在混合運(yùn)算中，關(guān)于運(yùn)算次序有兩個(gè)基本法則：有括號(hào)時(shí)，先計(jì)算括號(hào)中的算式；沒有括號(hào)時(shí)，先算乘、除，后算加、減。這兩個(gè)基本法則來源于現(xiàn)實(shí)計(jì)算，是為了計(jì)算兩個(gè)或兩個(gè)以上與數(shù)量有關(guān)的問題[1]。運(yùn)算的基本要素是概念與法則。在四則運(yùn)算中，加法是最基礎(chǔ)的。在自然數(shù)集合中，乘法是加法的簡便運(yùn)算。把“乘加”作為學(xué)生學(xué)習(xí)兩級(jí)混合運(yùn)算的起點(diǎn)是十分合理的?！俺思印边\(yùn)算的要素包括加法與乘法的意義，先乘再加的運(yùn)算法則。意義支持算法，運(yùn)算的意義是探索運(yùn)算方法、建立運(yùn)算法則的基礎(chǔ)。聯(lián)系產(chǎn)生價(jià)值，“乘加”是聯(lián)系廣泛的概念，可以作為認(rèn)數(shù)和推理的工具，也可以作為解決問題的模型。

一、算法的探索與解釋

學(xué)習(xí)乘法和加法兩級(jí)混合運(yùn)算是以對(duì)加法和乘法意義的理解為基礎(chǔ)的。認(rèn)識(shí)乘法的教學(xué)重點(diǎn)是理解乘法的意義，溝通加法與乘法之間的聯(lián)系，即把同數(shù)連加的加法算式改寫成乘法算式，或者做相反變化。在“乘加”這節(jié)課的拓展練習(xí)中，學(xué)生能把“6+6+6+3”改寫成“3×7”“7×3”“6×3+3”，這說明學(xué)生可以基于乘法與加法的意義學(xué)習(xí)兩級(jí)混合運(yùn)算，具備從運(yùn)算意義出發(fā)進(jìn)行推理的能力。但基于這個(gè)特殊的例子，還不能概括出一般的運(yùn)算法則。知其然還要知其所以然，理想的運(yùn)算教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。兩個(gè)核心的問題是：可以怎么計(jì)算？為何這樣計(jì)算？學(xué)習(xí)運(yùn)算法則背后的推理過程，是掌握數(shù)學(xué)技能的絕佳方法[2]。

四則混合運(yùn)算的概念和法則，都是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的。把運(yùn)算學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)在現(xiàn)實(shí)的問題情境中，結(jié)合情境探索運(yùn)算思路，既是解決問題的關(guān)鍵，也是解釋算法的依據(jù)。例如，如圖1，圖中一共有多少個(gè)蘋果？

師：你是怎么數(shù)的？

生：3個(gè)3個(gè)數(shù)，數(shù)2次，還余下1個(gè)。

師：可以怎么列式？

生：3+3+1。

生：3×2+1。

師：為什么這樣列式呢？“3×2+1”表示什么意思？

生：“3×2”表示2個(gè)3，“+1”表示還多1個(gè)。

師：你知道怎么計(jì)算嗎？

生：二三得六，再加上1等于7。

師：還有同學(xué)算出得數(shù)是9，你知道他是怎么想的嗎？

生：他是先算“2+1=3”，然后三三得九。

師：兩種計(jì)算方法的區(qū)別是什么？

生：一種是先算乘法，另一種是先算加法。

師：哪種對(duì)？哪種錯(cuò)？理由是什么？

生：應(yīng)該先算乘法，把2個(gè)3算出來，再加上1。

生：先算乘法再算加法，結(jié)果跟“3+3+1”是一樣的。

生：如果先算加法，就是3個(gè)3了。題目的意思是2個(gè)3多1。

師：你們從不同的角度解釋了這個(gè)乘法和加法混合的運(yùn)算，應(yīng)該先算乘法，再算加法。

為什么要有現(xiàn)實(shí)的情境？因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)的問題情境講述了一個(gè)數(shù)學(xué)故事，學(xué)生可以從中體會(huì)“乘加”的運(yùn)算不是憑空創(chuàng)造出來的，而是用數(shù)學(xué)符號(hào)記錄現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)故事。數(shù)學(xué)的許多概念、符號(hào)和運(yùn)算的教學(xué)，都要努力幫助學(xué)生獲得這樣的體會(huì)和感悟。

