理念解析：

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)關(guān)鍵問題的研究?jī)?nèi)容。這一內(nèi)容與已學(xué)的分?jǐn)?shù)意義和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系相連，又是后續(xù)學(xué)習(xí)約分與通分的基礎(chǔ)，且與“商不變的規(guī)律”“比的基本性質(zhì)”具有內(nèi)在一致性，是理解分?jǐn)?shù)概念相關(guān)知識(shí)系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)。如何準(zhǔn)確把握內(nèi)容本質(zhì)，明晰背后的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)意義理解與自主遷移，逐步發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，是一線教師實(shí)踐性理解新課程、改進(jìn)教學(xué)的關(guān)鍵問題。

為此，本教學(xué)設(shè)計(jì)著力體現(xiàn)如下幾個(gè)方面的特點(diǎn)。

一、整體的建構(gòu)

無(wú)論是數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)體系，還是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展歷程，原本都是一個(gè)完整的系統(tǒng)，但為了教學(xué)實(shí)施，往往會(huì)分割成一個(gè)個(gè)學(xué)期、一個(gè)個(gè)單元和一個(gè)個(gè)課時(shí)來(lái)組織進(jìn)行。這樣的分割，很容易造成課堂教學(xué)的封閉和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的脫節(jié)，表現(xiàn)在具體的教學(xué)中，就是“只見樹木，不見森林”。本課的教學(xué)，力求把“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”放在一個(gè)完整的知識(shí)體系之中，把學(xué)生的原始經(jīng)驗(yàn)和可能性經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)習(xí)的“底色”，促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)、意義建構(gòu)，進(jìn)而又把所學(xué)新知與已學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度關(guān)聯(lián)，從而建立有意義的、可遷移的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

二、本質(zhì)的探尋

英國(guó)學(xué)者P.歐內(nèi)斯特說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題并不在于尋找最好的教學(xué)方式，而在于明白數(shù)學(xué)是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)上的爭(zhēng)議?！狈?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是“數(shù)與運(yùn)算”主題的內(nèi)容，其本質(zhì)是讓學(xué)生在“變與不變”中探尋規(guī)律，形成模型意識(shí)。在日常的教學(xué)中，學(xué)生往往停留在“同向同運(yùn)算同倍數(shù)同大小”的淺表認(rèn)知階段，容易形成“分子和分母同時(shí)擴(kuò)大了，為什么得到分?jǐn)?shù)的大小反而不變呢”的模糊認(rèn)知，導(dǎo)致對(duì)接下來(lái)的學(xué)習(xí)“依樣畫葫蘆”，這不利于學(xué)生形成應(yīng)有的數(shù)學(xué)理解，進(jìn)而較難促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、兒童的真學(xué)

新課程倡導(dǎo)實(shí)踐育人和學(xué)科育人，倡導(dǎo)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣去思考”。兒童是天生的學(xué)習(xí)者，潛能無(wú)限，是教育教學(xué)中最重要的學(xué)習(xí)資源。對(duì)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的學(xué)習(xí)，學(xué)生并非一張白紙，而是有豐厚的經(jīng)驗(yàn)土壤、豐盈的數(shù)學(xué)思維和豐富的數(shù)學(xué)想象，我們應(yīng)以大問題引領(lǐng)，大任務(wù)驅(qū)動(dòng)，大空間賦予，創(chuàng)設(shè)“復(fù)演經(jīng)典”“重走數(shù)學(xué)家之路”的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓“兒童”這一寶貴的學(xué)習(xí)資源得以充分激活，讓課堂煥發(fā)出蓬勃的生機(jī)和活力。

教學(xué)過(guò)程：

一、舉例說(shuō)明，感知本質(zhì)

師：同學(xué)們，在三年級(jí)的新教材中即將出現(xiàn)一個(gè)新數(shù)學(xué)名詞，叫“等值分?jǐn)?shù)”，你知道什么是等值分?jǐn)?shù)嗎？

