【教學思考】

用字母表示數(shù)，本質(zhì)上屬于代數(shù)思維，核心素養(yǎng)是符號意識。劉加霞教授把學生的符號意識在“用字母表示數(shù)”單元的行為表現(xiàn)水平劃分成了修辭代數(shù)、前代數(shù)、靜態(tài)數(shù)量關系、簡單變量關系、復雜變量關系五個層級[1]，細化了修辭代數(shù)、縮略代數(shù)與符號代數(shù)三個水平。學生的符號代數(shù)思維，不是一蹴而就的，很大程度上體現(xiàn)出了人類認識字母表示數(shù)的歷史相似性。筆者參照汪曉勤教授和蒲淑萍老師2010年9月在上海的調(diào)研樣式[2]，2024年4月10日，對杭州市文海小學六年級兩個班學生進行了測試，發(fā)現(xiàn)了與10多年前上海初中預備班學生同樣的現(xiàn)象（如圖1）。

上述測試題，學生的解法如上依然處在修辭代數(shù)水平的，全班40人中有18人，占比高達45%，僅有個別學生能達到形如當年韋達符號代數(shù)的解法水平。這些學生學習過“簡易方程”整個單元已經(jīng)一年多了，為何還有如此多的學生沒有養(yǎng)成符號代數(shù)思維的習慣？問題究竟出在哪兒？測試時有老師反駁說，是筆者的題目不該加后面那句話，有誤導作用，果真如此嗎？顯然不是問題關鍵所在。當年汪曉勤教授在上海調(diào)研時，用了4道題，該題也是如此描述的，上海也有21.2%的學生思維依然處于修辭代數(shù)的水平。

是因為有歷史相似性，我們就可以不反思自己的教學了嗎？小學階段不學方程，就不用花力氣強調(diào)學生的符號意識嗎？恰恰相反，整個小學階段，都應該相機強化和突出學生符號意識的滲透與培養(yǎng)。因為人類經(jīng)歷了2000多年才徹底弄明白的問題，對小學生而言，無疑是個認知難點。2022年版課標反復強調(diào)要在真實問題情境中感悟用字母表示的一般性，對小學生而言無疑是非常有效的教學手段。

【教學實踐】

一、談話引入

（教師從粉筆盒里取出粉筆，左手拿1支，右手拿2支，讓學生看見）

師：左手幾支？右手幾支？數(shù)學上分別用什么符號表示？

（學生回答后，教師板書：數(shù)1、2）

師：在數(shù)學上，像1、2這樣的符號，都表示明確和具體的數(shù)量。這樣的符號1、2、3……有無窮多，給我們的學習和生活帶來了許多方便。

二、真實問題情境感悟

1.游戲一——猜信封。

（請3名學生上臺，每人手里發(fā)個信封，信封里事先分別放好1、3、7支粉筆）

師：他們的信封里有多少支粉筆？

（學生一下子愣了，但馬上有人舉手）

生1：有2支。

師：你能確定嗎？

生1：不能確定。

師：既然不能確定，我們怎么能用2表示他們信封里粉筆的具體數(shù)量呢？

生2：有6支。

師：你能確定嗎？

生2：不能確定。

師：既然你也不能確定，我們怎么能用6表示他們信封里粉筆的具體數(shù)量呢？這時候，我們該怎樣表示才好呢？

生3：我發(fā)現(xiàn)了，在這種情況下，老師黑板上的1、2、3……這些數(shù)字符號都不能用，需要一種新的符號來表達。

師：什么？麻煩你再說一遍。

生3：（聲音很大且有些不耐煩地）我們不知道信封里究竟有多少支粉筆，黑板上的1、2、3……這些數(shù)字符號只表示確定的數(shù)量，都不能用，需要一種新的符號來表達。

師：真會思考?。ㄏ劝颜坡曀徒o她）此時此刻，對你們而言，信封里有多少支粉筆是個未知數(shù)，黑板上雖然有很多具體的數(shù)，但正是因為它們太具體了，所以哪個數(shù)都不好用。這種情況下，我們就需要用到新的數(shù)學符號，比如字母來表達。（征詢該女生意見）新的符號，你喜歡用哪個字母來表達？

