2022年版課標(biāo)在課程理念、目標(biāo)和內(nèi)容上均有顯著變化，突出立德樹人，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，并以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向。實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向需要圍繞核心概念進(jìn)行課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，體現(xiàn)“學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性、學(xué)科本質(zhì)的一致性、學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性”。帶著結(jié)構(gòu)化的視角反觀已有教學(xué)，發(fā)現(xiàn)以前的計(jì)算教學(xué)存在算理和算法割裂的問(wèn)題，不利于學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)借助運(yùn)算的一致性進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)。本案例“分?jǐn)?shù)除法的再認(rèn)識(shí)”基于小數(shù)和分?jǐn)?shù)的共同特點(diǎn)，遷移小數(shù)除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

一、回顧舊知，喚醒經(jīng)驗(yàn)

1.回顧分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。

師：同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法了，我們用一道題回憶一下怎么計(jì)算。

教師出示：[34][÷][25]。

生：用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)，就變成了[34][×][52]，等于[158]。

師：在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中，哪一步特別重要？

生：乘除數(shù)的倒數(shù)。

師：這是我們以前學(xué)習(xí)時(shí)總結(jié)出來(lái)的分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法。（板書：算法）你們覺(jué)得這種方法好不好？好在哪里？

生：好，可以解決所有的分?jǐn)?shù)除法計(jì)算問(wèn)題。

師：有了算法，所有的分?jǐn)?shù)除法計(jì)算都能解決了，說(shuō)明運(yùn)算方法很重要。今天，我們能不能換一個(gè)角度，借助以往學(xué)習(xí)除法運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)也能得到這種算法呢？

2.喚醒小數(shù)除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

師：大家先回憶一下，我們學(xué)過(guò)哪些內(nèi)容的除法計(jì)算？

生：整數(shù)除法、小數(shù)除法。

師：要借助前面學(xué)習(xí)除法的經(jīng)驗(yàn)想想分?jǐn)?shù)除法怎么算，你覺(jué)得分?jǐn)?shù)與誰(shuí)比較接近？

生：小數(shù)。

師：我們回憶一下小數(shù)除法是怎么計(jì)算的，誰(shuí)能舉個(gè)例子說(shuō)一說(shuō)？

生：比如12.56÷3.14怎么算呢？把3.14擴(kuò)大到它的100倍就變成314，然后根據(jù)商不變的規(guī)律，把12.56也擴(kuò)大到它的100倍，變成1256，再用1256÷314就算出最后的結(jié)果了。

師：從12.56÷3.14到1256÷314的依據(jù)是什么？

生：商不變的規(guī)律。

師：我們利用商不變的規(guī)律把小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)去算。接下來(lái)，看看分?jǐn)?shù)能不能像小數(shù)一樣也轉(zhuǎn)化成整數(shù)去計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖】借助實(shí)例，喚醒學(xué)生關(guān)于除法運(yùn)算的已有經(jīng)驗(yàn)，在比較分析中為將小數(shù)除法運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)遷移到分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算做鋪墊。

二、遷移方法，嘗試解決

出示任務(wù)一：（如圖1）

學(xué)生思考，交流匯報(bào)。

作品1：（如圖2）將除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)。

師：按要求完成了嗎？

生：沒(méi)有完全轉(zhuǎn)化為整數(shù)。

作品2：（如圖3）先把被除數(shù)和除數(shù)分別轉(zhuǎn)化為小數(shù)，再轉(zhuǎn)化為整數(shù)。

作品3：（如圖4）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘20轉(zhuǎn)化為整數(shù)。

師：20是怎么來(lái)的？

生：20是被除數(shù)和除數(shù)的分母的最小公倍數(shù)。

作品4：（如圖5）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘4再乘5轉(zhuǎn)化為整數(shù)。

師：乘4再乘5是為了約分掉被除數(shù)和除數(shù)的分母，更直觀地說(shuō)明了乘20的道理。如果我們要把一個(gè)分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，需要先做什么？

生：找到被除數(shù)和除數(shù)的分母的最小公倍數(shù)。

師：如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘這個(gè)最小公倍數(shù)，就把分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)變成了整數(shù)除以整數(shù)。這步轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么？

