指向“比”概念知識本質(zhì)，基于教材的編寫思路、素材進行的教學設計與改進經(jīng)歷了“設計—反思—改進”循環(huán)迭代過程。當教師帶著“究竟什么是‘比’”這一問題對概念本質(zhì)進行辨析并分析教材時，教材中的素材就由“靜止”狀態(tài)被賦予了“聯(lián)結(jié)”功能：一方面素材要能適切地承載“比”的本質(zhì)意義；另一方面要銜接學生的學習經(jīng)驗，并有助于學生建構(gòu)對概念本質(zhì)的理解。

研究團隊所在學校使用的是北師大版教材。如前文分析，北師大版教材引入“比”的素材是“判斷幾張圖片像不像”，包括“試一試”中的素材“樹高和影長的關(guān)系”“比速度”“比單價”等，都比較重視“比”表達倍數(shù)關(guān)系的“度量”功能，且教材編寫呈現(xiàn)了“探究”的主線。結(jié)合前文對“比”本質(zhì)中“兩個數(shù)量、倍數(shù)關(guān)系、表達與度量”等關(guān)鍵要素的分析，確定了“比的認識”教學設計要點。

第一，“比”的表達功能重在呈現(xiàn)兩個量的對應關(guān)系，度量是用比值或者這個“比”本身做標準進行比較、判斷，應重視二者的融合和統(tǒng)一，最好能在一個素材中同時關(guān)注這兩個功能。北師大版教材中“判斷圖片像不像”素材突出了“度量”，可以在運用過程中強調(diào)“比”對長方形長、寬關(guān)系的呈現(xiàn)和表達。

第二，教材編寫對“不同類量”與“同類量”這兩類“比”的不同關(guān)注得不多，“不同類量”的素材相對較少，教學設計中可以適當補充，并加強對兩類“比”的不同的感受。

第三，認識“比”有一個發(fā)展過程。教材編寫都是從同類量的比較開始，再到不同類量的比較。在同類量的比較中，對量的感受較少，就迅速進入數(shù)的“比”學習中。所以，同類量從“量的比”發(fā)展到“數(shù)的比”，再到“份數(shù)的比”，將“比”一般化、抽象化，這個過程教材編寫和已有教學設計關(guān)注得不夠。因此可以在“比的認識”單元學習歷程中，階梯式地引導學生感受，并在單元回顧反思中指導學生概括此學習歷程。

在實踐中，“比的認識”單元教學經(jīng)歷了三輪改進。教師使用測驗、訪談、課堂觀察等方法，捕捉學生與教師之間的互動，基于學生學習反饋的證據(jù)，對教學設計進行了檢驗和修正。以第一課時“比的意義”教學情境為例，這個情境素材經(jīng)歷了“判斷圖片像不像→配制顏色不同的溶液→配制顏色相同的溶液”的變化過程。下面就以此為切入點，說明循證改進教學設計的過程。

一、第一輪教學：判斷圖片“像不像”

1.情境設計。

課上教師出示教材情境圖（如圖1），請學生觀察，提問：哪幾張圖片與圖A比較像？你是怎么想的？然后指導學生探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

2.課堂觀察，捕捉問題：學生怎樣判斷圖片“像不像”？

教師在觀察課堂教學時發(fā)現(xiàn)，學生判斷圖片“像不像”，容易受圖片中人物等信息的影響，教材中“圖片像不像”這個素材看似是能幫助解釋抽象問題的直觀圖象，卻給學生的學習帶來了很大干擾。學生判斷長方形是否相像，更多的是用長方形中人物的表情、臉型、衣服、動作、身材等進行比較，而忽視了問題本質(zhì)，即長方形長和寬之間的倍數(shù)關(guān)系，或者長與長之間、寬與寬之間的倍數(shù)關(guān)系。

另外，教材中4liWj8YCaeH/B88w7za4LA==“圖片像不像”素材，把問題落在“哪幾張圖片與圖A比較像”上，因此“度量”功能更突出，“表達”功能較弱，需要教師在教學中強調(diào)。本次教學中，雖然設計了供學生記錄學習過程的學習任務單，引導學生將每個圖片的長、寬都寫下來，對應起來，表達一個長方形的具體形狀，但教學中教師強調(diào)得不夠，所以學生觀察、討論時，重點關(guān)注的是長和寬之間的倍數(shù)關(guān)系，或者縱向上比較不同圖片的長或?qū)挕＿@也應在下一次教學中改進。

