2022年版課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系?！睆埖熘娼淌谠赋觯骸皵?shù)學(xué)是一門研究‘關(guān)系’的學(xué)問?！苯K特級(jí)教師許衛(wèi)兵也提出了“數(shù)學(xué)是一門‘關(guān)系學(xué)’”的觀點(diǎn)，其研究成果對(duì)老師們進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極的引領(lǐng)價(jià)值。

數(shù)學(xué)作為一門“關(guān)系學(xué)”，它包含大量的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系及數(shù)與形之間的關(guān)系。在小學(xué)階段，數(shù)量關(guān)系有：相差關(guān)系（大小關(guān)系）、相比關(guān)系（倍數(shù)關(guān)系）、相等關(guān)系（等量關(guān)系）等；圖形關(guān)系有：形狀關(guān)系、位置關(guān)系、運(yùn)動(dòng)關(guān)系等。對(duì)這些關(guān)系的研究貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。一般來說，教材在編排上采用螺旋上升的原則，看似每一種關(guān)系外顯的形式可能存在不同，但其內(nèi)在的本質(zhì)都是一致的，學(xué)習(xí)和研究它的方法也是相通的。為此，建議老師們站在“大單元教學(xué)”理念的高度，引領(lǐng)學(xué)生厘清這些關(guān)系，打通每一種關(guān)系在不同階段的臨時(shí)“隔斷”，還學(xué)生“通透”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，以抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律、技巧和方法，在感受數(shù)學(xué)“美”和“魅”中獲得良好的學(xué)科情感。

下面，結(jié)合六年級(jí)總復(fù)習(xí)課的教學(xué)，借助對(duì)“數(shù)學(xué)中的‘量’與‘率’”這一內(nèi)容的梳理，嘗試打通小學(xué)階段對(duì)“倍數(shù)關(guān)系”的學(xué)習(xí)和理解，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的“關(guān)系”之美。

一、在談話交流中引出課題 [ ]

師：同學(xué)們，“胖東來”以優(yōu)質(zhì)的服務(wù)贏得了全國人民的信賴，成了我們?cè)S昌人的驕傲。今天上課，請(qǐng)大家先來看一則關(guān)于胖東來的統(tǒng)計(jì)信息（如圖1）。

師：從信息中，我們看到了一些數(shù)據(jù)。用數(shù)學(xué)的眼光看這些數(shù)據(jù)，根據(jù)意義可以把它們分為兩類：其中“3天”“7家”“100萬人次”表達(dá)的是具體的“數(shù)量”，我們簡(jiǎn)稱其為“量”；“75%”“九五折”表達(dá)的是數(shù)量之間的“倍數(shù)關(guān)系”，我們習(xí)慣上稱其為“率”。

師：這節(jié)課，我們就一起來聊一聊數(shù)學(xué)中的“量”與“率”。

【設(shè)計(jì)意圖】小學(xué)數(shù)學(xué)教材上并沒有“量”與“率”這樣的概念術(shù)語，這樣的簡(jiǎn)稱，通常是師生在學(xué)習(xí)過程中，共同默認(rèn)的一種表達(dá)方式。基于這樣的學(xué)情，本節(jié)課借助對(duì)一組數(shù)據(jù)的分類，從“數(shù)量”到“量”，從“倍數(shù)關(guān)系”到“率”，自然引出課題——數(shù)學(xué)中的“量”與“率”。

二、在回顧梳理中感受知識(shí)的關(guān)聯(lián) [ ]

（一）簡(jiǎn)單回顧“量”的意義。

師：關(guān)于“量”，大家一看便知，它是由數(shù)值和計(jì)量單位組成的，是度量結(jié)果的表達(dá)，其中的數(shù)值可以是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的形式。如，小紅一家有5口人；小紅體重36.5千克，身高1.55米；小紅家平均每人吃[15]塊蛋糕等。

（二）重點(diǎn)理解“率”的意義。

1.理解“率”表達(dá)的是數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系，它是兩個(gè)量相比較的結(jié)果。

