[課前思考]

“探索活動：三角形的面積”是北師大版教材五年級上冊第四單元“多邊形面積”中的內(nèi)容，是在學生學習了三角形邊與角的特征及長方形、正方形及平行四邊形面積的基礎上進行教學的。教材呈現(xiàn)的三角形面積的研究路徑，與平行四邊形面積的探索活動一致，即“問題情境—轉(zhuǎn)化圖形—尋找聯(lián)系—推導公式—解決問題”。目的是在研究三角形面積的過程中，進一步積累并豐富圖形轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展推理意識。

對這節(jié)課的再思考，來源于學生在探索過程中出現(xiàn)的一些問題。如，用兩個完全相等的三角形拼成平行四邊形，“倍拼轉(zhuǎn)化”后推導出三角形面積計算公式，雖然形象、直觀，但多數(shù)學生想不到，需要教師進行引導和幫助；再如，有的學生對是否所有的三角形都能割補成長方形，進行等積轉(zhuǎn)化有疑問；又如，在用方格紙數(shù)出三角形面積后，有的學生可以借助平行四邊形面積的學習經(jīng)驗，猜想三角形面積計算公式是“底×高÷2”，認為不需要再驗證了，直接用公式計算就可以。由此可見，學生的學習并不是有了平行四邊形面積的探索經(jīng)驗，自然進行主動遷移，靈活應用到三角形面積的探索中，而需要教師主動且創(chuàng)造性地進行設計與調(diào)整，以適應學生的學習需求。

那么，如何基于問題，順應學生的認知基礎，引領學生經(jīng)歷探索三角形面積的全過程，凸顯多邊形面積的計算本質(zhì)，發(fā)展推理意識，感悟面積計算方法的一致性呢？帶著這些思考，我們嘗試以真實的問題情境為媒介，以學生自主探索為核心，以多樣方法之間的聯(lián)系為著力點，滲透數(shù)學文化，鼓勵學生經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程，在探索的過程中體會數(shù)學的意義和價值。

[活動過程]

教學片段一：三角形面積該如何求？

課始，教師出示了教材中的情境圖（如圖1），鼓勵學生解讀情境，把求出這面流動紅旗的面積轉(zhuǎn)化為求解三角形的面積，并討論該如何求解三角形的面積，展開了下面的討論。

師：請大家認真觀察這幅圖，想一想，如何求出這面流動紅旗的面積呢？

生：我有個問題，這面流動紅旗的面積沒有辦法求，因為沒有數(shù)據(jù)。

生：我補充一下，這個問題就是讓求三角形的面積。

師：根據(jù)你們之前求解面積的經(jīng)驗，需要哪些數(shù)據(jù)呢？

生：需要知道三角形的高，及高對應的底。

師：表達很清晰，這面流動紅旗的數(shù)據(jù)如下（如圖2），現(xiàn)在可以求出它的面積了嗎？

生1：我覺得還不行啊，因為不知道三角形的面積計算公式。

生2：可以像之前一樣，用方格紙數(shù)一數(shù)。

生3：也可以像求平行四邊形的面積那樣，把三角形轉(zhuǎn)化成長方形，根據(jù)長方形的面積計算公式推導出三角形的面積計算公式，就可以求解了。

生4：我覺得可以用平行四邊形的面積計算公式來計算。

生1：你說的我不太懂，怎么能用平行四邊形的面積計算公式來計算呢？

生4：我的意思不是直接算，而是想辦法把三角形面積和平行四邊形面積建立起聯(lián)系。

生5：也就是把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積計算公式，推導出三角形的面積計算公式。

生4：還不全是這樣，我的意思是可以直接根據(jù)平行四邊形的面積計算公式，得到三角形的面積計算公式。

生6：我明白了，就是要利用之前學過的知識，解決新的問題。

師：大家的討論很精彩，在交流中大家逐漸明晰了，在求解三角形的面積時，可以用數(shù)方格的方法，也可以把三角形轉(zhuǎn)化為學過的圖形，利用長方形和平行四邊形的面積計算公式來進行推導。

