2022年版課標(biāo)指出，數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。那么，該如何理解與實(shí)現(xiàn)2022年版課標(biāo)所提出的“數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性”（以下簡(jiǎn)稱“一致性”）呢？本文將以乘、除法運(yùn)算教學(xué)為例做具體闡述。

一、如何理解乘、除法運(yùn)算的一致性

2022年版課標(biāo)所提出的一致性，可以從算法和算理兩個(gè)維度來理解與把握。以簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法運(yùn)算（即類似3×2、30×2、30×20、300×20……的乘法運(yùn)算式題）為例，算法可以一致理解為“計(jì)數(shù)單位相乘、計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘”。如“30×20＝（10×10）×（3×2）”，300×20、30×2、3×2等也都可以這樣理解，并能類推到小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法，如“1.3×2.2＝（0.1×0.1）×（13×22）”“[23]×[45]＝（[13]×[15]）×（2×4）”。算理是支撐算法成立的道理，以上算法的算理可以一致理解為數(shù)的意義（關(guān)鍵是計(jì)數(shù)單位）、運(yùn)算的意義和運(yùn)算律（乘法的交換律與結(jié)合律）。而稍復(fù)雜的整數(shù)乘法運(yùn)算（即類似13×2、13×22、123×22……的乘法運(yùn)算式題），算法都是轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法運(yùn)算，算理都是數(shù)的意義、運(yùn)算的意義和運(yùn)算律（乘法分配律），如“13×2＝10×2＋3×2”“13×22＝13×20＋13×2”等。

除法是乘法的逆運(yùn)算，除法運(yùn)算的基本思路是“乘法是怎么來的，除法就倒著回去”，學(xué)習(xí)表內(nèi)除法運(yùn)算時(shí)講的“想乘法，算除法”就是這個(gè)意思。簡(jiǎn)單的整數(shù)除法運(yùn)算，算法可以一致理解為“計(jì)數(shù)單位相除、計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除”。如“600÷30＝（100÷10）×（6÷3）”，6000÷30、60÷3、6÷3等也都可以這樣理解，并能類推到小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法，如“2.86÷1.3＝（0.01÷0.1）×（286÷13）”“[815]÷[23]＝（[115÷13]）×（8÷2）”。算理可以一致理解為數(shù)的意義、運(yùn)算的意義和運(yùn)算律。而稍復(fù)雜的整數(shù)除法運(yùn)算，算法都是轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的整數(shù)除法運(yùn)算，算理都是數(shù)的意義、運(yùn)算的意義和運(yùn)算律，如“36÷3＝30÷3＋6÷3”等。

理解與揭示乘、除法運(yùn)算的一致性，有利于學(xué)生理解乘、除法運(yùn)算之間，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生整體把握數(shù)運(yùn)算的算法和算理，形成結(jié)構(gòu)化思維，讓理解更通透，達(dá)成“把書讀薄”的高水平認(rèn)知。

二、探尋乘、除法運(yùn)算一致性的源頭

要理解除法運(yùn)算之間的一致性，先要理解乘法運(yùn)算之間的一致性；要理解小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算之間的一致性，先要理解整數(shù)乘法運(yùn)算之間的一致性。

分析現(xiàn)行教材（非2022年版課標(biāo)下的），已經(jīng)做到了引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握稍復(fù)雜的整數(shù)乘法運(yùn)算的算法和算理，教學(xué)了兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)后，學(xué)生能自主遷移解決三位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算：13×2→13×22→123×22。但現(xiàn)行教材中，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算是“各講各的理”“各教各的法”，簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法運(yùn)算之間算法和算理的一致性沒有被揭示，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算之間的一致性也沒有被揭示，學(xué)生所學(xué)的算法和算理都是孤立的。

那么，該如何揭示簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法運(yùn)算之間的一致性？實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算一致性的源頭又在哪里？顯然，表內(nèi)乘法教學(xué)階段是無法揭示的，沒有必要也不可能把3×2理解為“（1×1）×（3×2）”。一開始，我們嘗試在整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)時(shí)講，結(jié)果發(fā)現(xiàn)也是教師的一廂情愿，如教學(xué)30×2，學(xué)生把算法歸結(jié)為“3×2，6后面添一個(gè)0”，算理理解為“3個(gè)十乘2，等于6個(gè)十”，掌握算法、理解算理沒有任何問題，顯然，這時(shí)也沒有必要把30×2理解為“（10×1）×（3×2）”。在多次實(shí)踐和理性分析過程中，我們將實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算一致性的源頭聚焦到了“整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)”這個(gè)內(nèi)容上。在現(xiàn)行教材中，這個(gè)內(nèi)容并沒有作為新課的例題出現(xiàn)，更不用說以此作為實(shí)現(xiàn)一致性的源頭了。這是因?yàn)?，現(xiàn)行教材沒有站在一致性的視角來統(tǒng)整運(yùn)算教學(xué)，在原有的知識(shí)體系內(nèi)，“整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)”的教學(xué)無足輕重。如計(jì)算13×22，就算法而言，只要轉(zhuǎn)化為“13×20＋13×2”即可，沒有必要再轉(zhuǎn)化為“10×20＋3×20＋10×2＋3×2”。