3.設計訪談，獲得調(diào)整情境的依據(jù)。

研究團隊在第二輪教學設計前進行了學生調(diào)研，從六年級中隨機抽取一個班，對全班31名學生進行訪談，以達到兩個目的：對教材中的情境素材進行判斷，以驗證第一輪課堂教學中的發(fā)現(xiàn)；進一步了解學生對“比”的生活經(jīng)驗，確定教學起點和任務情境。訪談的問題如下：

①如圖2，這兩張圖片像嗎？你是怎么看出來的？

②你見過3∶2嗎？在哪兒見過？它表示什么意思？

③如果要配制與老師給的蜂蜜水一樣甜的蜂蜜水，你想知道什么條件？

第①題：約有6.5%的學生能夠明確提出通過長方形的特征判斷圖片相像，約有12.9%的學生通過電腦拉伸圖片的經(jīng)驗判斷圖片相像，約有67.7%的學生通過臉型、神態(tài)、表情、眼神等因素進行判斷?？梢钥闯鰣D片信息對學生干擾非常大。

第②題：約有90.3%的學生在生活中見過“3∶2”這種形式的比，其中約有46.4%都是在比賽中見過比分3∶2；約有16.1%的學生認為“比”表示份數(shù)的對應關(guān)系?？梢妼W生對比分的了解比較多，對表達倍數(shù)關(guān)系的“比”的經(jīng)驗不充足。

第③題是對第二輪教學擬使用情境素材的預設，考慮調(diào)配飲品是學生非常熟悉的生活事件，這個過程也比較適宜呈現(xiàn)“比”對倍數(shù)關(guān)系的表達及度量功能，因此設計了此問題了解學生對此類問題的熟悉程度。約有96.8%的學生有調(diào)制蜂蜜水的經(jīng)驗，其中約有63.3%的學生能夠分析出蜂蜜水的甜度與水和蜂蜜的量有關(guān)，約有26.7%的學生能夠通過蜂蜜與水的關(guān)系判斷蜂蜜的甜度?？梢妼W生對配比的生活經(jīng)驗非常充足，配比情境相對于判斷圖片相像情境干擾因素較少。

基于訪談結(jié)果，研究團隊將第一輪教學中使用的教材情境素材替換掉，使用“配水”的情境理解“比”的意義。但是與訪談中問題不同的是，配制的不是水的甜度，而是顏色，主要考慮甜度不可視，且受個體的主觀感受影響較大。

二、第二輪教學：配制顏色不同的溶液

1.教學設計。

第二輪教學設計時，對于配制顏色相同還是顏色不同的溶液，研究團隊有過猶豫。人靠視網(wǎng)膜的神經(jīng)細胞分辨顏色，但要衡量兩個顏色是否完全相同，需要借助相同條件下光的折射率等條件或相關(guān)儀器判斷。但是顏色不同時，人靠肉眼往往就可以判斷。基于這個理由，將第一課時的情境設計為“配制與老師所給溶液顏色不同的溶液”。具體設計如下：

首先，請學生隨意配制綠色溶液，感受綠色溶液的顏色與黃色、藍色溶液都相關(guān)。

教師介紹準備的學習材料（黃色溶液、藍色溶液、空燒杯、廢液杯等）后，請學生將兩種顏色的溶液各倒入空燒杯一點，然后互相觀察，看有什么發(fā)現(xiàn)。

請學生感受，都是往空燒杯中倒入了黃色、藍色兩種溶液，大家配制的新溶液顏色差不多，但又不一樣。教師提問：同學們配色結(jié)果的不同和什么有關(guān)？

前面訪談學生得知，相當一部分學生對比有一定的認識經(jīng)驗，所以預設學生可能會回答，綠色溶液的顏色深淺與黃色、藍色溶液的比（比例）有關(guān)系；或者回答與配制時用的黃色和藍色溶液的體積有關(guān)系。

