“認識底和高”一課是北師大版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元第二課時的內(nèi)容，主要包括認識并會畫梯形、平行四邊形與三角形的高。教材為何將這三個圖形的高編排在同一課時并且編排在“多邊形的面積”單元呢？教材為何先學習梯形的高，再學習平行四邊形與三角形的高？圖形高的本質(zhì)是什么？圖形的高對研究圖形性質(zhì)或特征有哪些價值？教學時如何讓學生真正通過探究來認識高的本質(zhì)和價值？如何借助該內(nèi)容的學習培養(yǎng)學生的空間觀念和推理意識等核心素養(yǎng)？通過思考并回答這些問題，能更好地理解2022年版課標為何將“圖形的認識”與“測量”整合為同一主題，也能更好地認識圖形的哪些要素是探究圖形度量公式的根本。

一、課前思考：圖形高的數(shù)學本質(zhì)及其價值

平面圖形或立體圖形的高刻畫了兩條平行線（兩個平行平面）之間的距離，脫離平行線（平行平面）就不存在高的概念。在數(shù)學中通常將平行線（平行平面）稱為底邊（底面），與它們垂直的線段稱為高，高與底是一對相對應的概念，它與日常生活中的高既有聯(lián)系也有區(qū)別。

高有兩方面的含義：一是高線，即與兩條平行線（兩個平行平面）都垂直的線段；二是高度，即高線的長度。高指前者時，會說兩條平行線之間有“無數(shù)條高”；若指后者，則因為兩條平行線（兩個平行平面）之間的距離處處相等，即任意兩條平行線（兩個平行平面）之間只存在唯一一個數(shù)值刻畫它們之間的距離，這個數(shù)值就叫作兩條平行線（兩個平行平面）之間的距離，也可以稱之為兩條平行線（兩個平行平面）之間的高度。所以，小學階段所研究圖形的高，其本質(zhì)是兩條平行線（兩個平行平面）之間的距離。之所以存在唯一一個數(shù)值，是因為對于兩條平行線來說，“一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等”，或者高是“一條直線上一點與另一條直線上任意一點間所有線段中的最小值”。正是有了存在性、唯一性、最小性，才可以定義圖形的高，才能刻畫兩條平行線（兩個平行平面）的特征。反之，如果找不到這個處處相等的唯一值，就意味著兩條直線不存在“平行關系”。因此，只有兩條直線（兩個平面）互相平行，才有研究高的可能性和必要性。

因此，北師大版教材不但將認識梯形、平行四邊形和三角形的高編排在同一課時，而且先學習梯形的高（只有一組對邊互相平行，所以只有一個高度值），然后學習平行四邊形（兩組對邊分別平行，所以有兩個高度值），最后學習三角形?！氨砻嫔稀笨矗切沃小安淮嬖凇逼叫芯€。難道三角形不存在高嗎？這樣認識圖形的高就能自然而然地激發(fā)學生內(nèi)在的探究興趣和愿望。平行線之間的這個秘密可以由學生探究發(fā)現(xiàn)，從而理解高的本質(zhì)，認識圖形的本質(zhì)特征。進而知道圖形的高度是幾，就意味著能夠擺幾行“小正方形（面積單位）”，發(fā)現(xiàn)平行四邊形與長方形、正方形面積之間的本質(zhì)聯(lián)系，也就可以將未知圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積問題。圖形邊的長度、位置關系（用角度刻畫）以及邊與邊或面與面之間的距離（也就是圖形的高）問題是求解圖形面積或體積的根本。因此，2022年版課標將這些內(nèi)容整合為“圖形的認識與測量”這一個主題。

小學階段高的學習內(nèi)容有明確的進階：第一層級是平面上兩點之間直線段的距離；第二層級是點到直線的距離（垂線段的長度），這是學習圖形高的根本；第三層級是平行四邊形、三角形、梯形這三個常見基本圖形的底與高，在此階段應該再回首感受長方形、正方形的長和寬也就是它們的底與高，類似地，直角三角形的兩條直角邊也可以分別看作它的底與高；第四層級是長方體、正方體、圓柱與圓錐的高。關于高的進階還在延續(xù)，例如，初中要繼續(xù)學習點到直線的距離、兩條平行線間的距離，到高中則要學習空間兩點之間的距離、點到平面的距離、直線與平面之間的距離、兩個平行平面之間的距離等越來越抽象的內(nèi)容，研究手段也更加多樣，但其本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化為垂線段的長度。研究距離問題并將其轉(zhuǎn)化為長度問題，在直觀操作的基礎上學生更需要想象與推理等思維活動，因此更有利于培養(yǎng)學生的空間觀念、幾何直觀與推理意識。

