2022年版課標(biāo)把方程和反比例內(nèi)容移到初中，強(qiáng)化了字母表達(dá)。比如，第二學(xué)段要求“能用字母表示運(yùn)算律”，第三學(xué)段要求“在具體情境中，探索用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性”，還在教學(xué)提示中要求“形成初步的代數(shù)思維”。

通過比較代數(shù)思維和算術(shù)思維，能更好地明確代數(shù)思維的內(nèi)涵。算術(shù)思維的對(duì)象主要是數(shù)（屬于常量）及其運(yùn)算與拆合，代數(shù)思維的對(duì)象主要是代數(shù)式（屬于變量）及其運(yùn)算與變換。算術(shù)思維著重通過對(duì)數(shù)量的運(yùn)算求得答案，過程是程序性的，代數(shù)思維則重在關(guān)系的符號(hào)化及對(duì)符號(hào)的運(yùn)算，思維方式是結(jié)構(gòu)性的。代數(shù)思維主要具有三個(gè)特征：一是分析特征，主要表現(xiàn)在對(duì)數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系和結(jié)構(gòu)的分析；二是概括特征，主要表現(xiàn)為把若干事物的共同屬性歸納出來，即一般化，這是代數(shù)思維的核心特征；三是把運(yùn)用符號(hào)系統(tǒng)作為重要手段，除了字母，符號(hào)系統(tǒng)還包括自然語(yǔ)言、圖形等[1]。

基于2022年版課標(biāo)編寫，由西南大學(xué)出版社（原西南師范大學(xué)出版社）出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱新教材）于2024年2月通過教育部復(fù)審。多年來，以西南大學(xué)宋乃慶教授為總主編的教材編寫團(tuán)隊(duì)積極探索，使得該版教材形成了諸多鮮明的易教利學(xué)的編寫特色[2-3]，如創(chuàng)設(shè)《探索規(guī)律》欄目、創(chuàng)編《問題提出》專欄[4]、設(shè)置《課堂活動(dòng)》欄目、系統(tǒng)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)文化[5-6]等。其中可以用來發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維的內(nèi)容很豐富，如字母表達(dá)、探索規(guī)律、條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖等。

為便于闡述，基于2011年版課標(biāo)編寫并通過教育部審定237f695d6261c22a2e38eab248853bdb、由西南師范大學(xué)出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，簡(jiǎn)稱舊教材。新教材編寫者依據(jù)2022年版課標(biāo)，博采眾長(zhǎng)，對(duì)舊教材五年級(jí)下冊(cè)（簡(jiǎn)稱五下，以下類似情況均按此處理）第五單元“方程” 進(jìn)行編修，刪去與方程相關(guān)的內(nèi)容，擴(kuò)充字母表達(dá)內(nèi)容，形成了新教材五上的第七單元“字母表達(dá)”。本文把新教材中與字母表達(dá)密切相關(guān)的內(nèi)容分為三個(gè)部分：一是孕伏學(xué)習(xí)內(nèi)容，指正式學(xué)習(xí)該內(nèi)容之前的內(nèi)容；二是正式學(xué)習(xí)內(nèi)容，指五上的“字母表達(dá)”單元及其鄰近拓展內(nèi)容；三是初步應(yīng)用內(nèi)容，指正式學(xué)習(xí)該內(nèi)容之后的相關(guān)內(nèi)容。以下依次探析這三部分內(nèi)容的編寫特點(diǎn)，希望能對(duì)新教材的使用提供些許參考。

一、孕伏學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進(jìn)積淀代數(shù)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

孕伏學(xué)習(xí)內(nèi)容可以概括為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分析與概括、代數(shù)推理初涉和符號(hào)系統(tǒng)運(yùn)用三個(gè)方面，能促進(jìn)學(xué)生積淀關(guān)于代數(shù)思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而為正式學(xué)習(xí)五上的“字母表達(dá)”單元奠定良好基礎(chǔ)。

（一）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分析與概括。

新教材在多冊(cè)編寫了探索規(guī)律內(nèi)容，如三上設(shè)置了一道例題“填一填，說一說有什么規(guī)律：（1）2，8，32，128，（ ），（ ）；（2）10，20，40，80，（ ），（ ）”。三上通過數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“總量=分量+分量”。四上編寫了“常見數(shù)量關(guān)系”單元，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”。還有三上的“加減法關(guān)系”和四下的“乘除法關(guān)系”等。這些內(nèi)容為學(xué)生提供了分析和概括數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、發(fā)展模型意識(shí)的機(jī)會(huì)。三下的“長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算”、四上的“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”、五上的“多邊形面積的計(jì)算”，可為正式學(xué)習(xí)用字母表達(dá)公式打下扎實(shí)的結(jié)構(gòu)與思維基礎(chǔ)。