教學思考：面對一個新問題的時候，如何讓學生體會到“想法”的重要性？課始，我們做了一個嘗試，不忙著讓學生直接探索三角形的面積，而是進行思路和方法交流，為學生積累學習方法鋪路搭橋。從學生交流中不難發(fā)現(xiàn)，學生能借助原有的經(jīng)驗，積極思考解決三角形面積的問題，為后續(xù)的探究活動打好了基礎。

教學片段二：三角形面積為何是“底×高÷2”？

本節(jié)課的主線，就是鼓勵學生在自主探索活動中，經(jīng)歷探索三角形面積的全過程，體會轉(zhuǎn)化的思想，在多種方法中感悟數(shù)學探索的奧秘。為此，在這個環(huán)節(jié)，教師為學生提供了方格紙、平行四邊形紙、幾組兩兩相同的三角形，借助小組合作學習，完成三角形面積的探索活動。

師：接下來，就用我們剛才討論的方法，小組合作，探索三角形面積的計算公式。請大家先看小組合作學習要求，再開始探索，時間8分鐘，小組有困難了，可以舉手示意，我來幫助大家解決問題。

[小組合作要求

1.小組長進行分工，保證每個人都要參與討論與交流。

2.記錄小組的研究方法，并嘗試給出結論和解釋。

3.小組推選發(fā)言人，進行全班交流。

]

學生合作學習，教師巡視，并根據(jù)每組的情況提供適時的幫助。

師：我看到每個小組都有了結論和想法，下面我們來進行分享。哪些小組先來和大家進行分享？在交流的過程中，大家要認真傾聽，如果和你們小組的思路一致，你就表示認同，如果不一致，你可以說出自己的疑問，一起來交流。

組1：我們小組用了兩種方法，一是數(shù)方格，二是用平行四邊形的面積計算公式求解。數(shù)方格的方法有點兒麻煩，因為有不少半格的需要湊整去數(shù)，所以我們就重點研究了后面的這種方法。

組1：我們的方法是把一個平行四邊形，沿著對角線分成兩個三角形（如圖3），我們覺得三角形面積就是平行四邊形面積的一半，所以三角形面積就是“底×高÷2”。請問，大家有問題嗎？

生：我們組有一個疑問，我試著折了一下，這兩個三角形重合不了，怎么能證明是一半呢？

師：非常好的問題，是啊，怎么能進一步說明呢？

組1：剛開始的時候，我們小組也是有的同學發(fā)現(xiàn)對折不了，我們就嘗試剪下來去重疊，發(fā)現(xiàn)是可以的。

組1：我來補充一下，因為平行四邊形不是軸對稱圖形，所以這樣對折一下不行，轉(zhuǎn)一下就行了。

師：大家可以試一試。

學生利用學具中的平行四邊形紙，進行嘗試，發(fā)現(xiàn)是可以的，有的學生不由自主地豎起了大拇指。

師：很棒的思路，大家利用平行四邊形的面積計算公式，直接進行三角形面積計算公式的推導，非常了不起。還有別的思路嗎？

組2：我們小組是用老師提供的兩個完全相同的三角形拼的，發(fā)現(xiàn)可以把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，就可以推導出三角形的面積計算公式，也是“底×高÷2”。

生：我覺得你們小組解釋得不清楚，可以再說得詳細一些。

組2：我們是這樣拼的（圖略），兩個完全一樣的三角形可以拼出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形面積計算公式，就知道啦，和第一個小組差不多是一樣的思路。

生：我覺得不一樣，第一個小組是把平行四邊形分成兩個三角形，所以可以直接得到面積是一半。但你們是拼的，需要知道三角形的底和高與平行四邊形的底和高是什么關系。

組2：我們想得有點兒簡單了，三角形的底就是平行四邊形的底，三角形的高就是平行四邊形的高，但三角形的面積是平行四邊形的一半，所以三角形的面積計算公式是“底×高÷2”。