如果把“整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)”一課作為實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算一致性的源頭，那么這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)該如何把握？教學(xué)過程該如何展開？下面以“口算乘法”為課題做教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐闡述。

（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入。

1.復(fù)習(xí)：（課件呈現(xiàn)小方塊圖）一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)一是十，可以寫作“1×10＝10”；十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)十是一百，寫作“10×10＝100”；一百一百地?cái)?shù)，10個(gè)一百是一千，寫作“100×10＝1000”。

揭示：數(shù)數(shù)時(shí)一、十、百、千都是計(jì)數(shù)的單位。

2.準(zhǔn)備性練習(xí)：3＝1×3，30＝10×3，300＝100×3。5＝（ ）×（ ），50＝（ ）×（ ），500＝（ ）×（ ），5000＝（ ）×（ ）。

教學(xué)意圖：激活學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的原有認(rèn)知，借助數(shù)數(shù)得到兩個(gè)整數(shù)計(jì)數(shù)單位相乘的結(jié)果，會(huì)將一個(gè)數(shù)改寫成計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘的形式，為后續(xù)新知探索做好準(zhǔn)備。

（二）探索新知。

1.提出問題：國(guó)慶閱兵儀式上，鮮花表演方陣一共有多少人？（如圖1，一個(gè)圈代表一個(gè)人）

（1）學(xué)生獨(dú)立數(shù)一數(shù)、算一算。

（2）反饋、交流。

投影學(xué)生的作品，大多數(shù)學(xué)生都是先橫著數(shù)有30人，再豎著數(shù)有20人，然后列乘法算式“30×20”算得結(jié)果為600人，也有少部分學(xué)生算得的結(jié)果是60人。

教師提出問題：30×20，你是怎么算的？為什么6的后面要添2個(gè)0？

學(xué)生一般會(huì)表達(dá)為：因?yàn)?0后面的0不看，20后面的0也不看，所以要添2個(gè)0。

教師組織交流，引導(dǎo)學(xué)生提升理解水平：30就是3×10，20就是2×10，10×10等于100，3×2等于6，6個(gè)100是600，所以6后面要添2個(gè)0。并形成以下板書：（如圖2）

（3）圈一圈。引導(dǎo)學(xué)生在點(diǎn)子圖上圈出“10×10＝100”，感悟在數(shù)數(shù)時(shí)，數(shù)量少，可以一個(gè)一個(gè)數(shù)、十個(gè)十個(gè)數(shù)，數(shù)量多，一百一百數(shù)更快。

2.鞏固練習(xí)：口算“50×40”“300×20”，在練習(xí)紙上照樣子寫出口算的過程，并反饋。

3.比較、溝通：根據(jù)300×20、30×20的口算過程，想一想30×2、3×2的口算過程可以怎樣表達(dá)。通過思考和交流，讓學(xué)生感悟這些簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法運(yùn)算之間算法的一致性：都是先“計(jì)數(shù)單位相乘”，再“計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘”，并認(rèn)識(shí)到“計(jì)數(shù)單位相乘”得到新的計(jì)數(shù)單位，“計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘”得到新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

4.拓展到口算除法。根據(jù)30×20＝600，可以寫出兩個(gè)除法算式：600÷30＝20、600÷20＝30。想一想，600÷30、600÷20應(yīng)該怎么口算？引導(dǎo)學(xué)生交流并形成如下板書：（如圖3）

通過思考和交流，讓學(xué)生進(jìn)一步理解除法是乘法的逆運(yùn)算，感悟簡(jiǎn)單的整數(shù)除法運(yùn)算之間算法的一致性：都是先“計(jì)數(shù)單位相除”，再“計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除”。

5.鞏固練習(xí)：口算“800÷40”“9000÷30”，在練習(xí)紙上照樣子寫出口算的過程，并反饋。

教學(xué)意圖：教學(xué)以“6后面為什么要添2個(gè)0”為核心問題展開討論與交流，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩個(gè)整十?dāng)?shù)相乘，可以先將這兩個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘，再將計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘。借助數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生直觀感悟兩個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘，得到一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，得到新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，運(yùn)算的本質(zhì)是產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位和用新單位數(shù)。同時(shí)，借助除法是乘法的逆運(yùn)算這一關(guān)系，遷移類推到簡(jiǎn)單的整數(shù)除法運(yùn)算，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化，有利于學(xué)生整體理解與深刻把握。