生：商不變的規(guī)律。

對(duì)比作品2和作品3。

師：第二種和第三種方法都是轉(zhuǎn)化成整數(shù)去算的，你更喜歡哪一種？

生：我更喜歡第三種方法。因?yàn)樗闫饋?lái)比較簡(jiǎn)便，被除數(shù)和除數(shù)都是約分過(guò)的，也都是最簡(jiǎn)化的。

師：除了好算，還有其他優(yōu)點(diǎn)嗎？

生：這種方法可以解決除不盡的那種，例如，[13]除以[79]，這樣的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化不成有限小數(shù)，也就不能變?yōu)闇?zhǔn)確的整數(shù)，所以我覺(jué)得第三種方法特別好。

師：這位同學(xué)說(shuō)得非常有道理，直接將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)的方法適用于任何分?jǐn)?shù)除法，但是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)就有局限性。

師：剛才沒(méi)有轉(zhuǎn)化成功的同學(xué)和先轉(zhuǎn)化為小數(shù)再轉(zhuǎn)化為整數(shù)的同學(xué)修正一下自己的作品。剛才就是轉(zhuǎn)化為整數(shù)的同學(xué)思考學(xué)習(xí)單上的問(wèn)題：將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的方法是什么？看誰(shuí)表達(dá)得清楚、簡(jiǎn)潔。

教師請(qǐng)學(xué)生將正確方法板書在黑板上，其他學(xué)生修改作品。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的方法是什么？

生：找到兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，再讓兩個(gè)分?jǐn)?shù)乘這個(gè)最小公倍數(shù)，把兩個(gè)分母都約掉，再按整數(shù)除法計(jì)算。

師：概括地說(shuō)，就是同乘分母的公倍數(shù)（當(dāng)然最小更好）。

【設(shè)計(jì)意圖】在實(shí)例中嘗試遷移小數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，使學(xué)生體會(huì)這種方法與分?jǐn)?shù)除法算法得到的結(jié)果相同。

三、代數(shù)推理，尋求算法

師：是不是任意一個(gè)分?jǐn)?shù)除法都能用這種方法得到正確的結(jié)果呢？怎么能解決這個(gè)問(wèn)題？

生：再舉例子（多舉幾個(gè)）。

師：有沒(méi)有更好的方法，把所有的分?jǐn)?shù)除法都能囊括進(jìn)去呢？

生：（沉默）把兩個(gè)分?jǐn)?shù)用字母代替。

師：用字母代替的好處是什么？

生：不用舉很多例子，所有的可能都在這里面。

師：真好！字母式可以把所有的可能涵蓋在里面。老師真給你們準(zhǔn)備了這樣一個(gè)挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

出示任務(wù)二：（如圖6）

師：如果有的同學(xué)駕馭不了字母運(yùn)算，也可以用具體數(shù)舉例計(jì)算，根據(jù)自己的情況選擇。

學(xué)生嘗試解決，教師巡視并尋找資源。

師：有的同學(xué)已經(jīng)順利完成，有的同學(xué)遇到了困難，沒(méi)關(guān)系，我們一起交流，相互啟發(fā)。

作品1：（如圖7）被除數(shù)乘自己的分母，除數(shù)乘自己的分母。

師：?jiǎn)栴}出在哪兒了？

生：沒(méi)有乘公倍數(shù)。

師：看來(lái)我們剛才總結(jié)的方法多重要。

作品2：（如圖8）

師：為什么要同乘bm？

生：將被除數(shù)和除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，就要把它們的分母消掉，還要保證商不變，這樣被除數(shù)和除數(shù)就要乘分母的公倍數(shù)，所以分別乘bm。被除數(shù)乘bm把b消掉，除數(shù)乘bm把m消掉。

師：剛才沒(méi)成功的同學(xué)修改自己的作品，剛才就成功完成任務(wù)的同學(xué)，思考任務(wù)二中第二個(gè)問(wèn)題。

請(qǐng)學(xué)生板書字母式推導(dǎo)過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)兩種運(yùn)算的結(jié)果相同。

師：任務(wù)二中的第三個(gè)問(wèn)題很有挑戰(zhàn)性，觀察算式[ab][÷][nm]和結(jié)果[ambn]，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)了交叉相乘。