二、課中實踐：讓學生“真探究”并感悟本質(zhì)

對于高，學生有較為豐富的生活經(jīng)驗，例如測量身高、建筑物的高度、山峰的高度等，也積累了豐富的操作經(jīng)驗和心理表象，這為后續(xù)學習奠定了基礎。但數(shù)學中圖形的高和生活中的高既有相同點，也有不同點。相同點是它們都是線段的長度、都與垂直相關，例如，生活中所涉及的高都與地面垂直。但有時生活情境中的高可以是“最高點”到“最低點”間的距離，基本都與“水平方向”垂直，高是“看得見、摸得著”的實物的長度。學生的這些經(jīng)驗既有助于學習圖形的高，也可能帶來負面影響、負遷移。教學時要暴露學生關于高的迷思概念，利用變式圖形對比分析迷思之處，在辯論、質(zhì)疑與相互評價的過程中強化對高的本質(zhì)的理解。

（一）由“生活經(jīng)驗”轉(zhuǎn)向“數(shù)學概念”，初步感悟圖形高的含義。

高在生活中比比皆是，利用學生已有的經(jīng)驗，將豐富的實例做比較，初步感悟高的本質(zhì)。但是生活中對“底與高相對應”這一點感知較少，這也是生活中的高與幾何圖形的高的區(qū)別之一。因此教學時可以呈現(xiàn)日常生活中的高，例如：“公園免票限高1.1米，是什么意思？”（由學生最熟悉的身高抽象出對高的初步理解：1.1米是指從頭頂?shù)侥_底的垂線段）“橋洞限高4.5米，又是什么意思？”（如果把橋洞抽象成一個梯形，它的高在哪里呢？有多少條？有什么特點）由對高的“生活關注”，過渡到對底與高之間的對應關系和高的本質(zhì)特征上來。通過對不同情境中高的含義的理解，讓學生體驗由現(xiàn)實生活情境到圖形的過程，通過設問激發(fā)學生的思維活力。

（二）畫梯形的高，再次感知高的本質(zhì)：平行線間的距離。

在前述“橋洞限高”環(huán)節(jié)，學生從實物中抽象出高，初步認識高是一條垂線段，初步感受高能夠刻畫兩條平行線之間的距離，感悟垂直與平行互相依存。第二個環(huán)節(jié)是“畫梯形的高”，學生主要有以下三種畫法（如圖1），課堂教學時討論這三種畫法的相同與不同之處，學生概括出高的概念，尤其強調(diào)怎么畫，抓住學生的重要問題“從上面這條邊上往下畫，但是不能從斜邊上往下畫，那樣就不是梯形的高了。上面的邊和下面的邊是平行的，得找準位置”。（學生研討過程略）

（三）感悟“兩條腰”之間不存在“高”，再次強化高的本質(zhì)。

在前述研討環(huán)節(jié)，生1說：“把你們的畫法總結(jié)一下，就是找到它的最高點和最低點，用虛線連上就行了?！边@個問題引發(fā)了全班學生的大討論：什么是“最高點和最低點”？兩條腰之間能否畫出“高”？下面是重要的討論環(huán)節(jié)。

生2：不對！不是找一個最高點和最低點。如果把圖形轉(zhuǎn)一下，這兩條邊（指梯形的兩條腰）就不平行了，要想畫圖形的高，得保證下面的這條邊和上面的邊是平行的。如果是三角形的話，上面沒有邊只有點，就找點，但要是上面有邊，上、下兩條邊就得是平行的。

師：你都聯(lián)想到三角形了！（豎大拇指）我特別喜歡剛才那位同學（指生1）的發(fā)言，她會把前面的發(fā)言概括出來，提到一個最高點和最低點，而生2補充梯形畫高時的最高點和最低點得從兩條平行的邊上找，畫這兩條邊之間的垂線段。（學生紛紛點頭同意）那下面兩幅圖（如圖2）中的“虛線”是梯形的高嗎？