（二）代數(shù)推理初涉。

為了實(shí)現(xiàn)代數(shù)推理，2022年版課標(biāo)增加了兩個(gè)基本事實(shí)，即關(guān)系的傳遞性和等式的基本性質(zhì)，其中的關(guān)系包括相等關(guān)系和不等關(guān)系[7]。對(duì)于相等關(guān)系傳遞性的初涉，三上不僅在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域編寫了“等量的等量相等”，還在“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域編寫了“探秘曹沖稱象”，引導(dǎo)學(xué)生探究“大象的質(zhì)量=船下沉排開水的質(zhì)量，石頭的總質(zhì)量=船下沉排開水的質(zhì)量，大象的質(zhì)量=石頭的總質(zhì)量”，從而發(fā)現(xiàn)“等量的等量相等”。對(duì)于不等關(guān)系傳遞性的滲透，一上設(shè)置了思考題“因?yàn)?>8，8>7，所以9○7；因?yàn)?<5，5<7，所以3○7”；三下設(shè)置了例題“比高矮”，通過1.2米比1米高，0.9米比1米矮，得到1.2米比0.9米高，進(jìn)而得到1.2>0.9。

（三）符號(hào)系統(tǒng)運(yùn)用。

在五上“字母表達(dá)”單元以前，多冊(cè)教材編寫了用圖形和括號(hào)表示未知數(shù)的內(nèi)容。比如，二上設(shè)置了習(xí)題“8×□=56”，二下設(shè)置了“在（ ）里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：730-（ ）=30”，三上設(shè)置了“算一算”活動(dòng)“■=▲+▲+▲，■+▲=32，■=（ ），▲=（ ）”。特別地，依據(jù)2022年版課標(biāo)要求，四下在“運(yùn)算律”單元引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“生活情境—多個(gè)算式—用文字表達(dá)運(yùn)算律—用符號(hào)表達(dá)運(yùn)算律—用字母表達(dá)運(yùn)算律”的歸納探究和數(shù)學(xué)表達(dá)過程，初步學(xué)會(huì)用字母表達(dá)規(guī)律，發(fā)展代數(shù)思維。例如，在“乘法交換律”中，在歸納探究過程之后，呈現(xiàn)了運(yùn)算律的三種表達(dá)形式：甲數(shù)×乙數(shù)=乙數(shù)×甲數(shù)，△×○=○×△，[a]×b=b×[a]。通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生能初步運(yùn)用符號(hào)系統(tǒng)，積累代數(shù)思維經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展符號(hào)意識(shí)。

二、正式學(xué)習(xí)內(nèi)容，注重發(fā)展概括表達(dá)能力

作為“字母表達(dá)”的主體部分，正式學(xué)習(xí)內(nèi)容有效落實(shí)2022年版課標(biāo)的相關(guān)要求，著力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)的概括與表達(dá)能力。為深入探析新教材“字母表達(dá)”單元的編寫特點(diǎn)，需要將其與舊教材“方程”單元的相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行比較。在兩個(gè)版本教材中，例題基本上是正文的主體部分。就習(xí)題而言，新教材的“字母表達(dá)”單元包括課堂活動(dòng)、小節(jié)練習(xí)（含思考題），舊教材除此之外還包括相應(yīng)的單元練習(xí)。創(chuàng)設(shè)課堂活動(dòng)環(huán)節(jié)，以游戲、操作、交流和探索等方式，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生“四基”發(fā)展，是新教材和舊教材的編寫特色之一。新教材和舊教材中，例題分別有8道和5道，習(xí)題分別有35道和20道，其中的課堂活動(dòng)分別有8個(gè)和4個(gè)。顯然，新教材對(duì)字母表達(dá)更重視。