生3：a支。

（請該學生把“字母”兩個字及“a”寫在黑板的指定位置）

師：這位同學用字母a來表示，非常好！還可以用別的字母嗎？

（略有遲疑，馬上有人舉手。生回答：b、c、d）

師：剛才那位同學把a大大地寫在了黑板上，這個a究竟代表多少呢？

（走到講臺上第一名學生的旁邊，與她對話）

師：請問字母a究竟代表多少？誰說了算？

（該生一臉茫然）

師：請打開信封，數(shù)數(shù)里面一共有幾支粉筆。

（該生從信封里掏出1支粉筆）

生4：1支。

師：既然信封里只有1支粉筆，就說明字母a此時此刻表示幾？

生：（異口同聲）1。

師：真不錯！字母a表示1，可以簡單地說成字母a的值取為1。

（走到講臺上第二名學生的旁邊，與他對話）

師：請問字母a究竟代表多少？

（該生從信封里掏出3支粉筆）

師：既然信封里共有3支粉筆，說明字母a此時此刻就表示幾？

生：（異口同聲）3。

師：好極了！字母a碰到這位特殊的同學就表示3。

（走到講臺上第三名學生的旁邊，引導他說出字母a表示7）

師：字母a可以代表1、3、7，如果我還有信封和粉筆，字母a還可能代表8嗎？還可能代表9嗎？還可能代表100嗎？還可能代表0.5嗎？

生：能。

（教師隨著學生的回答，在1、3、7、8、9后面點上省略號）

生：我發(fā)現(xiàn)了，其實這個字母可以表示任何數(shù)。

師：棒極了！一個新符號a，可以表示許許多多的數(shù)，可以代表任意的數(shù)。

師小結：通過剛才的游戲，同學們對用什么字母可以表示數(shù)、字母可以表示哪些數(shù)，尤其是為什么要用新符號（字母）表示數(shù)都有了一定的了解。做了下面的游戲，相信你對為什么要用新符號表示數(shù)會有更深刻的理解。

2.游戲二——寫數(shù)比賽。

師：我們再來玩?zhèn)€游戲好嗎？請拿出筆和紙。從0開始，按照0、1、2、3……的順序往后寫，10秒之內(nèi)，看誰寫得多。預備！開始！

（教師擊掌10下計時，學生飛快地書寫）

師：老師來采訪下，你們都寫了多少？

生1：我寫到了15。

生2：我寫到了18。

生3：我寫到了21。

師：很好！

師：有沒有寫到30多的？

（無人舉手）

師：沒有一個人寫到30多。也就是說，10秒之內(nèi)，我們按0、1、2、3……的順序?qū)憯?shù)，最多只能寫到20多。游戲沒這么簡單，請在1秒之內(nèi)把所有這樣的數(shù)（自然數(shù)）統(tǒng)統(tǒng)寫完，你們能辦到嗎？

生：能。

師：（故作驚訝）怎么可能？剛才10秒你們最多才寫到20多，現(xiàn)在1秒之內(nèi)要把所有的自然數(shù)都寫完，怎么可能？

生：（笑著）可以。

師：（故作疑惑）真的？請寫出來。

（師拍一下手，立刻說時間到，學生也立刻停了筆，紛紛笑嘻嘻地看著老師）

師：你們還真寫出來了，寫的是什么？

（生答：字母a、b、n）

師：同學們真聰明！自然數(shù)有無窮多個，這些無窮多的數(shù)曾經(jīng)給我們的學習和生活帶來許多方便，但事情總是有兩面性的，有方便必有麻煩。要在1秒鐘之內(nèi)全寫完，如果按0、1、2、3……的順序?qū)懗雒恳粋€具體的數(shù)，是不可能的。這時候，我們就可以用新符號（字母）來幫忙，一個字母就可以代表一類數(shù)。這是為什么要用字母表示數(shù)的第二個緣由。

3.游戲三——大信封。

（1）裝大信封。

師：同學們對為什么要用字母表示數(shù)已經(jīng)有了初步的感悟，其實，字母不僅可以單獨表示數(shù)，如果它們與具體的數(shù)一起進行加、減、乘、除等運算，同樣可以表示數(shù)。我們再做個游戲，一起來感受下，好嗎？