（1）提出問題。既然是比較，大家就要搞清楚兩個(gè)問題：哪兩個(gè)量比？怎么比？

（2）舉例說明。以“外地游客占比75%”為例，這里的兩個(gè)量是“外地游客數(shù)”和“游客總數(shù)”，是“外地游客數(shù)”和“游客總數(shù)”比的，“游客總數(shù)”是比較的標(biāo)準(zhǔn)，我們通常把它叫作“標(biāo)準(zhǔn)量”，也就是常說的單位“1”，把和標(biāo)準(zhǔn)量比的“外地游客數(shù)”叫作“比較量”，用比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量就可以得出二者的倍數(shù)關(guān)系。

（3）小結(jié)。每個(gè)“率”的背后其實(shí)都是在講述某兩個(gè)量之間相比較的故事。

2.在理解“率”的意義的基礎(chǔ)上，講述幾個(gè)“率”的故事。

（1）明確要求。故事要講清楚：是哪兩個(gè)量在比？以誰為標(biāo)準(zhǔn)？比較的結(jié)果怎么樣？

（2）師生一起用講故事的形式梳理學(xué)習(xí)過的知識(shí)，教師提出問題鼓勵(lì)學(xué)生思考。

①從三年級(jí)的“整數(shù)倍”講起：紅花朵數(shù)是黃花的2倍。

②一個(gè)關(guān)于“小數(shù)倍”的故事：圓周率大約是3.14。

③關(guān)于“分?jǐn)?shù)倍”的“率”：截去一根繩子的[15]。

思考：講完了[15]的故事，你還能引申出和它相關(guān)的另一個(gè)率（[45]）的故事嗎？（剩下的是全長的[45]）

④進(jìn)入六年級(jí)，我們更多的時(shí)間是在講“百分率”的故事：今年比去年增產(chǎn)25%。

思考：從這個(gè)故事中，我們又能引申出什么故事？（今年產(chǎn)量是去年的125%）

⑤其實(shí)，還有一種形式的“率”，它叫“比率”：糖和水的比是1∶9。

思考：從比率中，我相信同學(xué)們一定能講出更豐富多彩的故事，請(qǐng)大家試試看。

（鼓勵(lì)學(xué)生從糖、水、糖水等任意兩個(gè)量中講出不同的“率”的故事，發(fā)散思維，感受比率的價(jià)值）

（三）溝通“量”與“率”的表達(dá)方式。

借助課件，出示圖2，引領(lǐng)學(xué)生梳理并發(fā)現(xiàn)，形成下面的認(rèn)知。

1.整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)既可以表示“量”，也可以表示“率”。

2.百分?jǐn)?shù)和比不能表示“量”，只能表示“率”。

3.在“量”和“率”的學(xué)習(xí)進(jìn)程中，不同形式的數(shù)既有合作又有分工，我們更習(xí)慣于用整數(shù)和小數(shù)表達(dá)量，用分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比表示率。尤其是用百分?jǐn)?shù)來表達(dá)率更有優(yōu)勢(shì)，它可以把大于1、等于1、小于1的倍數(shù)關(guān)系，用統(tǒng)一的形式簡(jiǎn)潔明了地表示出來，便于比較大小，更有助于分析問題。為此，我們以后的學(xué)習(xí)和生活中會(huì)經(jīng)常使用百分率表達(dá)數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】回顧與梳理小學(xué)階段的“量”與“率”是本節(jié)課的重要環(huán)節(jié)。在梳理過程中，具體引領(lǐng)學(xué)生厘清這樣幾個(gè)關(guān)系：一是量與率的關(guān)系?！奥省笔鞘崂淼闹攸c(diǎn)，但理解率又離不開量，為此，教學(xué)時(shí)借助比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=率，溝通了二者之間的關(guān)系。二是各種形式的“率”之間的關(guān)系。小學(xué)階段對(duì)倍數(shù)關(guān)系的研究，從三年級(jí)“倍的認(rèn)識(shí)”就開始了，講述“率”的故事，先從“整數(shù)倍”開始，接著“小數(shù)倍”，再到“分?jǐn)?shù)倍”“百分率”“比率”，通過對(duì)不同階段認(rèn)識(shí)的不同形式的“率”的回憶和理解，打通了外在的“隔斷”，溝通了其內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生感受各種形式的“率”本質(zhì)上具有的一致性。同時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步感受百分率在表達(dá)倍數(shù)關(guān)系時(shí)具有的統(tǒng)一性、簡(jiǎn)潔性，在表達(dá)方式上進(jìn)行了有效的溝通。