如何合理解釋運(yùn)算順序？設(shè)置具體的問題情境，不只是引出新的運(yùn)算，還能解釋算法規(guī)則。一步運(yùn)算的重點(diǎn)是思考用什么運(yùn)算解決特定的問題，核心是對(duì)運(yùn)算意義的理解；兩步運(yùn)算的重點(diǎn)是思考各種運(yùn)算是怎樣彼此聯(lián)系的，核心是對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析。需要指出的是，用什么算法算，不同運(yùn)算之間彼此如何聯(lián)系，本質(zhì)上不是取決于問題情境，而是由數(shù)量之間的關(guān)系決定的。基于運(yùn)算意義和數(shù)量關(guān)系，分析先算什么再算什么，既是解釋算理，也是培養(yǎng)邏輯思維能力。只有情境可以解釋為什么這樣算是合理的，那樣算是不行的，算式本質(zhì)上并沒有這樣的功能。還需要特別強(qiáng)調(diào)的是，用問題情境解釋混合運(yùn)算的順序，不是個(gè)例，而是有一般性的。

為什么要討論錯(cuò)誤算法？錯(cuò)誤的算法講述了另外一個(gè)數(shù)學(xué)故事，算式表示的含義與原來的問題情境并不一致，或者說兩個(gè)故事的數(shù)量關(guān)系并不一樣，甚至可以說“形同神離”。通過對(duì)兩種不同算法的比較，學(xué)生可以體會(huì)運(yùn)算意義與數(shù)量關(guān)系的一致性?；旌线\(yùn)算用于解決多步復(fù)合的問題。在原本意義上，多步復(fù)合的問題都可以一步步分別計(jì)算。為了提高解決問題的效率，發(fā)展邏輯思維能力，學(xué)生需要學(xué)習(xí)多步復(fù)合的混合運(yùn)算。為了保證混合運(yùn)算與分別計(jì)算的結(jié)果保持一致，就要建立運(yùn)算順序的基本法則[1]。錯(cuò)誤的算法嘗試了另外一種運(yùn)算的順序，得出不一樣的結(jié)果，學(xué)生可以從中感悟建立運(yùn)算順序的基本法則是為了保證運(yùn)算結(jié)果的唯一性。

現(xiàn)實(shí)情境在學(xué)習(xí)“乘加”中的作用是多重的。問題情境提供了運(yùn)算的背景與需求，數(shù)量關(guān)系決定了運(yùn)算的算法與順序。“乘加”的學(xué)習(xí)包括加法與乘法的意義與關(guān)系、探索運(yùn)算順序和建立運(yùn)算法則。由意義到算法，由法則到算理，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算、培養(yǎng)運(yùn)算能力的重要過程。現(xiàn)實(shí)情境是教學(xué)的載體，現(xiàn)實(shí)情境的實(shí)質(zhì)是數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的抽象是運(yùn)算的意義。意義支持算法，運(yùn)算的意義既是探索算法的基礎(chǔ)、建立法則的依據(jù)，也是解釋算理的合理起點(diǎn)。

二、知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用

培根說過：知識(shí)就是力量。對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，有聯(lián)系的知識(shí)更有力量。在兩步混合運(yùn)算中，“乘加”是特別重要的，它不只是一種混合運(yùn)算的形式，也是一種認(rèn)數(shù)和推理的工具，還是一種簡便運(yùn)算的模型。

1.溝通運(yùn)算之間的聯(lián)系。

“乘加”作為一種混合運(yùn)算的形式，和四則運(yùn)算一樣，它的概念與法則都是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的。即使沒有現(xiàn)實(shí)的問題情境和一般化的數(shù)量關(guān)系，“乘加”的產(chǎn)生也是很自然的。例如，出示情境圖，求一共有幾朵花，要求學(xué)生先圈一圈，再用算式表示出結(jié)果。