然后提出“配制與老師所給溶液顏色不同的溶液”的學習任務。

教師提問：請同學們仔細觀察老師配制的綠色溶液，觀察后說一說，老師是怎么配制的？

師生討論，老師配制的綠色溶液，其中黃色、藍色溶液的關(guān)系是什么樣的？

預設學生可能的回答：黃色是藍色的[12]、藍色是黃色的2倍，黃色占總量的[13]、藍色占總量的[23]，黃色比藍色少50毫升、藍色比黃色多50毫升，黃色比藍色少50%，黃色和藍色是1∶2……

教師引導學生思考：看來這個綠色溶液中黃色和藍色有這么多的關(guān)系，究竟哪種關(guān)系決定了顏色的不同呢？帶著這個問題，一起動手配制和老師所給溶液顏色不同的溶液。

出示學習指南，學生動手操作，并將自己配制時使用黃色、藍色溶液的數(shù)量記錄下來。記錄后可以試著從關(guān)系的角度說明顏色為什么不同。

……

在此次教學設計中，“配溶液”這一情境主要有兩個環(huán)節(jié)。第一個環(huán)節(jié)，觀察如何配制出綠色的溶液，從生活經(jīng)驗中抽象出綠色可以用藍色和黃色共同表示，從而感知可以用兩個量（多個量）之間的關(guān)系來度量事物不可直接度量的屬性；并初步感受綠色與黃色、藍色這兩個量同時有關(guān)，缺一不可。第二個環(huán)節(jié)，讓學生配制與教師所給溶液顏色不同的溶液，辨析黃色、藍色兩個數(shù)量的不同關(guān)系，感受用黃色和藍色的倍數(shù)關(guān)系可以準確描述得到的綠色。

2.課堂觀察，發(fā)現(xiàn)新的問題：學生只考慮一個量的變化。

實施教學時，研究團隊發(fā)現(xiàn)“配制不同顏色的溶液”這一任務要求給學生帶來了新的干擾：學生在思考如何配制出不一樣的顏色時，一部分學生不從兩個量的關(guān)系入手考慮，而是基于教師配制溶液中兩種顏色溶液的量，保持其中一個不變，變化另一個的量，就得到不同的顏色。學生的思考、推理過程清晰，也達成了學習任務的要求，但沒有從兩個量的相互關(guān)系角度考慮，說明這個學習任務的設計不是最適合學生感受“比”表達意義的教學表征。

另外，無論是“圖片像不像”還是“配制溶液的顏色變不變”，都是從“比”的度量功能切入的。但很多時候，“比”的度量價值是以對倍數(shù)關(guān)系的表達為基礎或前提的，因此教學中教師應明確在引導學生分析感受“比”的度量功能的同時，理解“比”的表達功能。教師執(zhí)教過程中也確實引導學生觀察兩種顏色的溶液“同時在”才能決定、描述出配制出的溶液顏色，如第二輪教學設計的第一個環(huán)節(jié)，以及第二個環(huán)節(jié)中教師要板書出學生配制的種種不同方案，正是這個設計意圖。但是因為學生配制的方案中數(shù)量都不同，而顯得雜亂、無規(guī)律，沖淡了對“兩個對應的量的某種關(guān)系共同決定了一個新的量”這個“比”表達功能的理解。

三、第三輪教學：配制顏色相同的溶液

根據(jù)第二輪教學發(fā)現(xiàn)，此次教學設計改進中將任務情境修改為“配制與教師配制的溶液顏色相同的溶液”。第一課時第三輪設計如下：

1.從配制“寶貝綠”引入，體會用兩個量同時描述一個量。

師：老師家最近裝修，要給我家寶貝的房間刷綠色乳膠漆。這個綠色是用黃色和藍色這兩種漆調(diào)配出來的。今天我們就一起研究怎么精準地配制這個綠色。為了研究方便，把它叫作老師家的“寶貝綠”。要準確描述“寶貝綠”，需要知道哪些信息？

