長久以來，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“比”的概念基本沿用“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”這個表述。從前文對“比”概念本質(zhì)的分析可知，“兩個數(shù)相除”并不是“比”的本質(zhì)特征，只是它的一種表現(xiàn)形式。用表現(xiàn)形式來代替本質(zhì)屬性是一種非本質(zhì)特征的泛化，是一種錯誤的概括[1]。因此需要基于概念本質(zhì)分析教材編寫，以判斷如何靈活依據(jù)教材中的情境、環(huán)節(jié)展開教學(xué)。

因按照2022年版課標(biāo)要求修訂或重新編寫的教材尚未開始使用，以目前正在使用的六個版本教材中“認(rèn)識比”內(nèi)容為對象，對編寫的基本情況進(jìn)行整理（如表1）。

目前，小學(xué)數(shù)學(xué)教材基本遵循“歸納”的編寫邏輯，即教材都是在對具體素材（例題）的展示、分析中歸納出“比”的定義，因此素材的選用與基于素材歸納得出的定義密不可分，所以對教材編寫的梳理從“素材選用”和“定義表述”兩方面列舉。

注：查閱的人教版教材為2022年經(jīng)國家教材委員會專家委員會審定通過的版本，其余五個版本教材是教育部2012—2013年審定通過、于2014年開始投入使用的版本。

一、信息呈現(xiàn)：弱化“數(shù)量”突出“數(shù)”

“比”表示的是兩個數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，是兩個指向事物某個屬性的大小、多少等數(shù)量之間關(guān)系的刻畫，因此對于“比”的引入應(yīng)基于現(xiàn)實的或真實的情境。六個版本教材概念引入的素材都是生活中的常見情境，從常見情境中提取兩個或幾個數(shù)量，描述其關(guān)系。但是，因教材定義描述使用的是“兩個數(shù)”，因此，所有版本教材在第一次呈現(xiàn)“比”時，都是直接舍棄了情境信息中兩個相同量的量綱，直接給出了兩個數(shù)的比。這使得學(xué)生無法體會“數(shù)量的比”因為事物屬性和量綱相同才可以去掉量綱，抽象成“數(shù)的比”，進(jìn)而可以進(jìn)一步簡化表示。

而且，對于兩個量指向的事物屬性，是同類的量，還是不同類的量，教材的素材選取也有所不同。多數(shù)教材都列舉了兩組信息：一組為同類的量，如人教版教材國旗的長、寬信息，北師大版教材甘蔗汁和水的信息，冀教版教材攪拌水泥沙時水泥、沙子的信息，等等；另一組就是不同類量，六個版本教材中有五個版本都使用了“路程和時間的關(guān)系”這一素材。

二、關(guān)系提示：關(guān)注“倍”或“倍數(shù)關(guān)系”

在剖析素材中兩個數(shù)量呈現(xiàn)的關(guān)系時可以看出，人教版、北師大版、青島版、西南師大版教材提示了關(guān)注這兩個數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系。如人教版教材“怎樣用算式表示它們長和寬的倍數(shù)關(guān)系”，北師大版教材“上面這些圖片的長和寬有什么關(guān)系？……我發(fā)現(xiàn)（圖片）A、B、D的長都是寬的1.5倍……”，青島版教材“可以用160÷25表示身長是頭部長的幾倍”，西南師大版教材“張麗用的時間是李蘭的幾倍”，比較明確地把對兩個數(shù)量間的關(guān)系錨定在“倍數(shù)”上。這是貼近“比”的本質(zhì)意義的。

但是，為什么要聚焦到對兩個數(shù)量“倍”或“倍數(shù)關(guān)系”上？用“比”表示這樣的倍數(shù)關(guān)系，其獨特的意義是什么？各版本教材都未做過多的提示，甚至有些素材對于“比”要表達(dá)關(guān)系的適用性也需要探討，如“2杯果汁和3杯牛奶之間的關(guān)系”“兩個人上學(xué)所用時間的關(guān)系”等素材，要思考其作為引入信息是否有助于學(xué)生感受“比”、理解“比”的本質(zhì)。

三、定義表述：突出“相除”，且“比”和“除法”兩個概念的集合關(guān)系不同

盡管小學(xué)數(shù)學(xué)教材中給出的“比”的定義是“形式化的”，說明的是“比”的形式，而非其概念本質(zhì)，但作為教材中明確寫出來的定義，其會對學(xué)生的概念理解產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。分析教材中“比”的定義，可分成兩個定義的思路：四個版本教材呈現(xiàn)的是“兩個數(shù)相除，叫作兩個數(shù)的比”，兩個版本教材呈現(xiàn)的是“比表示兩個數(shù)相除”。

這兩個描述是相似的，總體上都突出了“相除”。但仔細(xì)品味兩個不同語序中的語句重點，會發(fā)現(xiàn)“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”定義的重點在于“兩個數(shù)相除”，容易被理解為“相除，就是比”；“比表示兩個數(shù)相除”這個定義描述的重點是“比”，表達(dá)的是這個比可以寫成相除的形式。這兩個不同表述中對“比”和“相除”兩個概念集合關(guān)系的表達(dá)是不同的。就“相除”和“比”這兩個概念的集合范疇上看，無法確定兩個集合范疇的大小，但可以確定這兩個集合并不是等價關(guān)系。而且，人教版教材在素材中提到了“倍數(shù)關(guān)系”，所以“比表示兩個數(shù)相除”這樣表達(dá)的完整意思是，“比”是素材中描述的那個倍數(shù)關(guān)系的記錄或呈現(xiàn)，它可以寫成除法的形式，或者說比是通過除法表示兩個數(shù)量之間的關(guān)系，可以延伸理解為“比，是相除；其他的也可以是相除”。因此“比表示兩個數(shù)相除”這個表述更接近前面分析的“比”概念本質(zhì)。

