2022年版課標(biāo)對小學(xué)階段“數(shù)與運(yùn)算”主題提出了明確要求：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識?！被诖?，青島版新教材（依據(jù)2022年版課標(biāo)編寫的教材）力求在大單元統(tǒng)領(lǐng)下落實(shí)2022年版課標(biāo)關(guān)于一致性的相關(guān)要求。

本文以“數(shù)與運(yùn)算”主題為例，闡述青島版新教材在編寫過程中對數(shù)的概念的本質(zhì)、數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)及運(yùn)算之間的關(guān)系進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，設(shè)計(jì)體現(xiàn)大單元特征的課程內(nèi)容，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力和推理意識等。

一、理解數(shù)與運(yùn)算的本質(zhì)和核心概念

（一）理解數(shù)的意義，感悟數(shù)的概念的一致性。

數(shù)是數(shù)出來的。感悟數(shù)的概念的一致性主要體現(xiàn)在兩個方面：一方面，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都是對數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象；另一方面，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都可以從計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個數(shù)的角度來認(rèn)識。因此，數(shù)的意義的核心概念是計(jì)數(shù)單位。實(shí)施數(shù)的意義整體性教學(xué)，旨在使學(xué)生看到數(shù)就能關(guān)注到計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，不斷感悟一致性，體會計(jì)數(shù)單位及其個數(shù)的價(jià)值，發(fā)展數(shù)感和符號意識。

（二）理解數(shù)的運(yùn)算的意義，感悟數(shù)的運(yùn)算的一致性。

數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)是四則運(yùn)算的意義及其關(guān)系。實(shí)施數(shù)的運(yùn)算意義的整體性教學(xué)，一是讓學(xué)生進(jìn)一步體會加法是最基礎(chǔ)的運(yùn)算，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是加法的簡便運(yùn)算，除法既是乘法的逆運(yùn)算，又是減法的簡便運(yùn)算；二是讓學(xué)生從整體上理解和掌握運(yùn)算的算理和算法，如在加減法運(yùn)算中，無論是整數(shù)的數(shù)位對齊、小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊，還是異分母分?jǐn)?shù)要先通分再加減，都是把相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加減，從而體會算理和算法的一致性。簡言之，數(shù)的運(yùn)算的意義，核心概念是計(jì)數(shù)單位，數(shù)的運(yùn)算就是計(jì)數(shù)單位個數(shù)的運(yùn)算。幫助學(xué)生體會運(yùn)算的一致性，有助于學(xué)生體會知識間的本質(zhì)聯(lián)系，并促進(jìn)有效遷移，提高運(yùn)算能力和推理意識。

由此可見，不論是數(shù)的意義，還是數(shù)的運(yùn)算的意義，大單元統(tǒng)領(lǐng)整個“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的核心概念是計(jì)數(shù)單位。

二、數(shù)的意義教材編寫特點(diǎn)

關(guān)于數(shù)的意義，青島版新教材在第一、二學(xué)段安排由萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識拓展到萬以上數(shù)的認(rèn)識，在第二、三學(xué)段安排小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，由小數(shù)、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識到小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的理解。無論是認(rèn)識整數(shù)還是認(rèn)識小數(shù)、認(rèn)識分?jǐn)?shù)的編寫，均將學(xué)生置于真實(shí)的情境中，使學(xué)生經(jīng)歷“感性具體—感性一般—理性具體”這一數(shù)的抽象過程，促使學(xué)生關(guān)注計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，學(xué)會用符號對數(shù)進(jìn)行表達(dá)，加深對數(shù)的概念一致性的體會和理解。

（一）整數(shù)的意義。

在一年級下冊“豐收了——100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”中，借助真實(shí)情境和小棒圖、計(jì)數(shù)器及以十為單位的一盒雞蛋、一包書等，凸顯整數(shù)是對數(shù)量的抽象，并從計(jì)數(shù)單位和十進(jìn)制的視角理解和表述100以內(nèi)數(shù)的意義，初步呈現(xiàn)整數(shù)意義的本質(zhì)是對整數(shù)計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個數(shù)的表達(dá)。

青島版新教材關(guān)于數(shù)的意義呈現(xiàn)的所有關(guān)鍵問題和問題分析，都緊扣數(shù)的意義的本質(zhì)，凸顯其核心概念——計(jì)數(shù)單位，如圖1。

（二）分?jǐn)?shù)的意義。

在三年級下冊“今天我分餐——分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”中，借助真實(shí)情境和直觀圖形，在認(rèn)識分?jǐn)?shù)是對數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象的基礎(chǔ)上，細(xì)分單位“1”得到比1小的分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，用分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)則繼續(xù)理解和表述分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)的意義的本質(zhì)是對分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個數(shù)的表達(dá)。