教師引導學生體會，藍色和黃色這兩個量必須同時存在，才能準確描述“寶貝綠”到底是什么樣的。

請學生舉一個生活中必須用兩個量同時描述一個事物的例子。預設：濃度，這種氣體占空氣的幾分之幾；配制蜂蜜水；做菜調(diào)味……

2.動手配制“寶貝綠”，體會兩種顏色倍數(shù)的關(guān)系不變才能保證是“寶貝綠”。

（1）教師示范，學生配制相同顏色的溶液。

教師示范用黃色50毫升，藍色20毫升，模擬配制乳膠漆。然后請學生配制和教師一模一樣的“寶貝綠”，但是用的量不能和教師的一樣。

（2）學生獨立配制后小組交流。

提出獨立學習要求：想一想，怎樣配制才能得到“寶貝綠”？寫一寫，在學習卡上寫出黃色和藍色的用量；配一配，根據(jù)寫好的用量進行配制。

獨立配制后學生小組交流：你是怎么配制的？什么不變，才能使得顏色一樣？

（3）集體交流。

學生依次匯報自己的配法，解釋什么不變才能使得顏色一樣。

學生匯報之后，教師引導學生討論：究竟是什么不變，才能使得顏色一樣？進一步體會：是什么關(guān)系不變，才能使得顏色一樣？引導學生辨析：黃色和藍色的和不變時，顏色不確定；差不變時，顏色也不確定；只有黃色是藍色的2.5倍時，配制出的顏色才是“寶貝綠”。

教師說明，當用兩個數(shù)量一起同時描述一件事情，并且這兩個數(shù)量是相除的倍數(shù)關(guān)系的時候，在數(shù)學上用“∶”表示，它叫作比號。這個符號是數(shù)學家萊布尼茨發(fā)明的。然后介紹比各部分的名稱。

（4）體會比的表達與度量功能。

教師提問：寫成這種比的形式有什么好處？

引導學生體會：能直接看到兩個數(shù)量。如果用三種顏色配色呢？也可以用這三個量之間的倍數(shù)關(guān)系表示新的顏色，而且一旦這三個量的關(guān)系確定了，顏色就確定了。

如果黃色或藍色其中一個顏色的體積發(fā)生了變化，配制好的乳膠漆顏色會有什么變化？黃色與藍色體積的比值比2.5大，顏色更接近黃色；比值比2.5小，顏色更接近藍色。

（5）聯(lián)系生活，進一步明晰比的概念。

分析剛才同學們舉的例子，有哪些可以用比表示？再舉一些可以用比表示的例子。

3.通過比胖瘦、比速度等，進一步理解比的度量意義。

……

情境修改有以下的意圖：將配制顏色相同的溶液，放置到“粉刷房間配制彩漆”這一生活情境中，有助于學生經(jīng)歷從生活原型建構(gòu)出數(shù)學概念的建模全過程，感悟模型思想，溝通數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，感受數(shù)學的價值；通過對“寶貝綠”這一顏色的構(gòu)成及相關(guān)例子的分析，體會生活中有些事情不能用一個量準確描述，需要用兩個量（多個量）同時描述。在“配制顏色相同的溶液”要求下，學生就不會只考慮一個顏色，要同時考慮兩個顏色，這指向了“比”的“表達”功能；讓學生把配制方案板書到黑板上，如50毫升∶20毫升，100毫升∶40毫升等，并觀察、歸納其中不變的倍數(shù)關(guān)系（可以是同一方案中兩個顏色的倍數(shù)關(guān)系，也可以是不同方案之間同一顏色的倍數(shù)關(guān)系），不變的比值就是度量顏色的“標尺”，有助于學生理解“比”的度量功能。

經(jīng)過對情境的三次調(diào)整，情境已經(jīng)能夠較好地表征“比是兩個數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達與度量”這一概念的本質(zhì)。課堂上學生學習過程比較順暢。

“比的認識”三次不同的“情境/問題”的設計，是教師對此知識本質(zhì)理解下的教學表征預設，就如同先設計了一個教學“處方”，“處方”調(diào)整的依據(jù)是在教學現(xiàn)場，通過學生在設定的場景（任務情境、調(diào)查訪談的問題）中，與內(nèi)容（情境素材、問題）、與教師的教學行為之間的互動來反饋。通過課堂反饋，證實了“圖片像不像→配制顏色不同的溶液→配制顏色相同的溶液”三個教學表征變化，對學生理解“比”概念有直接、明確的影響，循證使得“處方”最終“對癥”。

【本文系吉林省教育科學“十四五”規(guī)劃2022年度一般課題“指向數(shù)學核心素養(yǎng)的小學數(shù)學單元教學設計與實施研究”（編號：GH22123）的研究成果】

（作者單位：王艷玲，東北師范大學；宋冰、石迎春，東北師范大學附屬小學） J