生：就是大小相等的分?jǐn)?shù)。

生：就是數(shù)值相等的分?jǐn)?shù)。

師：感覺可真好，完全正確！請(qǐng)打開草稿本，每人試著寫一組等值分?jǐn)?shù)。

（板書部分學(xué)生的例子，略）

師：老師這兒也帶來(lái)了一個(gè)分?jǐn)?shù)，你能根據(jù)自己的理解，試著寫幾個(gè)它的等值分?jǐn)?shù)嗎？

（板書：[14]=[28]=[416]=……）

【設(shè)計(jì)意圖】有效的學(xué)習(xí)一定是建立在兒童的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的。學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之前有著豐富的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，新教材在三年級(jí)下冊(cè)專門安排了等值分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，雖然目前五年級(jí)的學(xué)生沒有學(xué)過(guò)等值分?jǐn)?shù)，但在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，已經(jīng)或多或少建立了等值分?jǐn)?shù)的原始經(jīng)驗(yàn)。本設(shè)計(jì)充分激活學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)，讓學(xué)生在回憶、試探、想象的過(guò)程中，形成等值分?jǐn)?shù)的感覺，為新課的學(xué)習(xí)提供了可供研究的素材。

二、多元思考，初探本質(zhì)

師：能迅速寫出這么多分?jǐn)?shù)，說(shuō)明大家的感覺是對(duì)的！想一想，這三個(gè)分?jǐn)?shù)相等嗎？怎樣才能說(shuō)明它們相等呢？你們有什么好辦法嗎？請(qǐng)大家拿出研究單，開始研究。

（自主研究，時(shí)間4分鐘左右）

師：誰(shuí)愿意給大家匯報(bào)一下？

生：我是用畫圖的方法說(shuō)明的。

（學(xué)生用等圓的作品展示）

生：我是用數(shù)軸的方法看出來(lái)的。（作品略）

師：是的，數(shù)軸圖和圓形圖有異曲同工之妙，把數(shù)和圖形結(jié)合在一起，真好！

（在作業(yè)紙上批注：數(shù)形結(jié)合）

生：分子在除法算式中相當(dāng)于被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，三個(gè)分?jǐn)?shù)都等于0.25。

生：分?jǐn)?shù)還可以用另外一種形式來(lái)表示，就是除法算式。[14]可以寫成1÷4，[28]可以寫成2÷8。四年級(jí)學(xué)過(guò)商不變定律，把1÷4中的被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘2，就得到了2÷8，再同時(shí)乘2，又得到了4÷16，最后的商不變。

師：真好，善于抓住知識(shí)之間的聯(lián)系。

（批注：聯(lián)系）

……

師：剛才我們用不同的方法證明了三個(gè)分?jǐn)?shù)大小相等。仔細(xì)觀察這幾個(gè)分?jǐn)?shù)，從左往右看，再?gòu)挠彝罂?，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從左往右看，分子和分母同時(shí)乘2或同時(shí)乘4，分?jǐn)?shù)的大小不變。

生：從右往左看，分子和分母同時(shí)除以2或同時(shí)除以4，分?jǐn)?shù)的大小也不變。

生：可以把兩句合起來(lái)說(shuō)，就是分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

生：我有補(bǔ)充，應(yīng)該加上“0除外”。

師：真好，大家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要性質(zhì)，那就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

［板書：分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變］

師：這句話有沒有要特別強(qiáng)調(diào)的？小老師上來(lái)圈圈、畫畫、講講。

（學(xué)生回答略）

師：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，如果用含有字母的式子該怎么表示呢？新教材中是這樣呈現(xiàn)的，你能把空缺的內(nèi)容填上嗎？（如圖1）