四、關(guān)系功能：“表達(dá)”編寫不明，“度量”編寫不足

比的本質(zhì)是兩個數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)與度量[2]。作為學(xué)生建立“比”概念本質(zhì)的素材，應(yīng)覆蓋“表達(dá)”和“度量”兩個方面。如果用“比”來“表達(dá)”倍數(shù)關(guān)系，那么并不一定需要用除法求出比值。如果求出比值，某些情況下，是需要將比值作為一個標(biāo)準(zhǔn)去判斷、衡量類似事物的，這是比的度量功能的體現(xiàn)。

如前面的梳理，對于表達(dá)，教材選取了諸如國旗長和寬的比、果汁中水果原汁和水的比、水泥沙中水泥和沙子的比等，這些都是很好的素材。但教材對素材的處理，明顯地為歸納出“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”的定義服務(wù)，“比”成為“除法”的注腳。如果將“比”作為兩個量對等（配對、對應(yīng)）關(guān)系的呈現(xiàn)，就不一定需要用除法去求商，即比值。而且，教材中對這些素材中兩個量都得在、缺一不可才能描述出國旗的形狀、飲料的成分、建筑材料的構(gòu)成等這些具體情境下對應(yīng)關(guān)系的提示基本沒有。

梳理六個版本教材中“認(rèn)識比”內(nèi)容用來引出概念的素材，多數(shù)教材更突出“表達(dá)”兩個數(shù)倍數(shù)關(guān)系這一功能，“度量”功能體現(xiàn)較少。教材的素材中，有一些用除法算出兩個數(shù)量的商，得到比值，有為了除而除的感覺，因為除得的結(jié)果并沒有體現(xiàn)出必要的意義，即并沒有將比值作為一個判斷標(biāo)準(zhǔn)。用來引出概念的素材，只有北師大版教材設(shè)計為“判斷幾張圖片像不像”，將尋找確定判斷像不像的依據(jù)作為探究內(nèi)容，教材中給出提示語“我發(fā)現(xiàn)（圖片）A、B、D的長都是寬的1.5倍，所以它們比較像”，也就是說，比值是用來判斷“像或不像”，即圖形相似的標(biāo)尺，這就是比的度量意義的體現(xiàn)。而且北師大版教材在“試一試”中使用了“誰快”“哪種蘋果最便宜”的素材，請學(xué)生填表格后用自己的語言說一說對速度、單價這兩個概念的認(rèn)識，感受這兩個概念由兩個數(shù)量共同制約，且可以用以比較快或慢、貴或便宜。其他版本教材中，雖然也都選取了與路程、時間、速度相關(guān)的素材，但大多是在羅列“路程∶時間”，或者算出速度，未能突出“速度”作為路程與時間這兩個量倍數(shù)關(guān)系的結(jié)果，在刻畫物體運(yùn)動快慢上的度量意義。

而且對于度量，有兩種情況需要考慮，一種是同類量的倍數(shù)關(guān)系，一種是非同類量的倍數(shù)關(guān)系[3]。多數(shù)教材中主要使用了與速度、單價有關(guān)的素材，這都是由不同類量相除得到的新的量，而同類量的度量，教材中雖然有合適的素材，如冀教版教材“用白色和藍(lán)色配成較淺的藍(lán)色”，但未提示其中的度量功能。

另外，“比”對倍數(shù)關(guān)系的“表達(dá)”與“度量”功能，有所區(qū)分但并不是割裂的，反而有密切的聯(lián)系，在部分素材中可以達(dá)到融合與統(tǒng)一。如一組長方形照片，長、寬兩個數(shù)量同時存在才能說明這是一個長方形，而長、寬的比值確定后，這個長方形就確定下來了，就能判斷是否變形。在這個素材中，比的“表達(dá)”與“度量”功能就同時發(fā)揮了作用。但教材中對類似素材的選取及挖掘是不夠的。

受多方面原因的限制，教材在“比”的定義表述及素材選用上可能存在一定的局限。但“教材無非是個例子”，作為教材的使用者，分析理解教材是創(chuàng)造性運(yùn)用教材開展教學(xué)的基礎(chǔ)。對于“認(rèn)識比”這部分內(nèi)容，教師應(yīng)透過教材中的形式化定義，深入挖掘素材中指向概念本質(zhì)的隱性要素或信息，補(bǔ)充豐富素材，在教材的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生感受同類量的對等關(guān)系由具體數(shù)量逐漸抽象為數(shù)的過程，感受“比”在事物不可直接度量屬性的刻畫、比較上的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉琳娜.對小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考：以“比的意義”為例[J].課程·教材·教法，2012（6）：75-79.

[2][3]史寧中，娜仁格日樂.小學(xué)教科書中比及其教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（4）：1-5.

【本文系吉林省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度一般課題“指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計與實施研究”（編號：GH22123）的研究成果】

（作者單位：東北師范大學(xué)，東北師范大學(xué)附屬小學(xué)，江蘇無錫市東林古運(yùn)河小學(xué)） J