生3：我覺得①號圖形不是，因為它沒有從最上面畫到最底邊，像他那樣畫是畫不出梯形的高的。一般高都是豎的，不是斜的。

生4：我給你補充，他找的兩條邊不是平行的，怎么可能畫出梯形的高？

生5：我覺得他畫的不是垂線段。

生6：不是，他畫的是垂線段，但是是斜著的，和豎直的肯定不一樣，是有誤差的。

師：那我把它轉(zhuǎn)過來（如圖3），這樣呢？是從最高點到最低點畫的虛線吧，但它是梯形的高嗎？

暴露學生的迷思之處。有一部分學生認為是，一部分認為不是。

生7：我認為不是。你們看，如果像他這樣畫，另一個角和這個高度是沒有關系的，如果把它補上，就成三角形了，但又影響了平行邊之間的高。（該生“直覺”是對的，但表達不清楚）

生8：老師您看，這條線是高，但不是梯形的高，是三角形的高。（該生仍然“腦補”出了一個三角形）

師：我明白你的意思，我們一起觀察一下，這條線是和對邊垂直的，但它是這個點到對邊的距離，和梯形的高一樣嗎？

生9：圖形轉(zhuǎn)一下不還是梯形嗎？它應該是梯形的高呀！

生4：它不是！我們可以算一下，梯形的面積計算公式是“（上底+下底）×高[÷]2”，你把它當高求得的面積和根據(jù)剛才大家那樣畫的高求出的面積肯定不一樣??！

師：上底和下底，我們還沒明確學這樣的概念，但是你用這樣的知識儲備解釋，是你的優(yōu)勢！我們匯總一下大家的觀點，不管梯形怎么轉(zhuǎn)，這兩條邊是它的“腰”，畫在兩腰之間的垂線段，我們還能找到多少條？（用手比畫后，出示圖4）

生：（齊）很多！很多條！

生7：我明白了，它們的長度都不一樣，不可能是梯形的高！

師：沒錯！就像剛才大家說的，梯形的高得畫在哪兩條邊之間？

生：（齊）平行的兩條邊！

師：這兩條平行的邊，就叫作梯形的底，較短的稱為上底，較長的稱為下底。在上底和下底之間，才有無數(shù)條高，但是長短一樣。那圖2中的②號圖形呢？

絕大多數(shù)學生異口同聲：是！

生1：是！因為把它轉(zhuǎn)過來，不就是剛才第二位同學畫的高（指圖1中的圖）嗎？

生2：可是它不是豎直的，怪別扭的！

師：它不豎直，那它是不是高？

絕大多數(shù)學生：是！

師：你們最堅定的理由是什么？

生3：它是在兩條平行邊之間畫的。

師：你能用剛才學過的名詞說一說嗎？

生3：它是梯形的上底和下底之間的垂線段，所以它是梯形的高。

課堂教學中充分利用學生關于高的迷思概念，能夠促進學生深度思考，讓深度學習真實發(fā)生。學生經(jīng)歷了獨立思考、小組討論、全班呈現(xiàn)三個階段，把想法暴露出來了。在生生互動質(zhì)疑、評價反思的過程中，每一個學生都進行了思維上的辨析和修正。數(shù)學中的高與生活情境中的高的不同點也是此環(huán)節(jié)要解決的問題之一，沒有學生獨立的想法，課堂目標的實現(xiàn)就沒有支撐。尤其是一個學生提到的“把它當高求得的面積和根據(jù)剛才大家那樣畫的高求出的面積肯定不一樣”，說明學生對平行線間的高可以作為圖形轉(zhuǎn)化的工具，利用它可以計算面積這一點有了初步的體驗，為后續(xù)在圖形度量中感受底和高的作用積累了經(jīng)驗。

（四）認識平行四邊形的高“水到渠成”。

“由此及彼”，學生很容易畫出平行四邊形的高，并能夠解釋平行四邊形肯定有兩組“底、高”，為后續(xù)推導平行四邊形的面積計算公式奠定基礎：一定是底邊的長度與對應高的乘積才是平行四邊形的面積。

（五）三角形到底有幾條高？

有學生提出：如果沒有平行線，還會有高嗎？三角形沒有平行線，三角形就沒有對應的底和高嗎？這個學生的問題一提出就激發(fā)了全班學生的思考：三角形有高呀，面積計算公式是“底乘高除以2”，但確實三角形中沒有平行線呀？三角形有無數(shù)條高、有三條高，還是沒有高？等等。在真問題引領下，每個學生都成了探究發(fā)現(xiàn)高之奧秘的高手。