師：交叉相乘也就是有的字母的位置發(fā)生了變化，誰(shuí)來(lái)具體說(shuō)一說(shuō)？

生：[nm]變?yōu)榱薣mn]，除號(hào)變?yōu)榱顺颂?hào)，所以說(shuō)交叉相乘了。

師：如果把這個(gè)式子展開寫一下，[ambn=][ab×mn]，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：就是被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。

師：借助小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法計(jì)算，同樣得到了乘除數(shù)的倒數(shù)的算法，說(shuō)明知識(shí)之間是相通的，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是有用的，要學(xué)會(huì)用過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】借助字母式進(jìn)行運(yùn)算，使學(xué)生感受利用字母運(yùn)算可以獲得一般性的結(jié)論，表達(dá)一般性的關(guān)系，形成代數(shù)推理能力。

四、變換角度，獲取算法

師：現(xiàn)在放大除法計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，例如：○÷△這個(gè)算式什么情況下最好算，甚至不用算？

生：被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。

師：12.56÷3.14這個(gè)算式，如果不是你們背下來(lái)倍數(shù)關(guān)系，好算嗎？

生：被除數(shù)跟除數(shù)相等。

師：○÷△，用兩個(gè)不同的符號(hào)表示，這兩個(gè)數(shù)不相等。

生：除數(shù)是1，被除數(shù)是不為0的任意數(shù)，這樣一個(gè)數(shù)除以1還得原數(shù)，好算！

師：同學(xué)們覺(jué)得這種情況是不是好算？

生：好算，不用算了。

師：接下來(lái)，我們就用這種方法看看是不是能得到乘除數(shù)的倒數(shù)的算法。

出示任務(wù)三：把除數(shù)轉(zhuǎn)化為1進(jìn)行計(jì)算。

師：你可以用具體數(shù)計(jì)算，也可以用字母式計(jì)算，然后尋找計(jì)算結(jié)果與算式之間的關(guān)系。

作品1：（如圖9）具體數(shù)計(jì)算。

師：被除數(shù)和除數(shù)為什么要同乘[52]，而不是乘分母的公倍數(shù)？

生：因?yàn)槲覀円殉龜?shù)變?yōu)?，就要用除數(shù)乘它的倒數(shù)，為了保證商不變，被除數(shù)也要乘除數(shù)的倒數(shù)。

師：除數(shù)變?yōu)?，這個(gè)算式就轉(zhuǎn)化為誰(shuí)乘誰(shuí)了？

生：[34×52]，等于[158]。

作品2：（如圖10）用字母推導(dǎo)。

師：為什么要乘[mn]？

生：為了把除數(shù)變成1。

師總結(jié)：除數(shù)乘[mn]，要保證等號(hào)成立，被除數(shù)也得乘[mn]，實(shí)現(xiàn)除數(shù)等于1，好算了。最后結(jié)果是[ambn]，你又發(fā)現(xiàn)什么了？

生：[ambn]等于[ab]乘[mn]，就是被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。

師：比較一下用具體數(shù)計(jì)算和用字母運(yùn)算，你覺(jué)得哪種方法好？

生：還是用字母運(yùn)算更好！

師：字母運(yùn)算好在哪兒？

生：概括！

生：直觀！

生：更能看出關(guān)系。

師：用具體數(shù)算，只能看出結(jié)果“相等”，但看不出結(jié)果與算式之間的關(guān)系。所以今后要多嘗試用字母進(jìn)行運(yùn)算，不僅概括性強(qiáng)，而且能反映事物之間的關(guān)系。

師：回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們覺(jué)得大家都已經(jīng)會(huì)計(jì)算分?jǐn)?shù)除法了，今天的學(xué)習(xí)還有意義嗎？

生：讓我們學(xué)會(huì)用以往的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。

生：計(jì)算方法可以從不同的角度得到。

生：感受知識(shí)之間是有聯(lián)系的。

……

【設(shè)計(jì)意圖】在轉(zhuǎn)化除數(shù)為1的過(guò)程中，學(xué)生得以拓展經(jīng)驗(yàn)，再次體會(huì)經(jīng)驗(yàn)在新的問(wèn)題解決中的價(jià)值。同時(shí)，他們?cè)俅谓?jīng)歷代數(shù)推理過(guò)程，培養(yǎng)了代數(shù)推理能力，并深化了對(duì)代數(shù)推理所得結(jié)論一般性的理解。

（作者單位：北京教育科學(xué)研究院） H