如圖2，每份3朵，圈了5份，還剩下2朵。求一共有多少朵，就是求5個(gè)3再加上2。在這里，用“乘加”解決等組劃分且有剩余的求和問題，乘法的意義和加法的意義都是十分清晰的。同樣是這個(gè)情境，還可以講述另一個(gè)數(shù)學(xué)故事：17朵花，每份3朵，可以圈幾份，還剩下幾朵？算式是17÷3=5（份）……2（朵）。這個(gè)有余數(shù)的除法算式可以理解為是由“乘加”算式變形而來的，有所不同的是，已知條件與所求問題交換了位置。

“乘加”運(yùn)算與有余數(shù)的除法算式聯(lián)系密切但并不完全等價(jià)，因?yàn)椴⒉皇侨魏我粋€(gè)“乘加”等式都可以變形為有余數(shù)的除法算式。如果每份3朵，圈了4份，那么剩下5朵，算式是3×4+5=17（朵）。但這個(gè)“乘加”算式的一個(gè)加數(shù)（5）比兩個(gè)乘數(shù)（3和4）都大，不能改成有余數(shù)除法[3]。因?yàn)閷?duì)于有余數(shù)的除法算式，規(guī)定余數(shù)要比除數(shù)小，做出這樣的規(guī)定是為了使計(jì)算結(jié)果唯一。

以對(duì)乘法的意義的理解為基礎(chǔ)，借助直觀操作，由“乘加”聯(lián)系到“乘減”也是十分自然的，如圖3所示。對(duì)小學(xué)生來說，學(xué)習(xí)“乘減”最大的挑戰(zhàn)在于意義的構(gòu)建，需要把剩下的先看作和圈出的同樣多，這相當(dāng)于先假設(shè)增加了點(diǎn)子的數(shù)量，然后把增加的數(shù)量作為減數(shù)減掉。在同一個(gè)問題情境中，分別用“乘加”與“乘減”解決問題，可以降低“乘減”運(yùn)算的學(xué)習(xí)難度，提高問題解決的靈活性。

建立“乘加”與“乘減”之間的聯(lián)系，紐帶是運(yùn)算的意義，目的是促進(jìn)學(xué)生的算術(shù)理解；建立“乘加”運(yùn)算與有余數(shù)的除法算式之間的聯(lián)系，基礎(chǔ)是等式變形，目的是發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

2.作為認(rèn)數(shù)推理的工具。

位值制被認(rèn)為是自然數(shù)計(jì)算中最重要的思想[2]。記數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)自然數(shù)的重點(diǎn)是理解記數(shù)法，解釋每個(gè)數(shù)位上的位值。例如，如圖4，通常解釋為4個(gè)十和5個(gè)一組成45，用加法表示就是“40+5=45”，認(rèn)數(shù)與運(yùn)算自然地結(jié)合在一起。特別是，把45表示為“10×4+5”，這個(gè)“乘加”算式清晰地記錄了數(shù)位上的位值，并且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)語言準(zhǔn)確、簡練的優(yōu)勢。一旦學(xué)生掌握了這種與位值理解相聯(lián)系的表示兩位數(shù)的方法，再把這種方法推廣到三位數(shù)或更多位的數(shù)中就不會(huì)太難了。

在“乘加”運(yùn)算中，如果一個(gè)乘數(shù)是10的方冪，那么“乘加”就是很好的認(rèn)數(shù)工具。例如，算一算，比一比：10×6+3=□，10×3+6=□，10×6+30=□，10×3+60=□。這道題的訓(xùn)練目標(biāo)指向認(rèn)數(shù)的核心，即位值理解。

在“乘加”運(yùn)算中，如果加數(shù)與一個(gè)乘數(shù)相同，那么“乘加”就是運(yùn)算推理的工具。其中，對(duì)乘法的意義的理解既是基礎(chǔ)又是核心。例如，如圖5，比一比，算一算。左邊一組，3個(gè)7加上1個(gè)7，就是4個(gè)7。右邊一組，7個(gè)3加上1個(gè)3，就是8個(gè)3。每組上、下兩個(gè)式子的比較與意義的解釋，就是由上一句乘法口訣到下一句乘法口訣的推理過程?！?×3+7”與“7×3+3”這兩個(gè)算式有很大的相似性，辨析這兩個(gè)算式的意義，可以深化對(duì)乘法意義的理解。