（三）小數(shù)的意義。

在四年級上冊“乘車中的學(xué)問——小數(shù)的初步認(rèn)識”和五年級上冊“校園小農(nóng)場——小數(shù)的意義和性質(zhì)”中，同樣借助真實(shí)情境和直觀圖形，在繼續(xù)凸顯小數(shù)是對數(shù)量的抽象的基礎(chǔ)上，細(xì)分單位“1”得到比1小的小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，用小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和十進(jìn)制繼續(xù)理解和表述小數(shù)，理解小數(shù)的意義的本質(zhì)是對小數(shù)計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個數(shù)的表達(dá)。

（四）數(shù)的意義的一致性回顧與整理。

通過小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)的本質(zhì)及數(shù)的概念的一致性有了一定的感悟。為了幫助學(xué)生進(jìn)一步加深認(rèn)識，在六年級下冊總復(fù)習(xí)中，青島版新教材抓住計(jì)數(shù)單位這個核心概念，引導(dǎo)學(xué)生對小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)進(jìn)行全面回顧與梳理，鼓勵學(xué)生從數(shù)的意義、計(jì)數(shù)單位、進(jìn)位制、大小比較和性質(zhì)多個方面進(jìn)行整理與反思，進(jìn)一步體會計(jì)數(shù)單位在數(shù)的認(rèn)識和計(jì)數(shù)中的核心地位，感悟數(shù)的概念的一致性，加深理解數(shù)是計(jì)數(shù)單位個數(shù)的表達(dá)，從而發(fā)展數(shù)感和符號意識。

三、數(shù)的運(yùn)算教材編寫特點(diǎn)

數(shù)的運(yùn)算的知識點(diǎn)分布在各冊教材中，不論是整數(shù)的四則運(yùn)算，還是小數(shù)的四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，在算理和算法的探究中，青島版新教材凸顯核心概念——計(jì)數(shù)單位，注重體現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算是對計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個數(shù)的運(yùn)算這一通性通法，凸顯數(shù)的運(yùn)算的一致性。

（一）整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算。

青島版新教材基于學(xué)生對數(shù)的意義本質(zhì)的認(rèn)識和理解，在整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算中均注重一致性的體現(xiàn)，即通過探究分別得出整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算都是相同計(jì)數(shù)單位的個數(shù)相加減，關(guān)注的視角和表達(dá)明確指向核心概念——計(jì)數(shù)單位。

1.整數(shù)加減法。

在二年級下冊“紅色教育進(jìn)校園——多位數(shù)的加減法”中，基于學(xué)生對20以內(nèi)加減法意義的認(rèn)識和理解，引導(dǎo)學(xué)生探究“28＋35＝□”，理解整數(shù)加減法就是相同整數(shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)相加減的算理，進(jìn)而得出整數(shù)加減法是相同整數(shù)數(shù)位上的數(shù)相加減的算法。

2.小數(shù)加減法。

在五年級上冊“校園體育節(jié)——小數(shù)加減法”中，基于學(xué)生對整數(shù)加減法算理和算法的認(rèn)識和理解，引導(dǎo)學(xué)生探究“1.72＋0.3＝ ”，通過遷移理解小數(shù)加減法就是相同小數(shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)相加減的算理，進(jìn)而得出小數(shù)加減法是相同小數(shù)數(shù)位上的數(shù)相加減的算法。在探究和總結(jié)的過程中，學(xué)生體會整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的本質(zhì)是相通的，具有一致性。

3.分?jǐn)?shù)加減法。

由于分?jǐn)?shù)不是十進(jìn)制的，所以學(xué)生在探究分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算時會感受到其與整數(shù)、小數(shù)加減法有所不同。學(xué)生此刻已經(jīng)在學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)加減法時積累了關(guān)于加減法算理和算法的經(jīng)驗(yàn)，這是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法的重要基礎(chǔ)。青島版新教材先通過同分母分?jǐn)?shù)加減法，引領(lǐng)學(xué)生感受不同背后的本質(zhì)是相通的，其算理與整數(shù)、小數(shù)加減法的算理是一致的，再引領(lǐng)學(xué)生挑戰(zhàn)異分母分?jǐn)?shù)加減法。

在五年級下冊“關(guān)注環(huán)境——分?jǐn)?shù)加減法”中，在學(xué)生解決“[12]＋[25]＝？”和“[25]－[130]＝？”的過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過遷移已有的算理和算法，自主想到異分母分?jǐn)?shù)由于計(jì)數(shù)單位不同，不能直接相加減，需要先將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)化后就與同分母分?jǐn)?shù)及整數(shù)、小數(shù)加減法的核心概念一致了，再進(jìn)行相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加減的一致性操作。