三、在解決問題中體驗(yàn)“關(guān)系”的價(jià)值 [ ]

教師帶領(lǐng)學(xué)生，解決小紅一家的年齡問題。

1.小紅今年10歲，爸爸今年40歲。根據(jù)這兩個(gè)“量”，找到他們年齡之間有哪些“率”。

（鼓勵(lì)學(xué)生可以根據(jù)兩個(gè)量，選擇不同的量做標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，得出不同的“率”，豐富兩個(gè)量之間直接、間接以及各種形式的倍數(shù)關(guān)系）

2.知道小紅爺爺與爸爸年齡之間的關(guān)系——“大60%”，求出爺爺?shù)哪挲g，試一試。

［讓學(xué)生根據(jù)“大60%”先確定爸爸的年齡是單位“1”，然后用40×（1+60%）求出爺爺?shù)哪挲g］

3.媽媽和爸爸年齡之間也存在著倍數(shù)關(guān)系——“大[19]”，請(qǐng)你分析并計(jì)算出媽媽的年齡。

［先讓學(xué)生從“大[19]”這一關(guān)系中分析誰的年齡是單位“1”，并達(dá)成共識(shí)——媽媽的年齡為單位“1”更符合生活實(shí)際，進(jìn)而借助40÷（1+[19]），計(jì)算出媽媽的年齡］

4.已知小紅和奶奶年齡的比是2∶13，想知道奶奶今年多大年齡，你有哪些解決方法？

（以“比”的形式呈現(xiàn)，學(xué)生可以根據(jù)豐富的倍數(shù)關(guān)系，采用不同的方式計(jì)算奶奶的年齡，如，10÷2×13，10×[132]，10÷[213]……）

5.如果你認(rèn)識(shí)的人要到小紅家里做客，這個(gè)客人的年齡你是知道的，但請(qǐng)不要直接告訴同桌，而是找到客人與小紅家任意一個(gè)成員年齡之間的倍數(shù)關(guān)系，把這個(gè)關(guān)系告訴同桌，讓他自己算出來，試一試，看誰的倍數(shù)關(guān)系設(shè)計(jì)得巧妙。

（借助開放的設(shè)計(jì)，鼓勵(lì)學(xué)生自主創(chuàng)編倍數(shù)關(guān)系，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程）

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系是解決問題的重要依據(jù)，也是重要抓手。本環(huán)節(jié)，圍繞“小紅一家的年齡”這一情境，設(shè)計(jì)了“問題串”，從不同角度加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“倍數(shù)關(guān)系”的理解和應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

四、在總結(jié)提升中感受“關(guān)系”之美 [ ]

教師借助課件，逐一呈現(xiàn)進(jìn)行總結(jié)和提升（如圖3）。

師：大家都說數(shù)學(xué)就是一門“關(guān)系學(xué)”，今天這節(jié)課，我們就對(duì)小學(xué)階段的“倍數(shù)關(guān)系”進(jìn)行了回顧和梳理，相信大家對(duì)“數(shù)學(xué)很奇妙，關(guān)系最重要”這樣的說法有了進(jìn)一步的理解和感悟。在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)接觸到更多的關(guān)系。只要走進(jìn)數(shù)學(xué)的大門，我們對(duì)關(guān)系的研究便無時(shí)不在、無處不在。如果掌握了這些關(guān)系，你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)很美妙！希望大家慢慢地體會(huì)。

【設(shè)計(jì)意圖】以“倍數(shù)關(guān)系”為切入點(diǎn)，引申出其他數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而輻射出圖形關(guān)系及數(shù)形關(guān)系，由小學(xué)階段的關(guān)系，延伸出后續(xù)學(xué)段中的更多數(shù)學(xué)關(guān)系，形成一張清晰又和諧的“關(guān)系網(wǎng)”；“數(shù)學(xué)很奇妙”“關(guān)系最重要”“數(shù)學(xué)是‘關(guān)系學(xué)’”又構(gòu)成了一扇具有對(duì)稱美的數(shù)學(xué)之門。期待學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)之門，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有方向、有興趣、有成就……

【本文系2023年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目“基于‘?dāng)?shù)學(xué)美’的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：JCJYC2304zy1003）的研究成果】

（作者單位：河南許昌市教育科學(xué)研究中心） [WJ]