摘要：智慧課堂是信息技術發(fā)展與學科教學融合下的新產物，區(qū)別于傳統(tǒng)課堂，具有情境性、功能性、互動性特點。GeoGebra（動態(tài)幾何畫板）是結合幾何、代數與微積分的動態(tài)數學軟件，具有兼容性強、關聯性強的特點，借助這一優(yōu)勢，將GeoGebra融入智慧課堂，動態(tài)演示圖象，收到“化靜為動”的效果。本文以《函數的單調性與導數》為例，介紹GeoGebra融入智慧課堂教學的實踐案例。

關鍵詞：GeoGebra 智慧課堂 教學實踐

近年來伴隨著信息技術的發(fā)展推進，智慧教育勢在必行。基于智慧平臺的智慧教室旨在發(fā)展高技能和創(chuàng)新人才，依托大數據，進行諸如學情分析、學科診斷，以此構建學習過程文檔和多元智能評估體系。本文探討以智慧課堂為載體，融入動態(tài)作圖軟件GeoGebra，利用其兼容性強、開源性、關聯性強等功能特點，動態(tài)展示函數切線，并以《函數的單調性與導數》為例論述教學實踐。

一、智慧課堂模式下的數學教學

相較于傳統(tǒng)課堂，智慧課堂交流更具有公平性，是一個所有人都可以展示的平臺，不受個體差異的限制，課堂互動更具有多樣性，課堂不再是教師的滿堂灌，學生可以通過搶答、隨機抽取、彈幕等功能展現學習狀態(tài)，為教師提供實時、精準的教學反饋。

目前智慧課堂教學具體流程見圖1。

課前，教師借助大數據平臺進行學情分析，同時發(fā)布與本節(jié)課內容相關的導學案進行預習測評，根據學情分析和學生預習測評的結果，制定有針對性的教學設計。

課中，教師結合預習反饋的結果，創(chuàng)設情境導入課題，師生、生生之間展示分享課前討論結果，引出本節(jié)課問題和內容；分析探究部分，教師可利用智慧平臺教師端的搶答、隨機抽取、鼓勵等功能調動學生的課堂積極性；應用舉例部分，可利用實物展臺、學生講、白板等功能在線直播投屏學生解題過程，高效直觀，師生共同發(fā)現問題，解決問題；總結提升部分，無論是學生整體回答還是教師點名提問，都無法讓所有學生參與其中，結合這一現狀，教師可嘗試在教師端打開“彈幕”，引導學生就本節(jié)課的內容、運用的數學思想方法在討論區(qū)暢所欲言。

課后，教師在智慧平臺完成作業(yè)發(fā)布，學生可在學生端完成并上傳作業(yè)，教師通過移動端及時批閱，智慧平臺根據教師批閱結果個性化推送相關習題，對學生進行個性化輔導。

二、GeoGebra軟件簡介及功能特點

GeoGebra是一個兼顧幾何、代數與微積分的動態(tài)數學軟件，不僅可以繪制動態(tài)圖象，同時具備處理變數的能力。在適用范圍方面，相較于常用數學軟件幾何畫板，GeoGebra不僅可以對點、直線、多邊形進行幾何變換，而且能夠對圓錐曲線進行幾何變換；在函數建立方面，幾何畫板只能建立一般表示方法下的函數，即“f（x）=”，而GeoGebra同時可建立形如“xy=2”的函數；在度量計算方面，相較于幾何畫板，GeoGebra通過指令還可以實現積分與微積分運算、矩陣運算、列表運算等。

在運行環(huán)境方面，相較于其他數學軟件，GeoGebra對硬件要求極低，可在安卓、Windows操作系統(tǒng)上運行且不會出現任何兼容性問題，與此同時，GeoGebra開發(fā)出能夠在平板和手機上運行的版本，保證在任何地方都可以開展數學學習，支持“移動學習”。因此，GeoGebra更加符合智慧平臺的運行要求。值得注意的是，2019年人教版高中數學教材已經將GeoGebra作為信息技術應用推薦軟件。

三、《函數的單調性與導數》教材分析

函數的單調性在《數學1》中已經介紹，本節(jié)利用導數來判斷函數的單調性，將極限的思想運用到《數學1》中函數單調性的定義中去，用函數在某區(qū)間上的平均變化率f（x₂）-f（x₁）/x₂-x₁逐步逼近某點的瞬時變化率，即x₂→x₁，Δx→0時的情況，充分展示了先前研究函數的靜態(tài)思想轉化為利用極限研究函數的動態(tài)思想。

本節(jié)以本章中一以貫之的例子——高臺跳水，引出具有實際物理背景的函數h（t）的單調性與速度v（t）正負的關系，后通過冪函數圖象，借助幾何直觀歸納出函數的單調性與導數的正負關系。書中給出了一般情況下的歸納總結：“在x=x₀處，f′（x₀）gt;0，切線是‘左下右上’的上升式，函數f（x）在x=x₀附近單調遞增?！比绾谓柚腔燮脚_動態(tài)地“展示”函數從一點處的單調性，到一點附近的單調性，進而到整個區(qū)間上的單調性這一過程，這是值得探究的問題。本文將探討如何利用GeoGebra兼容性強的優(yōu)勢，在智慧平臺教師端實時操作展示。