生：好！

師：這回要請一位重量級的同學來做老師的助手，誰愿意上來？

（請了一個體型比較胖的學生上臺，給他一個大大的空信封。同時，老師數(shù)出5支粉筆，當著全體學生的面，放進信封里）

師：請問，信封里現(xiàn)在有幾支粉筆？

生：5支。

師：你們現(xiàn)在為什么不說有a支了呢？

生：因為我們已經(jīng)知道了。

師：對，在已經(jīng)明確的情況下，我們就用表示具體量的符號5來刻畫。

（師另外拿起1支粉筆，當著全體同學的面，慢慢放進大信封里）

師：（面對拿大信封的同學）請?zhí)醾€問題？

生：現(xiàn)在大信封里一共有多少支粉筆？

生：6支。

師：怎樣列式？

生：5＋1。

師：（肯定地告訴學生）5＋1本身就有兩個含義，一是表達出了現(xiàn)在信封里的粉筆比原來多1支的數(shù)量關系；二是表達出了現(xiàn)在信封里一共有多少支粉筆，5＋1就是6。

（師板書5＋1，同時從大信封里取出剛剛放進去的1支粉筆）

師：現(xiàn)在大信封里有幾支粉筆？

生：5支。

（教師另外拿起2支粉筆，請一名學生慢慢放進大信封里）

師：現(xiàn)在可以提什么問題？

生：現(xiàn)在大信封里一共有多少支粉筆？

生：7支。

師：怎樣列式？

生：5＋2。

（教師強調(diào)5＋1和5＋2都表示加了粉筆后大信封里一共有多少支粉筆。教師再從大信封里取出2支粉筆）

師：現(xiàn)在大信封里還有幾支粉筆？

生：5支。

（教師另外拿起事先裝有粉筆的小信封，問小信封里有多少支粉筆，學生自然都說是a支，然后當著全體學生的面，慢慢放進大信封里）

師：現(xiàn)在大信封里一共有多少支粉筆？

生：（異口同聲）5＋a支。

師：5＋a表示什么？

生：現(xiàn)在信封里一共有多少支粉筆。

師：說得好！5＋a這樣一個含有字母的式子就表示現(xiàn)在大信封里一共有多少支粉筆。同樣是表示大信封里一共有多少支粉筆，誰能說說5＋1、5＋2和5＋a相比，究竟有什么不同？

生1：5＋1、5＋2，加的都是確定的數(shù)，5＋a加的是不確定的數(shù)。

生2：5＋1、5＋2的結果是確定的，5＋a的結果不確定，不知道等于多少。

生3：5＋a的結果可能是6，也可能是7，也可能是別的結果。

師：大家說得都很好！5＋1、5＋2的結果是確定的、唯一的，而5+a的結果卻有很多種可能，但只要a確定了，5＋a的結果也就確定了。

師：如果a取1，5＋a就對應哪個式子？

生：5＋1。

師：如果a取2，5＋a就對應哪個式子？

生：5＋2。

師：很好！如果a取2，5＋a就表示5＋2，也就是說大信封里有7支粉筆。

師：如果a取10，5＋a就對應哪個式子？表示多少？

生：如果a取10，5＋a就表示5＋10，也就是說大信封里有15支粉筆。

師：同學們真能干！說得都很好！5＋2和5＋a雖然都表示大信封里一共有多少支粉筆，但是它們涵蓋的情況大有不同。5＋2只表示一種具體的情況，而5＋a卻包括了所有的可能。

（指著板書的5＋a，追問）

師：5＋a表示現(xiàn)在大信封里一共有多少支粉筆。和原來的5支相比，能看出比原來多了幾支嗎？

生：（搶著說）5＋a和5比，說明現(xiàn)在比原來增加了a支。

師：同學們真了不起！是的，像5＋a這樣含有字母的式子，不僅可以表示現(xiàn)有多少支粉筆這樣的數(shù)量，也能表示現(xiàn)在與原來數(shù)量間的關系。