三、整體實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算一致性的教學(xué)建議

引導(dǎo)學(xué)生理解乘、除法運(yùn)算的一致性，不是幾節(jié)課的事，也不是某個(gè)年級(jí)的事，而是整個(gè)小學(xué)階段數(shù)概念教學(xué)和數(shù)運(yùn)算教學(xué)的重要目標(biāo)。整體實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算的一致性，要以數(shù)的意義、運(yùn)算的意義和運(yùn)算律教學(xué)為基礎(chǔ)，循序漸進(jìn)、螺旋上升，不斷揭示整數(shù)乘、除法運(yùn)算之間，小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算與整數(shù)運(yùn)算之間的一致性。

（一）在數(shù)的概念教學(xué)時(shí)，要揭示整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性。

計(jì)數(shù)單位是數(shù)的意義教學(xué)和數(shù)的運(yùn)算教學(xué)的鏈接點(diǎn)，在數(shù)的概念教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)，將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)一致理解為“計(jì)數(shù)單位×計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”的表達(dá)，為整體實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算的一致性打下基礎(chǔ)。例如，分?jǐn)?shù)概念教學(xué)時(shí)，不但要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到[23]是把單位“1”平均分成3份，表示其中2份的大小的數(shù)，還要進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到[23]是由2個(gè)[13]累加而成的，可以寫成“2×[13]”。

（二）在運(yùn)算的意義教學(xué)時(shí)，要強(qiáng)化對(duì)“除法是乘法的逆運(yùn)算”這一關(guān)系的理解與應(yīng)用。

除法的產(chǎn)生源于簡(jiǎn)便表達(dá)同數(shù)連減運(yùn)算的需要，因此除法的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算，但這樣運(yùn)算的速度比較慢。為了讓除法運(yùn)算快起來，就需要借助“除法是乘法的逆運(yùn)算”這一關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生掌握除法運(yùn)算的基本思路：“乘法怎么來的，除法就倒著回去”。這一思路不但在表內(nèi)除法時(shí)適用，在多位數(shù)除以一位數(shù)、多位數(shù)除以多位數(shù)，以及小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法時(shí)同樣適用。如研究分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時(shí)，就可以去情境化，借助“除法是乘法的逆運(yùn)算”這一關(guān)系，進(jìn)行形式化推理，具體方法在下文中闡述。

（三）在運(yùn)算律教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解整數(shù)乘法運(yùn)算的算理。

按現(xiàn)行教材的編排順序，整數(shù)乘法運(yùn)算教學(xué)早于乘法運(yùn)算律教學(xué)，簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法運(yùn)算和稍復(fù)雜的整數(shù)乘法運(yùn)算教學(xué)時(shí)，主要借助情境的意義和幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握算法。在后續(xù)乘法交換律、結(jié)合律和分配律教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助運(yùn)算律分析整數(shù)乘法運(yùn)算的算法，進(jìn)一步理解算理。具體如下：

①30×209122f731eebbba9f70835037a52387100919812aa6a1c4ffd986e5e4869bc604

＝（10×3）×（10×2）……依據(jù)數(shù)的意義

＝（10×10）×（3×2）……依據(jù)乘法交換律和

結(jié)合律

②13×22

＝13×（20＋2）……依據(jù)數(shù)的意義

＝13×20＋13×2……依據(jù)乘法分配律

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)算法背后的運(yùn)算律依據(jù)，既有利于學(xué)生理解整數(shù)乘法運(yùn)算的算理，也有利于后續(xù)類推到小數(shù)的乘法運(yùn)算和分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算。

（四）在小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生借助整數(shù)乘法運(yùn)算的算法和算理進(jìn)行類推。

以分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算教學(xué)為例，探索[23]×[45]的計(jì)算方法時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生類比整數(shù)乘法。

①30×20 ②[23]×[45]

＝（10×3）×（10×2） ＝（[13]×2）×（[15]×4）

＝（10×10）×（3×2） ＝（[13]×[15]）×（2×4）

在運(yùn)算過程中，難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生借助分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)乘法的意義，通過畫圖解決[13]×[15]的計(jì)算問題。而在此基礎(chǔ)上總結(jié)得出“分母乘分母的積作分母，分子乘分子的積作分子”的算法較為簡(jiǎn)單。需要指出的是，分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的教學(xué)不用再細(xì)分為“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”，學(xué)生只要掌握了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法與算理，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和整數(shù)乘分?jǐn)?shù)都可以看作分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的特殊情況，這樣教學(xué)能讓學(xué)生的理解更加結(jié)構(gòu)化、簡(jiǎn)約化。

（五）在小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生借助“除法是乘法的逆運(yùn)算”這一關(guān)系進(jìn)行推理。