【設(shè)計(jì)意圖】概念是客觀事物本質(zhì)屬性在人腦中的反映?！叭齻€(gè)分?jǐn)?shù)相等嗎”這個(gè)問題是學(xué)生需要回應(yīng)的核心問題。在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)積累了豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，完全放手讓學(xué)生自行研究，合理且應(yīng)然。學(xué)生運(yùn)用畫圖（包括平面圖形和數(shù)軸）、商不變的規(guī)律、化小數(shù)等方法，從多個(gè)維度對(duì)三個(gè)分?jǐn)?shù)相等的理由給出一定程度的合理解釋，并對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行初步概括。在此環(huán)節(jié)，教師充分創(chuàng)造條件，鼓勵(lì)學(xué)生全身心投入其中，開展自主的數(shù)學(xué)操作、觀察、抽象概括等活動(dòng)，使他們有機(jī)會(huì)經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的形成過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的第一次探索。

三、鼓勵(lì)質(zhì)疑，再探本質(zhì)

師：一個(gè)真正的學(xué)習(xí)者，此時(shí)一定不會(huì)滿足和輕易相信書本。五（3）班小勇同學(xué)學(xué)到這兒，勇敢地提出問題：老師，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，難道分子和分母只能這樣變嗎？除了乘除，加減行不行？他的視角非常獨(dú)特！他的意思是，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分子和分母還可以怎么變化呢？拿出學(xué)習(xí)單，四人小組里研究研究。

（學(xué)生小組研究）

師：還真有同學(xué)找到了！我們一起來(lái)看一下。

（教師展示2個(gè)代表作品：[15]=[1+45+20]，[14]=[1÷0.254×4]）

師：同學(xué)們，既然存在這么多變化的情況，為什么分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)只說(shuō)“同乘或同除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外）”？

生：這樣的變化可以調(diào)整，與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)還是一回事兒。+4就是加了4個(gè)1，+20就是加了4個(gè)5，轉(zhuǎn)化一下還是1乘5，5乘5。除以0.25就等于×4。

生：對(duì)，是一回事！所有的變化都可以轉(zhuǎn)化到“同向同運(yùn)算同倍數(shù)”上來(lái)！

師：萬(wàn)變不離其宗，最后還是回歸到本質(zhì)，這就是數(shù)學(xué)的精妙??！

【設(shè)計(jì)意圖】雖然概括出了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，但學(xué)生對(duì)它的本質(zhì)理解還不深入，對(duì)“同向同運(yùn)算同倍數(shù)同值”特點(diǎn)必然性的認(rèn)識(shí)，大多還停留在淺表的階段。此環(huán)節(jié)獨(dú)具匠心、另辟蹊徑，放手讓學(xué)生質(zhì)疑，得到了大量反例，把學(xué)生置于“山重水復(fù)疑無(wú)路”的“憤悱”之中。留出大量時(shí)間對(duì)典型反例進(jìn)行深度追問，得到“雖有反例，本質(zhì)一致”的理解后，讓學(xué)生在“柳暗花明又一村”的感覺中，體會(huì)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與美妙。

四、文化溯源，深探本質(zhì)

師：關(guān)于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，其實(shí)我們的祖先早在1700多年前就已經(jīng)有了相關(guān)的論述。讓我們回到圖形當(dāng)中，仔細(xì)體會(huì)1下分子、分母同步變化的過(guò)程。再看當(dāng)分母4乘2的時(shí)候，每一份都乘了2，分子1是其中的1份，它也同時(shí)乘了2。（課件出示）從[14]到[28]，大家看，分子、分母同時(shí)乘2，4份散開，變成8份，分子1份也同時(shí)散開，變成2份。繼續(xù)乘2，8份散開變成16份，分子也由2份散開變成4份。像這樣繼續(xù)乘下去，散開得越來(lái)越多，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽這樣形容——“乘以散之”。