四、GeoGebra融入智慧課堂教學實踐案例

接下來以2019高中數學新教材選擇性必修第二冊第五章第三節(jié)《函數的單調性與導數》為例，介紹GeoGebra融入智慧課堂教學實踐。

（一）課前：利用智慧平臺在教師端推送三個問題

提前閱讀教材選擇性必修二P₈4思考板塊的運動員高臺跳水案例。

【學案】嘗試回答下列問題：

（1）觀察ht圖象，你認為運動員的運動狀態(tài)可以分為幾類？

（2）ht圖象在區(qū)間0，a中為什么遞增，在區(qū)間a，b中為什么遞減？

（3）函數ht單調性和vt函數值正負有怎樣的關系？

【設計意圖】以上三個問題是根據教材思考提煉出來的，讓學生從物理角度說明具有實際物理背景的函數h（t）的單調性與其導數的正負關系，提前讓學生作答，帶著問題學習。

（二）課中

1.創(chuàng)設情境，提出問題

引言：前幾節(jié)課我們通過高臺跳水案例學習了平均變化率，而平均變化率取極限就是我們所說的導數。本節(jié)課我們繼續(xù)研究高臺跳水這一案例，看從中還能得出怎樣的結論。

師生活動：師生共同處理課前推送的問題。

【設計意圖】高臺跳水是本章一以貫之的例子，本節(jié)課前讓學生完成學案中的問題，結合物理知識弄清楚因為vt函數值為正值，速度方向向上，因此h（t）圖象在0，a中單調遞增，進而推廣到一般情況，符合由特殊到一般的研究思路。

追問：但是ht是一個具有實際物理意義的函數，對于數學中其他的更一般的函數，是否還能得出這樣的結論呢？

2.觀察圖象，分析探究

問題：觀察下列函數圖象，完成學案中的表格，探討函數單調性與導數的關系。

師生活動：學生觀察、思考、討論，完成學案中的表格；教師巡視、指導，將學生的填寫情況通過智慧課堂同屏到白板上。

【設計意圖】根據簡單的冪函數圖象（幾何直觀）及其導函數的計算，分析表格中的數據，探討函數的單調性與導函數正負的關系，脈絡清晰，利用智慧課堂分享學生的填表結果，共同交流歸納。

3.歸納總結，得出結論

問題：根據以上表格中函數單調性的討論結果，你可以得到怎樣的結論？

更一般的函數也具有這樣的性質，因為嚴格證明超出了我們現有的知識范圍，先用GeoGebra操作演示。

教師活動：直接打開平板中的GeoGebra軟件，拖動滑條，給學生展示隨著切點變化對應切線變化的動態(tài)圖象，并同屏至白板上，觀察切線斜率與單調性的關系，歸納出一般性的結論。

【設計意圖】根據新課標，本節(jié)內容學生只需歸納，無須嚴格證明。為了直觀反映區(qū)間內任意一點切線變化與函數單調性的關系，我們利用GeoGebra（可在智慧平臺中運行）給學生動態(tài)展示，收到化“靜”為“動”的效果。

問題：若在某區(qū)間中恒有f′x=0，則函數圖象有怎樣的變化趨勢？

師生活動：教師在教師端開啟“搶答”模式，學生搶答。

4.應用舉例，運用新知

例1：已知函數f（x）導函數f′（x）圖象，試畫出函數f（x）的圖象的大致形狀。

師生活動：教師引導學生通過觀察、思考、動手操作自主在學案上作圖，教師利用智慧課堂中的實物展臺對學生的作圖過程加以錄像，并展示不同學生的作圖結果。

【設計意圖】學生動手實踐繪制圖象，以深化對內容的理解，可適當探討f′（x）=0的點，為下節(jié)課內容做鋪墊。同時展示不同學生圖象，讓學生發(fā)現由導數正負得出的函數圖象并不唯一，解釋“大致形狀”。

例2：判斷函數單調性，并求出函數的單調區(qū)間。

原式：f（x）=x³+3x 變式：f（x）=x³+3x²

師生活動：教師引導學生給出解題方法，對于原式教師利用智慧平板給出求解步驟，對于變式教師板書過程。

【設計意圖】例2的兩個式子是三次多項式形式的函數，不同的是，教材中給出的原式的導函數恒為正值，因此只有增區(qū)間，變式稍加改動，其導數有正有負，需要求f′（x）gt;0，f′（x）lt;0的解集確定單調區(qū)間，促進學生對利用導數求函數單調區(qū)間這一方法的運用。