分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算教學(xué)中，要讓學(xué)生理解為什么要“乘倒數(shù)”是十分困難的事，老師們普遍感覺“怎么教都教不清楚”。究其原因，主要是現(xiàn)行教材所呈現(xiàn)的算法和算理值得商榷。除法是乘法的逆運(yùn)算，根據(jù)“乘法怎么來的，除法就倒著回去”的基本思路，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算法不應(yīng)該直接教成“乘倒數(shù)”，而應(yīng)該先聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘法的算法進(jìn)行推理，類推出“分?jǐn)?shù)單位相除、分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)相除”，再得出分?jǐn)?shù)除法的算法是“分母除以分母的商作分母，分子除以分子的商作分子”（如下①式和②式所示）。然后，引導(dǎo)學(xué)生將分?jǐn)?shù)除法的算法與整數(shù)除法比較，溝通聯(lián)系（如下②式和③式所示），感悟算法的一致性。

①[23]×[45] ②[815]÷[23]

＝（[13]×2）×（[15]×4） ＝（[115]×8）÷（[13]×2）

＝（[13]×[15]）×（2×4） ＝（[115÷13]）×（8÷2）

＝[2×43×5] ＝[8÷215÷3]

③600÷30

＝（100×6）÷（10×3）

＝（100÷10）×（6÷3）

關(guān)于分?jǐn)?shù)除法的算法，還需要進(jìn)一步探究解決：兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相除，或者分子相除，不能得到整數(shù)的結(jié)果，如[23]÷[37]，那又該怎么計(jì)算呢？這時(shí)，首先要想明白原因：分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算過程中要約分，[23]已經(jīng)不是“（ ）×[37]”的積的“真身”；因?yàn)榉e的分子、分母都變小了，所以不能得到整數(shù)的結(jié)果。據(jù)此，再想解決辦法：既然分子、分母變小后不能得到整數(shù)的結(jié)果，那么可以將[23]的分子、分母擴(kuò)大（也就是擴(kuò)分），如“[23]÷[37]＝[2×7×33×7×3]÷[37]＝[2×73×3]”。將被除數(shù)擴(kuò)分，能讓“分母除以分母、分子除以分子”暢通無阻。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于乘它的倒數(shù)”。以上分析可見，將分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的算法直接教成“乘倒數(shù)”，就無法與分?jǐn)?shù)乘法、簡(jiǎn)單的整數(shù)乘法運(yùn)算保持一致性理解，這也是分?jǐn)?shù)除法的算理教師難教、學(xué)生難懂的原因。而基于一致性的視角，就能解決這個(gè)教學(xué)疑難問題。

四、一個(gè)需要進(jìn)一步思考與實(shí)踐的問題

這里要談的是關(guān)于小數(shù)乘、除法如何教的問題，細(xì)分一下是兩個(gè)問題：一是先教小數(shù)乘、除法，還是先教分?jǐn)?shù)乘、除法？二是如果先教小數(shù)乘、除法，該如何教？如果先教分?jǐn)?shù)乘、除法，教材編寫又該如何調(diào)整？

現(xiàn)行教材中，小數(shù)乘、除法的教學(xué)是先于分?jǐn)?shù)乘、除法的，且算法和算理是各論各的。小數(shù)乘、除法是根據(jù)積的變化規(guī)律和商的變化規(guī)律，分別轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法和除數(shù)是整數(shù)的除法。分?jǐn)?shù)乘、除法則是借助數(shù)的意義和運(yùn)算的意義，通過情境的意義和幾何直觀探究算法。如果遵循現(xiàn)行教材的編寫順序，先教小數(shù)乘法，可以類比整數(shù)乘法來教，體現(xiàn)一致性，如：

①30×20 ②0.3×0.2

＝（10×3）×（10×2） ＝（0.1×3）×（0.1×2）

＝（10×10）×（3×2） ＝（0.1×0.1）×（3×2）

這時(shí)，探索、掌握“0.1×0.1”的算法是教學(xué)的難點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生還不理解“0.1×0.1”的運(yùn)算意義，只能借助面積模型來研究，理解難度較大。小數(shù)除法同樣可以類比整數(shù)除法來教，但理解難度更大一些。

如果先教分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義和算法，小數(shù)乘法就可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來解決，小數(shù)除法的問題也是如此，這樣可以降低理解的難度。但先教分?jǐn)?shù)乘、除法，將打破現(xiàn)行教材的編寫順序，教材不改，教學(xué)實(shí)踐很難改變。上述問題如何解決，需要課標(biāo)修訂專家、教材編寫專家和廣大教學(xué)研究人員深入研究、實(shí)踐，探索出一個(gè)合理的解決方案。

（作者單位：浙江嘉興教育學(xué)院） L