（一）新教材“字母表達(dá)”單元對(duì)舊教材的繼承與發(fā)展。

為突出重點(diǎn)，下面著重分析相關(guān)的例題內(nèi)容。對(duì)于舊教材第1小節(jié)的例1和例2，新教材予以保留和改編，作為第1小節(jié)“用字母表示數(shù)、關(guān)系”的例1和例2，強(qiáng)調(diào)含有字母的式子不僅可以表示數(shù)，還可以表示關(guān)系。例如，例2的一個(gè)對(duì)話框內(nèi)容是“[a]+2可以表示小麗的歲數(shù)，也可以表示小麗和小強(qiáng)歲數(shù)的關(guān)系”。對(duì)于舊教材第1小節(jié)的例3，新教材鑒于之前沒有設(shè)置體積內(nèi)容，將其改編為第2小節(jié)“用字母表示公式、規(guī)律”的例1“用字母表示正方形的面積和周長(zhǎng)計(jì)算公式”，其主要功能“用字母表示公式”不變，即引導(dǎo)學(xué)生感悟用字母表示的一般性。對(duì)于舊教材第2小節(jié)的例1和例2，新教材淡化了對(duì)等式概念的要求，在對(duì)“含有字母的等式”特例概括歸納之前，增加了對(duì)不含字母的等式“17+8=25、17+8-5=25-5、17+8+10=25+10”（2022年版課標(biāo)中的實(shí)例）的探究歸納，將兩者整合成1道例題，作為第3小節(jié)“用字母表示性質(zhì)”的例2“用字母表示等式的基本性質(zhì)”。代數(shù)思維的教學(xué)，不僅要注重用字母表示數(shù)，而且要重視讓學(xué)生體驗(yàn)概括的過程，幫助學(xué)生很好地理解“概括”[1]。因此，與舊教材相比，新教材注重用字母表示關(guān)系和經(jīng)歷概括過程，為學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展提供了更多的機(jī)會(huì)。

（二）新教材“字母表達(dá)”單元增加的內(nèi)容及其編寫意圖。

本單元第2小節(jié)的例2（如圖1）“用字母表示人數(shù)與餐桌數(shù)的規(guī)律”是基于2022年版課標(biāo)中的實(shí)例19和實(shí)例23改編而成的，包括四部分。例2的（1）和（2）的編寫意圖在于：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)較復(fù)雜規(guī)律并嘗試用字母表示規(guī)律的過程，將問題中的數(shù)量關(guān)系及蘊(yùn)含的規(guī)律一般化，發(fā)展代數(shù)思維能力。（3）和（4）是根據(jù)得到的關(guān)系式b=2[a]+2，當(dāng)[a]=5時(shí)，求b等于多少；當(dāng)b=20時(shí)，利用加減法關(guān)系、乘除法關(guān)系，求[a]等于多少。其編寫意圖在于：引導(dǎo)學(xué)生理解如果知道兩個(gè)量中的一個(gè)量，就可以通過對(duì)關(guān)系式的四則運(yùn)算得到另一個(gè)量，讓學(xué)生體會(huì)字母和數(shù)一樣可以參與運(yùn)算，感悟一一對(duì)應(yīng)思想，為初中方程與函數(shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。

本單元第3小節(jié)“用字母表示性質(zhì)”的例1（如圖2）是“用字母表示關(guān)系的傳遞性”，包括兩部分：第一部分是基于生活情境的概括，用字母表達(dá)不等關(guān)系的傳遞性；第二部分是基于生活情境的概括，用字母表達(dá)相等關(guān)系的傳遞性。其主要意圖在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概括與一般化的過程，學(xué)會(huì)用字母表示性質(zhì)，發(fā)展推理意識(shí)。當(dāng)然，這也為初中關(guān)系傳遞性的學(xué)習(xí)和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

新教材的另一個(gè)特色是把發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題作為編寫主線，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力的發(fā)展。特別是，新教材基于舊教材的《問題解決》專欄，從二下開始，每?jī)?cè)創(chuàng)編了2到3個(gè)《問題提出》專欄。一般而言，專欄包括兩類例題：第一類是基于封閉情境提出問題，第二類是基于開放情境提出問題，顯然第二類較難。每道例題的解決過程一般包括四個(gè)基本環(huán)節(jié)：搜索信息、提出問題、解決問題、變式問題?？梢哉f，專欄比較注重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)情境提出問題，在解決問題的過程中提出問題，在解決問題之后提出問題。本單元的第4小節(jié)是《問題提出》專欄，包括2道例題，分別是例1“基于封閉情境提出問題”（如圖3）和例2“基于開放情境提出問題”（如圖4）。2道例題的編寫意圖主要包括四個(gè)方面：（1）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷概括過程，學(xué)會(huì)用字母表示關(guān)系、公式和規(guī)律；（2）引導(dǎo)學(xué)生感悟字母可以像數(shù)一樣參與運(yùn)算，得到的結(jié)論具有一般性，如例2中的式子“y=2[a]+b”；（3）滲透代數(shù)式特別是合并同類項(xiàng)的內(nèi)容，為初中學(xué)習(xí)做好孕伏，如例1中的式子“4（x+2）-4x=4x+4×2-4x=8”；（4）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展“四能”特別是提出問題的能力。

