“迷思（Misconception）”的內(nèi)涵雖然尚未統(tǒng)一，但已有研究對(duì)于迷思特征的概括具有一致性。迷思可以存在于學(xué)習(xí)之前，表現(xiàn)為長(zhǎng)期積累形成的不合理的生活經(jīng)驗(yàn)；可以存在于學(xué)習(xí)的過程中，表現(xiàn)為遇到的障礙和不理解的地方；也可以存在于學(xué)習(xí)之后，表現(xiàn)為已經(jīng)形成的、根深蒂固的不完整、不科學(xué)的認(rèn)知等。但這些經(jīng)驗(yàn)、障礙、認(rèn)知等均與科學(xué)概念有一定差距甚至相悖，且難以改變。因此，發(fā)現(xiàn)、研究各個(gè)階段學(xué)生的迷思表現(xiàn)，對(duì)找準(zhǔn)教學(xué)設(shè)計(jì)起點(diǎn)、幫助學(xué)生突破理解難點(diǎn)等有重要的作用。本研究力圖發(fā)現(xiàn)的就是學(xué)生學(xué)習(xí)“比”概念之后的迷思，希望通過對(duì)學(xué)習(xí)迷思的描述，幫助教師復(fù)盤、反思自身的概念理解和教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)。

一、學(xué)生“比”概念迷思的診斷設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象。

此研究希望了解的是學(xué)生學(xué)習(xí)完“比”概念后對(duì)“比”本質(zhì)的理解情況，因此選擇了小學(xué)六年級(jí)畢業(yè)前的學(xué)生為測(cè)查對(duì)象，能保證其已經(jīng)學(xué)習(xí)完與“比”相關(guān)的所有知識(shí)。以某小學(xué)（并非前文中進(jìn)行“比”教學(xué)改進(jìn)研究的學(xué)校）六年級(jí)全體學(xué)生為樣本，八個(gè)班中一個(gè)班用以試測(cè)，剩余七個(gè)班進(jìn)行正式測(cè)試。七個(gè)正式測(cè)試班最終有效樣本為192人，其中男生95人，女生97人。

2.研究方法。

此研究主要采用測(cè)試、作品分析等方法推進(jìn)。開發(fā)用以診斷學(xué)生“比”概念迷思的紙筆測(cè)試題。試測(cè)后對(duì)試卷的信度、效度進(jìn)行分析，并根據(jù)試測(cè)結(jié)果對(duì)試題加以完善，形成正式測(cè)試題目。然后制定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生答題表現(xiàn)賦分，對(duì)學(xué)生答題及陳述理由的過程進(jìn)行歸類分析，以判斷學(xué)生對(duì)“比”的迷思。

3.工具編制。

（1）測(cè)試工具。

此研究采用測(cè)量學(xué)生迷思常用的診斷性測(cè)驗(yàn)中的二階測(cè)試，即測(cè)試題由“答案階＋理由階”構(gòu)成，學(xué)生在作答時(shí)除了要選出自認(rèn)為合理的選項(xiàng)，還要對(duì)其為何這樣選擇給出理由或詳細(xì)的解題過程[1]。如此，既能了解學(xué)生的答案，又能了解學(xué)生具體的思維過程。

（2）測(cè)試維度。

此研究的測(cè)試內(nèi)容為學(xué)生對(duì)“比”概念本質(zhì)的理解?！氨仁莾蓚€(gè)數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)與度量”[2]，因此，將具體測(cè)試內(nèi)容分為三個(gè)維度：學(xué)生如何理解“比”，如何理解“比”的表達(dá)功能，如何理解“比”的度量功能。

（3）測(cè)試題目。

二階診斷測(cè)試包含“答案階”和“理由階”，考慮“比”的知識(shí)內(nèi)容特點(diǎn)，“答案階”題目設(shè)計(jì)時(shí)，并沒有全部編制成選擇題，也包含了判斷、問答等題型；“理由階”主要為“請(qǐng)寫出你選擇/判斷/作答的理由”的作答要求。對(duì)應(yīng)理解“比”及其“表達(dá)”“度量”這幾個(gè)維度，第①②題考查在不同情境中對(duì)“比”概念和兩個(gè)數(shù)量比較關(guān)系的理解；第③④⑤題指向“表達(dá)”功能，覆蓋了同類量量綱相同/不同、非同類量的情況；第⑥⑦題指向“度量”功能，包含了同類量、非同類量?jī)煞N情況。具體題目如下。