只要設(shè)計(jì)得當(dāng)，“乘減”也可以作為理解乘法的意義和推理口訣的工具。例如，算一算，比一比：9×6+6=□，9×6+9=□，9×6-6=□，9×6-9=□。再如，在□里填數(shù)：2×4+2=2×□，2×4+4=4×□，2×4+4=2×□，2×6-2=2×□，2×6+6=6×□，2×6+6=2×□。

對(duì)意義的理解是核心。用標(biāo)記位值的“乘加”算式表征整數(shù)的結(jié)構(gòu)，對(duì)“乘加”或“乘減”的式子進(jìn)行變換實(shí)行運(yùn)算推理，都是以對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算的意義的理解為基礎(chǔ)的。

3.作為簡便運(yùn)算的模型。

在自然數(shù)范圍內(nèi)，乘法是加法的簡便運(yùn)算。把同數(shù)連加的加法用乘法計(jì)算，可以提高運(yùn)算的效率。不是同數(shù)連加的加法，只要能轉(zhuǎn)化為同數(shù)連加，依然可以用乘法計(jì)算，“乘加”運(yùn)算則進(jìn)一步拓展了乘法的應(yīng)用。比較典型的是等差數(shù)列求和，乘法或“乘加”是簡便運(yùn)算的重要模型。例如，把不同數(shù)相加轉(zhuǎn)化為同數(shù)相加，用乘法實(shí)施簡便計(jì)算。特別是，如圖6所示的“移多補(bǔ)少”方法其實(shí)是一個(gè)“無言的證明”，這個(gè)方法具有一般性。等差數(shù)列的變量主要是項(xiàng)數(shù)與公差，項(xiàng)數(shù)如果是奇數(shù)，就可以轉(zhuǎn)化為與中間數(shù)相同的同數(shù)連加算式，因此就有“中間數(shù)×項(xiàng)數(shù)”的計(jì)算方法。如果項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，怎么辦？如圖7，可以用“乘加”運(yùn)算把“中間數(shù)×項(xiàng)數(shù)”的算法略加改造：先求前面奇數(shù)項(xiàng)的和，再加上最后一項(xiàng)；或先求后面奇數(shù)項(xiàng)的和，再加上第一項(xiàng)。當(dāng)然，也可以用“等距搭配”的方法，把算式轉(zhuǎn)化為與首項(xiàng)加末項(xiàng)的和相等的同數(shù)連加。

“乘加”運(yùn)算僅僅是兩步混合運(yùn)算的一種類型嗎？“乘加”運(yùn)算安排在什么時(shí)候?qū)W習(xí)比較合適？這兩個(gè)問題是從不同的角度提出來的，但找答案的方向是一樣的，就是要思考“乘加”運(yùn)算的知識(shí)聯(lián)系與教學(xué)價(jià)值?！靶滤季S數(shù)學(xué)”（浙教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》教材，張?zhí)煨⒅骶帲┌选俺思印卑才旁谝荒昙?jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)[4]，穿插在乘法口訣學(xué)習(xí)之中。在學(xué)習(xí)了“乘加”運(yùn)算之后，后繼的乘法口訣學(xué)習(xí)中有意識(shí)地運(yùn)用“乘加”運(yùn)算進(jìn)行推理，用“乘加”實(shí)現(xiàn)認(rèn)數(shù)與運(yùn)算相結(jié)合，建立“乘加”運(yùn)算與有余數(shù)的除法算式之間的聯(lián)系，并用“乘加”運(yùn)算解決簡單的數(shù)列或數(shù)表求和問題，充分挖掘“乘加”運(yùn)算獨(dú)特的聯(lián)系性和工具性的價(jià)值，這與其他教材的處理是不一樣的，體現(xiàn)了教材編寫中“呈現(xiàn)課程內(nèi)容之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系、反映數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過程”等鮮明的特色。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]伍鴻熙.數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)[M].趙潔，林開亮，譯.北京：北京大學(xué)出版社，2016.

[3]張?zhí)煨?現(xiàn)代新思維小學(xué)數(shù)學(xué)教育[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2017.

[4]張?zhí)煨?義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（一年級(jí)下冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

（作者單位：浙江省新思維教育科學(xué)研究院） Y