（2）隨機拓展。

師：（從大信封里拿出裝有粉筆的小信封，當著全體學生的面從中取出1支粉筆）現(xiàn)在小信封里還剩多少支粉筆如何用字母式表達？

生：a－1。

師：很會思考！（板書a－1，同時把取出的1支粉筆放回小信封）如果老師要把這個小信封里的粉筆平均分成2份，每份多少支？又該如何用字母式表達？

生：a÷2。

師：棒極了！（板書a÷2，同時拿出另外兩個小信封，說明信封里的粉筆數(shù)量相同，都是a支）請問這兩個小信封里一共有多少支粉筆？可以怎樣列式？

生：a＋a或a×2。

師：非常好！

三、體悟簡便

1.自學課本。

（學生自學人教版教材第54頁例3，同時配發(fā)蘇教版教材五年級上冊第100頁的例3，教師巡視，約3分鐘后全班交流）

師：通過自學，你都看懂了什么？

生1：我看懂了1×a可以簡寫為a。

師：很好！如果是b×1呢？

生1：b×1＝b。

師：說明了什么？

生1：1和某個字母相乘，就可直接簡寫為那個字母。

師：好極了！還看懂了什么？

生2：我看懂了a×4或4×a可以寫成4·a或4a。

師：這是什么意思？

生3：字母和具體的數(shù)相乘時，乘號可以簡寫為一個圓點或者干脆不要。

師：好眼力！僅僅如此嗎？

生3：省略乘號時，具體的數(shù)寫在字母前面。

師：棒極了！他說出了數(shù)學上的一種規(guī)定。當字母和具體的數(shù)相乘時，如果省略了乘號，通常把具體的數(shù)寫在字母前面。還有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：我看懂了a×a可以簡寫成a·a或a2，讀作“a的平方”。

師：這又是什么意思？

生5：同樣的兩個字母相乘，寫法可以更簡單。

師：真會思考！同樣的兩個字母相乘，不僅乘號可以簡寫為一個點或者省略不寫，還有更簡單的寫法，只寫一個字母，然后在字母的右上角寫一個小小的2，就表示兩個同樣的字母相乘。a2讀作a的平方，不讀“a二”。如果你非要讀出“a二”來，請加上三個字，讀作“a的2次方”，也是可以的。明白了嗎？

生：明白了。

師：還有問題嗎？

生：沒有。

師：在學習過程中，如果沒有新的問題提出，其實學習就停止了。想過沒有，在含有字母的四則運算中，為什么加、減、除的時候，運算符號都不可簡寫或省略掉，偏偏碰到乘號時，可以變成一個圓點或干脆不要呢？

（學生面面相覷，陷入沉思，稍停一會，有人舉手）

生：可能是因為簡便吧。

2.游戲四——乘號省略。

師：這樣寫的確是方便了，但為什么偏偏要省略乘號呢？如果沒有人知道，我們再來做個游戲。（請一男兩女三個學生上臺，面向大家手腳叉開站立，形如x×x。師板書：x×x，故意把x寫得和乘號差不多）感覺怎么樣？

生：感覺有點分不清，到底是3個x、還是3個乘號或者x乘x。

師：是呀！怎樣避免這樣的混淆呢？數(shù)學家們有辦法。（請中間的男生縮起手腳，慢慢蹲下，最后離開，讓學生逐步體會簡寫的過程）看來，數(shù)學上的任何規(guī)定都不是沒有理由的。

師：乘號同學們省略了，現(xiàn)在臺前的兩個x是相乘還是相加關系？

生：相乘。

師：既然是兩個一樣的字母相乘，還可以怎么省略？

（請一個女生下去，以臺下學生的視角，讓留在臺上的女生一只手變個數(shù)字2出來。該女生遲疑，老師暗示V型手勢——耶，眾生會意一笑）

……

四、全課總結

（略）

參考文獻：

[1]劉加霞.符號意識的內(nèi)涵、行為表現(xiàn)及教學建議：以“用字母表示數(shù)”單元為例[J].小學教學（數(shù)學版），2023（12）.

[2]蒲淑萍，汪曉勤.學生對字母的理解：歷史相似性研究[J].數(shù)學教育學報，2012（6）.

（作者單位：浙江杭州市文海第二實驗學校） L