①請(qǐng)結(jié)合生活實(shí)例說明5∶3表示的意義，并解釋你這樣寫的理由。

②判斷對(duì)錯(cuò)，并解釋你判斷的理由。

校足球賽上，紅隊(duì)和黃隊(duì)比賽的比分為3∶2；某蛋糕的配料表中顯示白砂糖和低筋面粉的配料為3∶2。這兩個(gè)3∶2的意義相同。（ ）

③判斷對(duì)錯(cuò)，并解釋你判斷的理由。

三（2）班教室墻壁上的紅旗長(zhǎng)15cm、寬10cm，長(zhǎng)和寬之間的倍數(shù)關(guān)系可以表示為15cm∶10cm。（ ）

④判斷對(duì)錯(cuò)，并解釋你判斷的理由。

在城市道路美化工程中，工程隊(duì)每2個(gè)人負(fù)責(zé)修剪5平方米的草坪。則修剪人數(shù)與草坪的面積之間的關(guān)系可以表示為“2人∶5平方米”。這個(gè)比一定要求出比值才有意義。（ ）

⑤判斷對(duì)錯(cuò)，并解釋你判斷的理由。

小明身高160cm，表弟身高1m。小明和表弟的身高比是160∶1。（ ）

⑥研究表明，人的胖瘦程度可以用人的身高和體重之間的某種關(guān)系來衡量。你認(rèn)為下列哪個(gè)選項(xiàng)可以用來衡量人的胖瘦程度？并解釋你判斷的理由。（ ）

A.身高－體重的值 B.身高＋體重的值

C.身高×體重的值 D.身高∶體重的值

⑦有三杯糖水，如圖1，你認(rèn)為哪杯最甜？并解釋你判斷的理由。（ ）

4.評(píng)分細(xì)則。

收回學(xué)生的測(cè)試卷后，需要對(duì)學(xué)生“答案階”和“理由階”作答進(jìn)行評(píng)分?！按鸢鸽A”依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)答案進(jìn)行賦分，正確1分，錯(cuò)誤0分；“理由階”，學(xué)生作答呈現(xiàn)出多樣性，因此制定了詳細(xì)的評(píng)分細(xì)則，以保證評(píng)分的客觀性。學(xué)生“理由階”的陳述，與評(píng)分細(xì)則內(nèi)容吻合的可得1分，反之為0分。

二、學(xué)生“比”概念迷思的表現(xiàn)分析

評(píng)閱、復(fù)核測(cè)試卷，并對(duì)試題的信度進(jìn)行分析后，便可通過得分及具體答題表現(xiàn)來剖析學(xué)生對(duì)“比”概念的迷思表現(xiàn)。

1.“答案階”“理由階”的正確率。

學(xué)生“答案階”平均正確率為80.28%，“理由階”平均正確率僅為52.46%。7道題兩階的正確率如圖2所示。從圖2中可以看出，在“答案階”上，6道題的正確率都在80%以上，第③題拉低了正確率均值。這說明學(xué)生對(duì)“比”概念本質(zhì)的掌握尚存在盲區(qū)。在“理由階”上，有超過半數(shù)的題目正確率都不高于50%，這說明相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生對(duì)“比”本質(zhì)的理解是知其然而不知其所以然的狀態(tài)。對(duì)比兩階的正確率，“理由階”都低于“答案階”，且有4道題差異較大，說明能“解題”但不能“解釋”是學(xué)生“比”概念掌握過程中的普遍現(xiàn)象。

2.學(xué)生作答的整體情況。

第①②題直接指向?qū)W生對(duì)“比的意義”的理解，第③④⑤題考查學(xué)生對(duì)“表達(dá)”功能的理解，第⑥⑦題考查學(xué)生對(duì)“度量”功能的理解。結(jié)合圖象走勢(shì)，可以看出六年級(jí)學(xué)生對(duì)“度量”的理解比“表達(dá)”更加穩(wěn)定。對(duì)具體題目進(jìn)行分析，可以得到如下發(fā)現(xiàn)：