生：我認為雖然思路不一樣，但都和平行四邊形有關，看來就是要把新圖形的面積轉(zhuǎn)化成學過圖形的面積來解決問題。

……

教學思考：聽到這里，有不少學生開始鼓掌，我也不禁為學生的深度思考和交流喝彩，學生想到把一個平行四邊形沿著對角線分成兩個三角形，直接得到三角形的面積計算公式，是我始料不及的。因為在以往的教學中，都是“倍拼轉(zhuǎn)化”的方法，即用兩個完全一樣的三角形拼出平行四邊形，再去思考二者面積之間的關系、底和高之間的關系，從而得到結論。

令人驚喜的是，借助教師提供的材料，學生不僅順利使用了“倍拼轉(zhuǎn)化”的方法，還能深度剖析兩種方法的聯(lián)系與區(qū)別，在對比分析中，不僅感受到了面積計算方法的一致性，更為重要的是體會到在數(shù)學學習中，要把未知轉(zhuǎn)化為已知來求解，這是多么重要的一種數(shù)學思維品質(zhì)。

教學片段三：原來這就是《九章算術》中的求解方法啊！

在探索三角形面積的過程中，有的小組把三角形轉(zhuǎn)化為了長方形，不同的是，有的小組使用教材中呈現(xiàn)的方法（如圖4），即把這個三角形添補成長方形，并思考轉(zhuǎn)化前后圖形的面積之間有什么關系，從而獲得結論。

有的小組則借助出入相補，把三角形割補成長方形，在探求三角形面積計算公式時，遇到的困難的是不知高是多少。在討論中，我們趁機滲透數(shù)學文化，讓學生厘清道理，明晰多邊形面積計算的本質(zhì)，感悟數(shù)學文化的魅力！

師：我們請第三小組來分享一下他們的方法。

組3：我們是嘗試把一個三角形轉(zhuǎn)化成了長方形（如圖5），但我們遇到的困難是，在推導三角形面積計算公式時，高是原來三角形的多少？

師：大家可以用三角形紙試一下，看看轉(zhuǎn)化后的長方形的寬是多少。

學生嘗試動手操作，教師巡視，并進行及時指導。

師：我看大家都有想法了，誰來說一說？

生：我們小組發(fā)現(xiàn)，折疊的時候，要從中間將高對折，要不然拼不成長方形。

生：我們小組用尺子量了一下，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后的長方形的寬就是原來三角形高的一半，這樣就可以推導出三角形面積計算公式是“底×高÷2”。

師：在這里，給大家介紹一本我國古代的數(shù)學名著《九章算術》，在這本書里，就介紹了三角形面積計算公式的推導，和這個小組的思路一樣。

課件播放視頻介紹《九章算術》及劉徽的出入相補（以盈補虛），理解“廣”就是三角形的底，“正從”就是底對應的高，“半從”就是三角形高的一半，三角形的面積就是“底×高÷2”（如圖6）。

師：解決你們小組的問題了嗎？

組3：不僅解決了我們的問題，而且使我們更加清楚了為何三角形的面積是“底×高÷2”。

師：對此，你有什么感想？

生：我想讀一下《九章算術》這本書，想了解更多求解面積的方法。

師：好啊，回頭我們一起讀，一定會有更多新的發(fā)現(xiàn)和感受。

生：我國古人的智慧，真是令人敬佩。

生：數(shù)學真是有趣，我覺得出入相補很神奇。

教學思考：如何在學生原有認知的基礎上，拓展學生的認知？抓住學生把一個三角形轉(zhuǎn)化為長方形后遇到困難的契機，滲透中國傳統(tǒng)數(shù)學文化，體會轉(zhuǎn)化思想，進一步了解“出入相補”，體現(xiàn)了數(shù)學學科獨特的育人價值，不僅培養(yǎng)了學生的理性精神，還增強了民族自豪感。

【本文系2022年度河南省基礎教育教學研究項目“基于‘問題引領學習’的小學數(shù)學課堂教學實踐研究”（編號：JCJYC2204zy002）的研究成果】

（作者單位：河南省第二實驗中學小學部）[WL]