生1：如果是等邊三角形，就有三條高；如果是不等邊的，就有一條高。

生2：其實可以有延長線。你看這個三角形（如圖5），是不是覺得它只有一條高？其實可以這樣延長，它是有無數(shù)條高的。

生3：我認為三角形有三條高。從上面的這個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂線段是一條高。把這個三角形轉(zhuǎn)一下，再從這個頂點向底邊作垂線，就又得到一條高。再轉(zhuǎn)一下，從第三個頂點向底邊畫垂線段，就是第三條高。

生4：我覺得不對，三角形沒有高，因為平行線消失了！沒有平行線就沒有高！

生3：不是！看起來沒有平行線，是因為平行線變成了一個點，那這個點到對邊的垂線段就是三角形的高。

生4：其實是有平行線的。我認為三角形和平行四邊形是一樣的，都有無數(shù)條高。第一種就像剛才有同學說的，畫延長線，但也可以這樣，變成一個平行四邊形，不是能畫出無數(shù)條高嗎（如圖6）？

生5：我們畫的是單個三角形的高，你把兩個三角形拼起來，就不是三角形而是平行四邊形了！

師：那這些線（指平行線之間的垂線段）有什么特點？都和這一條高（指三角形的高）是什么關系？

生：（齊）平行且相等！

師：可以說，它們都和三角形的這一條高相等，等高！但是哪條才是這個三角形的高？

生：（齊）只有這一條！

師：沒錯！就像這位同學（指生3）所說，三角形的高，是它的頂點到對邊的垂線段。同樣的道理，三角形有幾條高？

生：（齊）三條！

師：但是，同學們能夠通過聯(lián)系和想象，發(fā)現(xiàn)有無數(shù)條和過三角形頂點的高都相等的高，在后面的學習中，會大有用處！

三、課后反思：有高階思維參與才能有效培育核心素養(yǎng)

小學階段雖然沒有給出點和線之間、線和線之間、點和面之間、面和面之間距離的定義，但圖形高的本質(zhì)就是更為抽象的“距離”問題，比之前學過的測量實物或線段長度更有困惑點、迷思之處。教師在把握高的本質(zhì)基礎上，可以將這些“真問題”充分暴露出來，使之成為學生研究高的載體。有真問題學生才能調(diào)動高階思維。

理解并掌握平面圖形底和高的概念，并不只是記憶概念的定義，而是基于學生已有知識基礎和生活經(jīng)驗，在真問題（揭示數(shù)學本質(zhì)的問題）引領下，學生才能真正有辨析、有相互評價、有概括歸納等高階思維參與到探究過程中，才能不但理解圖形高的本質(zhì)、感悟高對于認識圖形與度量圖形的價值，而且逐步提升空間觀念與推理意識的水平。教師只有把握了數(shù)學概念的本質(zhì)，才能讓學生的數(shù)學探究活動真正成為“再創(chuàng)造”活動。

例如，本課設計“梯形的兩條腰之間是否存在高”這個任務讓學生思考時，有學生“創(chuàng)造性”地畫從一條腰上一點到另一腰的垂線段，這些垂線段的長度都不相等，把哪個長度定義為兩條腰之間的距離呢？顯然不能確定，因此兩條腰不能作底，也不存在對應的高，又從“不存在”的角度強化高的本質(zhì)。這些探究活動既為研究與運用梯形面積計算公式積累了活動經(jīng)驗，有利于感悟數(shù)學概念的確定性與價值性，更為學生“再創(chuàng)造數(shù)學”提供了機會，使其對數(shù)學探究充滿了興趣。

又如，在探索三角形有幾條高時，以某條邊為底，它對應的高有多少條呢？說“無數(shù)條”的學生雖然答案不對，但他的思維水平較高、空間觀念較強，因為他能夠想象出“三角形的一條底邊不變，過對應的頂點存在一條與底邊平行的直線”。這一想象過程意義重大，既培養(yǎng)了學生的空間想象能力，更相當于該學生自主發(fā)現(xiàn)了歐幾里得《幾何原本》中著名的第五公設“過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線平行”，也相當于學生自發(fā)、直覺地感悟“等底等高的所有三角形面積都相等”這一命題。這些探究活動中積累的如何發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析并解決問題的經(jīng)驗為單元后續(xù)推導面積計算公式、運用等積變形思想解決較復雜的面積問題做了孕伏。學生帶著興趣和思考下課，高階思維活動貫穿始終，空間觀念與推理意識才能有效發(fā)展。

（作者單位：北京教育學院數(shù)學與科學教育學院，北京第二實驗小學） H