（4）加減法運(yùn)算一致性回顧與整理。

通過小學(xué)階段加減法運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生對加減法運(yùn)算的意義及其關(guān)系有了一定的認(rèn)識。為了幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識加減法運(yùn)算的一致性，在六年級下冊總復(fù)習(xí)中，抓住計(jì)數(shù)單位的個數(shù)和計(jì)數(shù)單位，引導(dǎo)學(xué)生對小學(xué)階段學(xué)過的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行全面回顧與梳理，幫助學(xué)生體會加減法運(yùn)算算理、算法的一致性。這樣編排，有助于學(xué)生體會知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，并促進(jìn)有效遷移。

（二）整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算。

青島版新教材以數(shù)的意義和加減法運(yùn)算的意義為基礎(chǔ)，通過探究分別得出整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算都是計(jì)數(shù)單位的個數(shù)乘計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位，得到的兩個積再相乘，本質(zhì)具有一致性。

1.整數(shù)乘法。

在三年級上冊“富饒的大?！辔粩?shù)乘一位數(shù)”和三年級下冊“鄉(xiāng)村新面貌——兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中，用點(diǎn)子圖、表格、豎式、推理等多種形式，探究出整數(shù)乘法的算理和算法，即整數(shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)乘整數(shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，整數(shù)計(jì)數(shù)單位乘整數(shù)計(jì)數(shù)單位，得到的兩個積再相乘。

2.小數(shù)乘法。

在五年級上冊“今天我當(dāng)家——小數(shù)乘法”中，順承整數(shù)乘法，用乘法的意義、運(yùn)算律、積的變化規(guī)律等進(jìn)行推理，探究出小數(shù)乘法的算理和算法，即小數(shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)乘小數(shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，小數(shù)計(jì)數(shù)單位乘小數(shù)計(jì)數(shù)單位，得到的兩個積再相乘，如圖2。

3.分?jǐn)?shù)乘法。

在六年級上冊“小手藝展示——分?jǐn)?shù)乘法”中，繼續(xù)用乘法的意義、運(yùn)算律、面積模型等進(jìn)行推理，探究出分?jǐn)?shù)乘法的算理和算法，即分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)乘分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位乘分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位，得到的兩個積再相乘，如圖3。

4.乘法運(yùn)算一致性回顧與整理。

為了幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識乘法運(yùn)算的一致性，在六年級下冊總復(fù)習(xí)中，青島版新教材同樣抓住計(jì)數(shù)單位的個數(shù)和計(jì)數(shù)單位，引導(dǎo)學(xué)生對小學(xué)階段學(xué)過的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行全面回顧與梳理，幫助學(xué)生體會乘法運(yùn)算算理、算法的一致性。

（三）整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算。

青島版新教材關(guān)于除法運(yùn)算的編寫思路與加減法和乘法略有不同。鑒于除法運(yùn)算較加減法和乘法運(yùn)算有一定難度，考慮到小學(xué)階段學(xué)生的知識基礎(chǔ)和理解水平，青島版新教材分兩個階段實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算的一致性。

第一階段，除法運(yùn)算的新授階段。圍繞除法運(yùn)算是不斷細(xì)分計(jì)數(shù)單位的基本思想和表達(dá)，凸顯核心概念——計(jì)數(shù)單位。

1.整數(shù)除法。

在三年級上冊“探訪果蔬博覽會——多位數(shù)除以一位數(shù)”和其他整數(shù)除法中，繼續(xù)結(jié)合真實(shí)的生活情境和除法運(yùn)算的本質(zhì)，凸顯除法以計(jì)數(shù)單位為核心，不斷細(xì)分計(jì)數(shù)單位的本質(zhì)屬性。如圖4，根據(jù)真實(shí)的生活情境進(jìn)行單位的細(xì)分，先分4個十元，分掉3個十元，再將剩余的1個十元細(xì)分成10個一元，與5個一元合成15個一元，繼續(xù)分；如圖5，脫離具體情境，根據(jù)整數(shù)的意義和位值，抽象出算式的數(shù)學(xué)意義，先分4個十，分掉3個十，再將剩余的1個十細(xì)分為10個一，與個位上的5個一合成15個一，繼續(xù)分，得到最后的商。

