配對(duì)）關(guān)系的記錄”，對(duì)等關(guān)系才是比的本質(zhì)屬性[6]。

（2）“比”表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

張平從歷史出發(fā)，指出“比”產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)是量，量是表示具體事物在空間和時(shí)間存在方面的規(guī)定性，即表示具體事物存在和發(fā)展的規(guī)模、程度、速度、水平、等級(jí)等數(shù)量方面的規(guī)定性。有了量，人們就想知道并描述兩個(gè)或兩個(gè)以上“量”之間的關(guān)系，這就是“比”這一概念產(chǎn)生的主觀愿望[7]。

華青指出，“比”的概念實(shí)質(zhì)是對(duì)兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行比較，表示兩個(gè)數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系。這兩個(gè)可以是同類量，也可以是不同類量?！氨取笨梢员硎緝蓚€(gè)同類量的比，表示的是它們之間的倍數(shù)關(guān)系。“比”還可以表示兩個(gè)不同類量的比，表示第三種量。如用“比”來表示路程與時(shí)間之間的關(guān)系，即單位時(shí)間所行的路程（即速度）[8]。

（3）“比”源于度量，解決了物體不可度量的屬性的可比性。

王永和張平都認(rèn)為“比”源于度量，度量解決了物體可度量的屬性（長(zhǎng)度、面積和體積等）的可比性，“比”解決了物體不可度量的屬性（顏色、形狀和質(zhì)地等）的可比性，這就是比的本質(zhì)[9-10]。

萬兆榮和吳玉國(guó)也表示，“比”更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性，這也是除法所不能及的，這才是比的重要意義[11]。

潘鑫認(rèn)為，“比”的本質(zhì)與度量大有關(guān)聯(lián)，包括同類量之間的度量和非同類量之間的度量?！氨取笔峭ㄟ^比值來進(jìn)行度量的[12]。

二、“比”概念的辨析

從上述對(duì)“比”概念的定義或討論中，可以看出對(duì)于“比”概念的表達(dá)基本都指向“關(guān)系”，而非教材中描述定義時(shí)主要指向的“運(yùn)算”。下面從誰的關(guān)系、什么關(guān)系以及關(guān)系的功能等方面對(duì)“比”概念進(jìn)行剖析。

1.誰的關(guān)系：兩個(gè)數(shù)量。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要將“比”表達(dá)為“兩個(gè)數(shù)相除，又叫作兩個(gè)數(shù)的比”，強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。在上述對(duì)“比”概念的討論中，無一例外都將“比”指向了對(duì)兩個(gè)數(shù)量間關(guān)系的刻畫。

“比”指向具體事物某方面的屬性，“具體事物”決定了它是有背景的，“某方面的屬性”決定了它是帶有量綱的。因此“比”一定是從刻畫兩個(gè)或多個(gè)數(shù)量之間關(guān)系開始，經(jīng)歷“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”，發(fā)展到去掉量綱即兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，再由數(shù)的比簡(jiǎn)化到份數(shù)的比。

數(shù)量指向的事物屬性不同，其量綱就不相同。這就涉及兩個(gè)數(shù)量是同類量還是不同類量。與之相似的是施瓦茨（Schwartz）提出的在兩種類型的數(shù)學(xué)數(shù)量之間的區(qū)別與差異：外延量（extensive quantity），包括計(jì)數(shù)、測(cè)量或估計(jì)[13]；內(nèi)涵量（intensive quantity），“是表示一種相關(guān)，指像濃度、壓強(qiáng)等不能直接測(cè)量而由兩個(gè)外延量的商來表示所求的量” [14]。其中，內(nèi)涵量有兩種：外部比率（external ration），涉及不同類量（像速度每小時(shí)多少千米，價(jià)格每斤多少錢，或者每班有多少學(xué)生）；還有內(nèi)部比率（internal ration），涉及同類量（如每多少元有多少元，每多少人有多少人） [15]。

同類量的比是多數(shù)教材“比的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容首先呈現(xiàn)的素材，因都指向了事物的同一屬性，因此量綱相同，量的比就可以被數(shù)的比替代；而當(dāng)需要兩個(gè)不同屬性共同刻畫一個(gè)事物屬性時(shí)，比如判斷“胖瘦”，就出現(xiàn)了兩個(gè)不同量綱的量之間的關(guān)系，并且指向這個(gè)被刻畫的新屬性，進(jìn)而將產(chǎn)生一個(gè)新的量綱。