（三）新教材“字母表達(dá)”單元鄰近拓展內(nèi)容。

本單元的鄰近拓展內(nèi)容，包括數(shù)學(xué)文化與“綜合與實(shí)踐”的相關(guān)內(nèi)容，也是新教材增加的內(nèi)容。新教材的又一特色是以形式多樣的數(shù)學(xué)文化展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的來源與發(fā)展、數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)的應(yīng)用和數(shù)學(xué)的思想方法，讓學(xué)生感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的魅力。數(shù)學(xué)文化的形式有四種：“你知道嗎”“數(shù)學(xué)萬花筒”“數(shù)學(xué)游戲”“數(shù)學(xué)閱讀”。在“字母表達(dá)”單元的末尾設(shè)置了“數(shù)學(xué)閱讀”——“用字母表示數(shù)的由來”，引導(dǎo)學(xué)生不僅欣賞國(guó)外《萊茵德紙草書》《算術(shù)》和韋達(dá)成果中的“用字母表示數(shù)”，而且認(rèn)識(shí)國(guó)內(nèi)“天元術(shù)”中的半符號(hào)式的代數(shù)，還回顧如何表示未知數(shù)的學(xué)習(xí)過程，有利于學(xué)生激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，更好地理解字母表達(dá)，開闊視野，進(jìn)而發(fā)展核心素養(yǎng)[8]。上述“數(shù)學(xué)閱讀”之后是一個(gè)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)——“體育中的數(shù)學(xué)”，屬于主題活動(dòng)。在此活動(dòng)中，設(shè)置了探究籃球比賽賽制環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生分別探究淘汰賽和單循環(huán)賽中，參賽隊(duì)數(shù)與比賽場(chǎng)數(shù)的關(guān)系、規(guī)律，并用字母表示這種規(guī)律（如圖5），進(jìn)而學(xué)會(huì)用字母表達(dá)解決跨學(xué)科問題。

三、初步應(yīng)用內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生感悟字母表達(dá)的優(yōu)勢(shì)

在正式學(xué)習(xí)內(nèi)容之后，新教材在多個(gè)單元或小節(jié)中編寫了“探究數(shù)學(xué)關(guān)系、公式、規(guī)律和性質(zhì)等，并用字母表達(dá)；探索規(guī)律和解決問題，對(duì)含有字母的式子進(jìn)行初步運(yùn)算或推理”的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生初步應(yīng)用字母表達(dá)，進(jìn)一步感悟其帶來的一般性與簡(jiǎn)潔性優(yōu)勢(shì)，發(fā)展代數(shù)思維。

（一）探究數(shù)學(xué)關(guān)系、公式和性質(zhì)等，并用字母表達(dá)。

比如，五下引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，并用字母表示為：[a÷b=ab=a×1bb≠0]；五下引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體、正方體的表面積和體積計(jì)算公式，并用字母表示；五下引導(dǎo)學(xué)生將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)表示為：[ab=acbc或ab=a÷cb÷c]（b≠0[c≠0）]；六下引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)量的成正比關(guān)系用字母表示為[：yx=k或y=kxk≠0]。

（二）探索規(guī)律和解決問題，對(duì)含有字母的式子進(jìn)行初步運(yùn)算或推理。

比如，五下設(shè)置了探索規(guī)律題“[a，a2，a4，a8]，（ ），（ ）”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)含有字母的式子進(jìn)行推理；六上在單元練習(xí)設(shè)置判斷題[“若][a×35=b×87=c÷23]（其中a、b、c都大于0），則a>b>c”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算和推理。

新教材中，融合自身編寫特色的“字母表達(dá)”的三部分內(nèi)容，為學(xué)生提供了系統(tǒng)的發(fā)展代數(shù)思維的機(jī)會(huì)。建議教師在使用這套教材時(shí)，充分發(fā)揮新教材編寫特色的優(yōu)勢(shì)，系統(tǒng)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。在“字母表達(dá)”單元的教學(xué)中，關(guān)注學(xué)生已有的代數(shù)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們充分經(jīng)歷概括與一般化過程，并學(xué)會(huì)用字母表達(dá)關(guān)系、規(guī)律和性質(zhì)，感知字母可以像數(shù)一樣參與運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)抽象的層次性[7]，為中學(xué)的代數(shù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。在此過程中，助推學(xué)生推理意識(shí)、模型意識(shí)和符號(hào)意識(shí)等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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（作者單位：貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院） Y