2.小數(shù)除法。

在五年級下冊“點(diǎn)亮低碳生活——小數(shù)除法”中，隨著數(shù)域的擴(kuò)大，曾經(jīng)在整數(shù)除法中因不能繼續(xù)細(xì)分而以余數(shù)方式存在的數(shù)又可以轉(zhuǎn)化為低一級的小數(shù)的計(jì)數(shù)單位繼續(xù)細(xì)分。學(xué)生在單元整體視角下前后勾連，進(jìn)一步理解和鞏固除法以計(jì)數(shù)單位為核心，不斷細(xì)分計(jì)數(shù)單位的本質(zhì)，如圖6。

3.分?jǐn)?shù)除法。

這是小學(xué)計(jì)算教學(xué)的收官內(nèi)容，也是運(yùn)算中的一塊硬骨頭。在現(xiàn)行教材中，學(xué)生往往“得其法，而不得其意”，既不明白為什么“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，也不明白之前一直在不斷細(xì)分計(jì)數(shù)單位的除法，到分?jǐn)?shù)除法時為什么就不“分”了，甚至有的教師會認(rèn)為“分?jǐn)?shù)除法不是‘分’出來的”。由于分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位之間不是固定的幾進(jìn)制，古往今來，計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的思路更加多樣化。分析中外數(shù)學(xué)史資料可以看出，雖然有的思路轉(zhuǎn)化后符合細(xì)分的思路，但每種思路對學(xué)生來說都有一定的難度，這也是分?jǐn)?shù)除法被稱為硬骨頭的客觀原因。青島版新教材按照整體架構(gòu)和一致性的思維，將分?jǐn)?shù)除法順承前面整數(shù)除法和小數(shù)除法的思路，繼續(xù)細(xì)分計(jì)數(shù)單位。

在六年級上冊“走進(jìn)鄉(xiāng)村看小康——分?jǐn)?shù)除法”中，順承前面的整數(shù)除法和小數(shù)除法的思路，結(jié)合真實(shí)情境，用“歸一法”探究算理和算法，并借助商的變化規(guī)律加以推理，形成除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)的基本算理和算法，也體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)除法依然是可以“分”出來的，如圖7。

第二階段，除法運(yùn)算的總復(fù)習(xí)階段。以計(jì)數(shù)單位為核心概念，凸顯除法運(yùn)算意義的一致性及其與其他運(yùn)算算理、算法的一致性。

在學(xué)生對數(shù)與運(yùn)算有了全面的認(rèn)知和理解的基礎(chǔ)上，青島版新教材在六年級下冊總復(fù)習(xí)中，引領(lǐng)學(xué)生用整體性和一致性的思維，以計(jì)數(shù)單位為核心，順承加減法運(yùn)算、乘法運(yùn)算本質(zhì)上具有一致性的思想，根據(jù)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的順序進(jìn)行推理分析，得出：無論是整數(shù)除法，還是小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法，其運(yùn)算的算理和算法都是一致的，即計(jì)數(shù)單位的個數(shù)除以計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，計(jì)數(shù)單位除以計(jì)數(shù)單位，得到的兩個商再相乘，并進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)的運(yùn)算是計(jì)數(shù)單位個數(shù)的運(yùn)算，如圖8。

關(guān)于運(yùn)算的一致性，史寧中教授指出：2022年版課標(biāo)中提出的數(shù)的認(rèn)識和運(yùn)算一致性的目標(biāo)是可以實(shí)現(xiàn)的，至少在小學(xué)六年級總復(fù)習(xí)階段，設(shè)計(jì)大約四個課時，以計(jì)數(shù)單位為核心概念，幫助學(xué)生梳理整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程中理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)符號意識、運(yùn)算能力和推理意識，建立數(shù)學(xué)的好奇心和學(xué)習(xí)興趣[1]。如上所述，青島版新教材在六年級下冊總復(fù)習(xí)中就較好地實(shí)現(xiàn)了史寧中教授關(guān)于運(yùn)算一致性的學(xué)習(xí)目標(biāo)和要求。

綜上所述，青島版新教材“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的編寫，旨在用核心概念統(tǒng)領(lǐng)整個“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容，期待學(xué)生能在明理通法、感悟一致性的過程中，長出優(yōu)良的數(shù)學(xué)“種子”，給思維以生長的力量，形成屬于自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備品格和關(guān)鍵能力，進(jìn)而高效率、高質(zhì)量地發(fā)展核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙莉，吳正憲，史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算一致性的研究與實(shí)踐：以“數(shù)與運(yùn)算”總復(fù)習(xí)為例[J].課程·教材·教法，2022，42（8）：122-129.

（作者單位：山東煙臺市芝罘區(qū)教育科學(xué)研究中心，山東省教育科學(xué)研究院） Y