2.什么關(guān)系：倍數(shù)關(guān)系。

已有的研究已經(jīng)達(dá)成了共識(shí)，“比”是描述兩個(gè)數(shù)量的比較關(guān)系，更確切地說，這個(gè)比較不是相差多少的關(guān)系，而是倍數(shù)關(guān)系。倍數(shù)關(guān)系包含相除的關(guān)系（正比），也包含相乘的關(guān)系（反比）。但“比”中要表達(dá)的倍數(shù)關(guān)系不等同于乘、除法運(yùn)算，重在對(duì)倍數(shù)關(guān)系的表示、表達(dá)，且這個(gè)倍數(shù)關(guān)系不一定需要計(jì)算出結(jié)果。

在已有的研究中，部分學(xué)者強(qiáng)調(diào)了“對(duì)等關(guān)系”，如“‘比’是兩個(gè)量的對(duì)等（對(duì)應(yīng)或配對(duì)）關(guān)系的記錄”，但這不是“比”的本質(zhì)，而是“比”的外在形式。一個(gè)“比”中，至少有兩個(gè)能建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系的量同時(shí)存在，“比”的外在形式就是呈現(xiàn)了這兩個(gè)對(duì)應(yīng)的量同時(shí)存在的狀態(tài)。對(duì)對(duì)等關(guān)系的理解，也可以用來解釋小學(xué)數(shù)學(xué)教材中對(duì)“比”定義的局限性。“兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比”，這樣描述的重點(diǎn)在于除及除的結(jié)果，而不在于兩個(gè)量同時(shí)存在。

另外，要突破對(duì)倍數(shù)關(guān)系認(rèn)識(shí)的誤區(qū)，即：倍數(shù)不一定是整數(shù)，可以是分?jǐn)?shù)、也可以是小數(shù)；倍數(shù)也不一定比1大。

3.關(guān)系的功能：表達(dá)與度量。

“比”的表達(dá)功能是“比”區(qū)別于分?jǐn)?shù)和除法的重要之處，此時(shí)的“比”強(qiáng)調(diào)的是數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的直接呈現(xiàn)。例如，吹泡泡液體中，水和洗潔精的比是2∶3，通過這個(gè)比可以理解水、洗潔精兩個(gè)量要配對(duì)存在，且每2份水對(duì)應(yīng)3份洗潔精，不需要計(jì)算比值，就可以根據(jù)水和洗潔精的對(duì)應(yīng)關(guān)系配制出相同的吹泡泡液體。此外，“比”還可以將三個(gè)甚至更多個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系以對(duì)應(yīng)的形式呈現(xiàn)出來，例如，一種醬料配方中醋、鹽、糖的比是2∶1∶1。這種多個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，除法和分?jǐn)?shù)是不能直接表示的。

比和比例相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)是發(fā)展學(xué)生比例推理能力的重要根基。發(fā)展比例推理的核心是真正認(rèn)識(shí)比例等式兩邊的關(guān)系，也就是巧妙運(yùn)用“比”的表達(dá)功能解決問題的推理能力。所以“比”的表達(dá)功能至關(guān)重要。

比可以通過比值描述兩個(gè)量之間倍數(shù)關(guān)系達(dá)到的程度，這個(gè)程度可以用來度量、比較物體不可直接度量的屬性，如顏色的深淺、形狀的相似、速度的快慢等。但是否計(jì)算比值不是區(qū)分比的表達(dá)、度量功能的標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)橛袝r(shí)即使不求出比值，一個(gè)“比”所表示出的倍數(shù)關(guān)系也可以作為一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量和比較一些事物不好直接度量的屬性。這主要是同類量的比，如糖和水的比是1∶10，就可以作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去判斷其他糖水的甜度。

因此，“比的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)與度量”[16]。

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【本文系吉林省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度一般課題“指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施研究”（編號(hào)：GH22123）的研究成果】

（作者單位：王艷玲，東北師范大學(xué)；宋冰、王丹，東北師范大學(xué)附屬小學(xué)） J