（1）理解“比”的部分：學(xué)生能把生活實(shí)例與“比”聯(lián)系起來，但半數(shù)以上的學(xué)生不能明確寫出實(shí)例中這個(gè)“比”表達(dá)的意義。75.52%的學(xué)生能用自己的方式說明“比分3∶2”和“配料3∶2”所表達(dá)意義的不同，說明學(xué)生能較好地區(qū)分“比多少關(guān)系”的比和“比倍數(shù)關(guān)系”的比。例如有學(xué)生在“理由階”中這樣作答：“比分是數(shù)據(jù)差，配料比是兩個(gè)量之間的關(guān)系”“第一個(gè)3∶2是有關(guān)加減法的，第二個(gè)才是度量?jī)蓚€(gè)量的比”“第一個(gè)是比分，不是‘比’；第二個(gè)是關(guān)系，是‘比’”“分?jǐn)?shù)的比和份數(shù)的比意義不一樣”“第一個(gè)表示具體的數(shù)，第二個(gè)表示份數(shù)關(guān)系”……

（2）理解“表達(dá)”功能部分：幾乎所有學(xué)生都知道用“比”表達(dá)兩個(gè)同類量之間倍數(shù)關(guān)系時(shí)必須做到量綱相同，需要提前統(tǒng)一單位。但絕大多數(shù)學(xué)生有這樣的誤區(qū)——寫出“比”時(shí)是不可以帶單位的。約半數(shù)的學(xué)生認(rèn)為“比一定要求出比值才有意義”，說明其不清楚比“表達(dá)”的關(guān)鍵在于能方便地讓人們識(shí)別出兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)、對(duì)等關(guān)系，而不是一定要求出比值。

（3）理解“度量”功能部分：這部分有半數(shù)左右的學(xué)生不能對(duì)作答結(jié)果進(jìn)行合理解釋。

3.學(xué)生作答中的典型迷思。

從圖2的統(tǒng)計(jì)中可以看出，第③題“答案階”和“理由階”的正確率都很低，而第①④⑥⑦題“理由階”與“答案階”正確率相差很大。重點(diǎn)分析這幾道題，以揭示學(xué)生的迷思。

第③題“答案階”中約76%的學(xué)生做了錯(cuò)誤判斷，還有約10%的學(xué)生判斷正確，但“理由階”不能得分。學(xué)生在“理由階”中給出的理由主要有：“比”不可以帶單位，“比”用來表示倍數(shù)關(guān)系時(shí)必須化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)整數(shù)比，倍數(shù)關(guān)系不可以用“比”來表示，等等。這些錯(cuò)誤表現(xiàn)表明了學(xué)生沒有深刻理解“比”的本質(zhì)。實(shí)際上，無論是兩個(gè)同類量的比還是兩個(gè)非同類量的比都可以帶單位，只不過兩個(gè)同類量“比”的量綱相同，在比較的過程中可以簡(jiǎn)化掉量綱。此外，無論是最簡(jiǎn)整數(shù)比還是非最簡(jiǎn)整數(shù)比都可以表達(dá)出倍數(shù)關(guān)系。在日常教學(xué)過程或測(cè)評(píng)中往往要求學(xué)生不能將同類量的“比”帶上單位、必須使用最簡(jiǎn)整數(shù)比等，這種為了使結(jié)果簡(jiǎn)化而提出的形式上的要求，使得學(xué)生機(jī)械記憶規(guī)則，反而影響了學(xué)生對(duì)“比”概念的真正理解。

第①題“理由階”的主要問題在于表述不出“‘比’可以表達(dá)兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系”這一意義。

第④題學(xué)生在“理由階”描述不出“在該題背景下這兩個(gè)非同類量不一定需要求出比值”或相似理由，有的學(xué)生給出的理由是“比值不可以帶單位”，或者“單位不同不能‘比’”，認(rèn)為只有同類量之間才能“比”。

第⑥題學(xué)生“理由階”得分低，根源在于學(xué)生不完全理解“‘比’可以度量?jī)蓚€(gè)量間的倍數(shù)關(guān)系”這一功能。很多學(xué)生“理由階”無理由可陳述，或者寫出“身高與年齡有關(guān)，身高越高年齡也越大”這樣不正確的理由。