師生活動：教師在GeoGebra軟件上畫出兩函數圖象，供學生觀察。

【設計意圖】利用GeoGebra兼容性強的優(yōu)勢，在智慧平臺上直接作圖，將函數的解析式、圖象有機結合起來，用函數圖象為結論提供直觀支持。

問題：除了導數，還有哪些方法可用于判斷函數的單調性？

師生活動：教師在智慧課堂平臺中開啟“學生講”功能，學生在平板上書寫利用單調性定義判斷函數單調性的過程，白板上同時隨機呈現四位同學的做題步驟。

【設計意圖】讓學生感受根據定義判斷函數單調性具有極大的局限性，突出利用導數方法判斷單調性具有普適性、通用性。

問題：定義和導數都可以判斷部分函數的單調性，它們之間會有什么聯系呢？

【設計意圖】揭示定義和導數兩種方法之間的本質聯系，了解之前定義的靜態(tài)思想和現今利用極限研究函數單調性的動態(tài)思想，對兩種方法有更深層次的理解。

原式：f（x）=sinx-x，x∈0，π

變式：f（x）=cosx+?x，x∈0，π

師生活動：教師引導學生給出解題方法，對于原式教師利用智慧課堂在平板上給出求解步驟；對于變式教師請學生在平板上寫出過程，同屏至白板上，其他學生紙筆作答。

【設計意圖】變式導數有正有負，涉及三角函數不等式求解，難度較大，學生容易犯錯，讓學生在平板上作答，展示步驟中的優(yōu)點或出現的問題，加深學生印象。

5.強化練習，鞏固新知

練習：判斷函數的單調性，并求出函數的單調區(qū)間。

原式：f（x）=x-4lnx-1

變式：f（x）=x-4lnx-1x

師生活動：對于原式教師引導學生注意定義域的限制，請一位學生在黑板上作答，教師巡視、指導；對于變式學生課下作答。

【設計意圖】練習題難度加深，涉及原函數求導之后導函數的化簡、化簡后導函數正負的判斷以及定義域等問題，訓練學生解題思維。

6.梳理小結，深化理解

（1）如何研究函數單調性與導數的關系？

（2）怎樣判斷函數f（x）的單調性？

師生活動：教師開放教師端“互動”區(qū)，每個學生以發(fā)“彈幕”形式就本節(jié)課的知識內容、思想方法暢所欲言。

【設計意圖】開啟“彈幕”，以更加新穎的方式吸引學生的注意力，調動學生的積極性，最大限度地讓每位學生參與課堂、享受課堂。

（三）課后

（1）作業(yè)布置：通過教師端發(fā)布課后習題，并設置提交時間段。

（2）個性推送：學生提交后，教師在移動端及時批改，數據庫根據學生作業(yè)批改結果向學生推送個性化練習。

五、智慧課堂教學反思

1.智慧課堂教學手段豐富

本節(jié)課課前、課中、課后三個階段充分發(fā)揮了智慧課堂的獨特優(yōu)勢。課前通過智慧平臺發(fā)送預

習材料給學生，并進行在線檢測與輔導，完成前置學習；課中利用智慧平臺的搶答、隨機制取、彈幕等功能，開啟師生、生生交互模式，極大調動了學生熱情興趣，讓學生“動”了起來，白板、實物展臺、學生講等功能幫助教師全面、準確地了解學情，課堂掌控更加精準；課后通過教師端發(fā)布作業(yè)，學生提交，教師及時批改，完成了個性化的作業(yè)推送與輔導?？傮w而言，本節(jié)課教學效果良好，智慧平臺功能使用較為恰當，達到預定的教學目標。

2.GeoGebra應用于智慧課堂更加適宜

目前高中常用的數學軟件仍然是幾何畫板，但幾何畫板在智慧平臺中無法運行，而GeoGebra具有兼容性強、開源性、關聯性強的功能特點，可以在智慧課堂環(huán)境中正常操作運行，極大地克服了幾何畫板的弊端，同時GeoGebra可手動拖動“滑條”，讓動態(tài)展示變得更具有可控性，攻克了本節(jié)教學難點，因此GeoGebra在智慧課堂教學環(huán)境下具有極大的推廣空間。

3.GeoGebra應用于智慧課堂需注意時間分配

相較于傳統(tǒng)教學，智慧課堂環(huán)境中不可控因素更多，比如硬件運行時間、學生操作的熟練程度等，所以課題選擇和教學設計都需預留部分時間。同時，正常授課中應著重展示GeoGebra的動態(tài)作圖效果，所以前期復雜的設置應留在課前完成，但學生需要具備簡單數學軟件操作能力，因此在高中選修課上可開設常用數學軟件教學課程，以拓寬學生視野，適應核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求。

隨著人工智能、大數據技術的飛速發(fā)展，智慧平臺的技術手段和教學資源日益完善，與此同時教學實踐的相關研究也在不斷深化，本文提出將GeoGebra融入智慧課堂，給廣大教師及研究者提供了一些教學參考，但如何將數學軟件更好地應用與智慧課堂上仍是值得我們研究的問題。

參考文獻：

[1]呂菲.基于智慧課堂模式下的高中數學教學[J].新課程（下），2019（10）.

[2]鮑克元.幾何畫板與GeoGebra在初中數學教學中的適用性比較研究[D].南京：南京師范大學，2018.

責任編輯：黃大燦