師：反過(guò)來(lái)，怎么說(shuō)？

生：除以聚之。

師：太棒了！你和數(shù)學(xué)家說(shuō)的幾乎一樣！（出示：約以聚之）像這樣約著、約著，約到不能再約。

師：再來(lái)研究研究“乘以散之”，看看能不能有新的發(fā)現(xiàn)。這是[14]，分?jǐn)?shù)單位是什么？有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位？這是[416]，分?jǐn)?shù)單位是什么？有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位？

生：[14]的分?jǐn)?shù)單位是[14]，有1個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

生：[416]的分?jǐn)?shù)單位是[116]，有4個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

師：分?jǐn)?shù)單位由[14]變成了[116]，是怎么變化的？

生：除以4。

師：分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)由1變成了4，又是怎么變化的？

生：乘4。

師：乘4與除以4，這一乘一除，就實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)大小的補(bǔ)償關(guān)系。（如圖2）

生：哇！怪不得它們的大小是相等的。

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，努力讓學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣去思考”是新課程賦予各科教學(xué)的要求。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的教學(xué)，如果只是滿足于在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行淺表的抽象和概括，滿足于線性的單向度的推進(jìn)，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升是有限的。此環(huán)節(jié)從數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容介入，借助“乘以散之，約以聚之”的內(nèi)容理解，對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行深度追問，讓學(xué)生深度理解等值分?jǐn)?shù)之所以等值，是因?yàn)橛?jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)之間形成了一種補(bǔ)償關(guān)系，從計(jì)數(shù)原理的角度，對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行深度的探尋。這樣的設(shè)計(jì)深刻、通透且具有原創(chuàng)性。

五、多維應(yīng)用，內(nèi)化本質(zhì)

師：接下來(lái)做個(gè)練習(xí)“小題多變”。（如圖3）

（練習(xí)過(guò)程略）

師：再來(lái)看一個(gè)小明吃餅的故事。小明說(shuō)“我想吃一塊大于[13]塊且小于[12]塊的餅”，想一想，他到底吃了多少塊餅?zāi)兀?/p>

生：我們可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把[13]與[12]都變成分母一樣的分?jǐn)?shù)，這樣就能找到中間的分?jǐn)?shù)了。

師：大家趕緊試試吧！

……

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)的練習(xí)，一是突出變式性，從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的不同側(cè)面、不同層次、不同形式深化本質(zhì)；二是突出探究性，在生活與數(shù)學(xué)的融通處、在當(dāng)下與未來(lái)的接榫處設(shè)計(jì)好問題，讓學(xué)生“跳一跳，摘果子”，從而深化知識(shí)的理解，涵育思維的品質(zhì)，提升學(xué)習(xí)能力。

六、回顧整理，融通本質(zhì)

師：今天我們學(xué)習(xí)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，和以前學(xué)過(guò)的什么規(guī)律超級(jí)相似？它們有聯(lián)系嗎？讓我們來(lái)梳理一下相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容吧。

生：與分?jǐn)?shù)的意義有聯(lián)系。

生：與商不變的規(guī)律有聯(lián)系。

生：與小數(shù)的基本性質(zhì)有聯(lián)系。

生：還與六年級(jí)的比的基本性質(zhì)有聯(lián)系。

師：真好！學(xué)習(xí)的內(nèi)容不斷在變，我們追尋的不變是什么？

師：數(shù)學(xué)就是這么神奇，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都是數(shù)學(xué)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)組件，今后，我們還將學(xué)習(xí)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的其他知識(shí)，一起領(lǐng)略數(shù)學(xué)的神奇！

【設(shè)計(jì)意圖】“編筐編簍，重在收口。”此環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生回顧與展望，進(jìn)一步深化對(duì)新知的認(rèn)識(shí)，優(yōu)化了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科“嚴(yán)謹(jǐn)性”的特點(diǎn)，有效落實(shí)了2022年版課標(biāo)所倡導(dǎo)的“一致性”“結(jié)構(gòu)性”“整體性”等教學(xué)要求。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬小學(xué)） [WH]