第⑦題“理由階”的表述中，學(xué)生“捅不破窗戶紙”，如只列舉三杯糖水中糖和水克數(shù)比化簡(jiǎn)的過程，但未給出為什么第一杯水最甜；還有的建構(gòu)了糖和水克數(shù)比后說明要選比值最小的，混淆了比值大小與甜度高低的關(guān)系。

三、學(xué)生“比”概念迷思消解的建議

學(xué)習(xí)迷思的轉(zhuǎn)變與消解不能靠學(xué)生自發(fā)地完成，主要還是在課堂教學(xué)中在教師的引導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)。基于此，對(duì)“比”概念教學(xué)提出以下建議。

1.基于概念本質(zhì)，重視“比”概念的理解而非機(jī)械記憶。

從本研究中學(xué)生的答題表現(xiàn)可以看出，學(xué)生并不能很好地闡述“比”的意義，學(xué)生能背誦教材中給出的定義、能答題，并不等于理解了“比”。首先，教師要立足課標(biāo)、鉆研教材、閱讀文獻(xiàn)，精準(zhǔn)、深刻地把握“比”概念本質(zhì)，這是引導(dǎo)學(xué)生理解的前提；其次，應(yīng)以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)“比”的意義，如可以引導(dǎo)學(xué)生由熟悉的“差比”過渡到“倍比”，也可與之前學(xué)過的“幾倍”相聯(lián)系；再次，要處理好表達(dá)與度量，同類量比和非同類量比，比與分?jǐn)?shù)、除法等的關(guān)系；最后，要注重在生活化、具體化的情境中理解“比”的實(shí)際意義并抽象“比”。

2.關(guān)注思維過程，掌握學(xué)生“比”概念理解的真實(shí)表現(xiàn)。

傳統(tǒng)測(cè)試中，學(xué)生靠猜測(cè)、蒙選等方式也可能得到正確答案，但實(shí)際上其并不理解概念本質(zhì)，為迷思產(chǎn)生埋下伏筆，也對(duì)后續(xù)相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)產(chǎn)生不良影響。本研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生“理由階”正確率普遍低于“答案階”，這提示教師要關(guān)注學(xué)生解決問題時(shí)的思維過程。在教學(xué)中，教師要善于和學(xué)生對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)對(duì)“比”概念的看法，以此來了解學(xué)生所思所想；且教師要有意識(shí)地獲取已有研究中對(duì)學(xué)生迷思的報(bào)告，及有經(jīng)驗(yàn)教師總結(jié)的學(xué)生學(xué)習(xí)特征，帶著這些前人的貢獻(xiàn)與學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并消解迷思。

3.注意挖掘迷思，及時(shí)干預(yù)，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變“比”概念迷思。

迷思在學(xué)生“比”概念體系學(xué)習(xí)過程中廣泛存在，且不同學(xué)生的表現(xiàn)不同。學(xué)生迷思產(chǎn)生的原因也多種多樣，如知識(shí)缺乏、概念混淆、做題粗心、思維水平較低、機(jī)械記憶等主觀原因；此外，教師講授方式、教材編排特點(diǎn)、類化概念等客觀原因也會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)“比”概念的迷思。因此要注重尋找和發(fā)現(xiàn)學(xué)生頭腦中存在的迷思，還應(yīng)弄清楚學(xué)生產(chǎn)生迷思的原因所在。教學(xué)中，教師可以通過提問引發(fā)學(xué)生之間的探討和互動(dòng)，使學(xué)生能夠創(chuàng)造性地理解和吸收概念；可以設(shè)計(jì)小組學(xué)習(xí)，通過生生之間互動(dòng)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤或糾正對(duì)方的不足；還可以通過畫概念圖等方法暴露學(xué)生概念掌握的迷思。

參考文獻(xiàn)：

[1]Treagust D.Evaluating students＇ miscon-ceptions by means of diagnostic multiple choice items[J].Research in Science Education，1986，16（1）：199-207.

[2]史寧中，娜仁格日樂.小學(xué)教科書中比及其教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（4）：1-5.

【本文系北京師范大學(xué)中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量檢測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)迷思測(cè)評(píng)的研究”（編號(hào)：2022-03-045-BZPK01）的研究成果】

（作者單位：東北師范大學(xué)，山東煙臺(tái)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)依云小學(xué)） J