王　宏

摘要：概率統(tǒng)計所研究的對象是不確定的現(xiàn)象，通過對大量重復(fù)試驗所得到的數(shù)據(jù)分析找到其中的規(guī)律。這與中學(xué)教學(xué)其他知識有著很大的區(qū)別，對于初學(xué)概率的學(xué)生來說，會產(chǎn)生困擾，本文通過對學(xué)生在學(xué)習(xí)中的認(rèn)知規(guī)律及教師的教學(xué)策略進(jìn)行分析，對新課程標(biāo)準(zhǔn)下概率與統(tǒng)計教學(xué)進(jìn)行反思，從而提高教學(xué)質(zhì)量與效果。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；概率統(tǒng)計；教學(xué)策略

在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，學(xué)生的認(rèn)知層次主要局限于對具有因果關(guān)系的確定性事物的把握。對偶然性與必然性的了解還比較膚淺，僅僅停留在定性甚至是感性認(rèn)識的水平之上，而概率是揭示偶然世界規(guī)律性的科學(xué)，與中學(xué)數(shù)學(xué)其他知識不同的是它研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，通過對概率統(tǒng)計內(nèi)容的學(xué)習(xí)，掌握這種不確定性的思想，進(jìn)而達(dá)到對事物本質(zhì)的把握。

針對教學(xué)實踐中的問題我們認(rèn)為對教學(xué)策略和教學(xué)方式的選取等方面的研究是必要的。這樣有助于我們理清教學(xué)思路，熟悉有關(guān)方法技術(shù)，把數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與教學(xué)合理地組合成一個有機(jī)的系統(tǒng)，使得這方面的教學(xué)順暢自然，使學(xué)生更易于接受和理解。

從概率統(tǒng)計課程本身的特性來看，要采取合適的教學(xué)策略，才能保證學(xué)生正確理解相關(guān)的概念以及其中的思想方法。首先，要以試驗引路，通過對實際現(xiàn)象的分析討論。讓學(xué)生對大量偶然的現(xiàn)象中蘊(yùn)含著必然性有直觀的印象：其次，要引導(dǎo)學(xué)生分析試驗的意義，特別是它的模型作用。通過對相關(guān)試驗在各種情形下的分析思考，逐步達(dá)到對數(shù)據(jù)分析方法的初步理解：再次，要通過案例分析對概率統(tǒng)計中一些重要的數(shù)字特征的意義和它們之間的關(guān)聯(lián)、區(qū)別討論清楚。同時，對總體與樣本、頻率與概率之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用上的理解要給予清楚的分析：最后，要通過一些具體的應(yīng)用實例讓學(xué)生體會“用數(shù)據(jù)說話”、“以樣本估計總體”、“預(yù)測結(jié)果”的意義。

在實際教學(xué)中，學(xué)生還存在很多的問題，這些問題一方面反映了學(xué)生認(rèn)識概率過程中的障礙，另一方面也反映了教師在教學(xué)中存在著模糊不清的認(rèn)識。我們針對這些問題加以分析研究。

問題一：在第一節(jié)概率概念教學(xué)中，學(xué)生對隨機(jī)事件發(fā)生的可能性與必然性認(rèn)識模糊。例如：在拋擲硬幣試驗中，學(xué)生一方面能從感覺上認(rèn)為兩種結(jié)果出現(xiàn)是等可能的，另一方面也認(rèn)為實際試驗產(chǎn)生的結(jié)果必然應(yīng)該是各占一半。但實際試驗卻不是各占一半，學(xué)生開始懷疑試驗的準(zhǔn)確性以及概率的準(zhǔn)確性。再如：天氣預(yù)報中預(yù)報明天下雨的機(jī)會是90％，結(jié)果第二天沒下雨，一部分學(xué)生認(rèn)為預(yù)報不準(zhǔn)，因為按預(yù)報說應(yīng)該一定下雨。這些問題產(chǎn)生的原因都是學(xué)生對隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)理解不清，不了解試驗的結(jié)果是偶然的，而概率是我們通過大攝重復(fù)試驗的數(shù)據(jù)分析得到的必然結(jié)果。通過概率去預(yù)測偶然現(xiàn)象的發(fā)生，這種過程是可以不準(zhǔn)確的，可以出現(xiàn)偏差的。但這并不能妨礙我們?nèi)シ治鲭S機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律性。

為了澄清學(xué)生認(rèn)識上的錯誤，我們在拋擲硬幣前增加了分析的環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生思考為什么拋擲均勻硬幣結(jié)果各占一半，是不是拋兩次必然一正一反，如果不是，那各占一半說明的到底是什么?再如。家庭中生男孩女孩的機(jī)會各占多大，是不是家庭中的兩個孩子必然是一男一女?天氣預(yù)報下雨的機(jī)會是90％，第二天我們是否應(yīng)該帶傘?這些簡單而實際的問題有助于學(xué)生形成正確的概率思想，理解頻率與概率之間不確定性與確定性的辯證關(guān)系。

問題二：在學(xué)生具體操作拋擲硬幣試驗中，學(xué)生對試驗個體和試驗次數(shù)產(chǎn)生懷疑。我們是這樣設(shè)置試驗的：全班共50人，每名學(xué)生準(zhǔn)備lO枚相同的一元硬幣，同時拋擲一次，記下全班的結(jié)果，相當(dāng)于將一枚硬幣拋擲500次，然后統(tǒng)計正面向上的個數(shù)，這樣重復(fù)拋擲10次，得到10組數(shù)據(jù)，觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律。但在具體試驗中。學(xué)生有這樣困惑。教材拋擲硬幣試驗是拋擲一枚多次。還是拋擲多枚一次。他們之間有什么區(qū)別；拋擲多少次所反映的結(jié)果才算準(zhǔn)確，我們的試驗結(jié)果是否可靠?為什么教材給出的結(jié)果中拋擲24000次所得的0.5005要比拋擲72088次所得的0.5011更接近0.57這些問題產(chǎn)生是因為模型轉(zhuǎn)化的過程中，學(xué)生不明白什么樣的問題可以歸結(jié)為同一模型，什么樣的問題可以互相轉(zhuǎn)化，

從古典概率模型上來分析，由于硬幣之間的無差別，這就決定了可以將500枚硬幣拋擲1次與l枚硬幣拋擲500次轉(zhuǎn)化為同樣的背景、同一模型。這種模型處理的方式在概率試驗中，可以使試驗變得簡潔和易于操作，并且在處理具體問題中應(yīng)用也很廣泛。如，一個袋子黑球自球數(shù)目等同且無差別，從中摸取一個，可以轉(zhuǎn)化為硬幣試驗，正面向上相當(dāng)于摸到黑球，反面向上相當(dāng)于摸到白球。再如射擊中，擊中目標(biāo)與未能擊中目標(biāo)是等可能的。這也可以看作是拋擲硬幣，正面向上相當(dāng)于擊中，反面向上相當(dāng)于未能擊中。學(xué)生的另一個問題是對多數(shù)定律和中心極限定理的原理不清楚。我們所研究的現(xiàn)象，當(dāng)其大量重復(fù)之后才會有規(guī)律性。而其中的大量指的是無限次或接近無限次，重復(fù)大次數(shù)比重復(fù)小次數(shù)獲得的規(guī)律更可靠。教材中24000次試驗與72088次試驗同屬于大量重復(fù)試驗，沒有大的差別，都很好地反映了頻率在0.5附近波動的事實。同時在試驗中引導(dǎo)學(xué)生將自己的試驗結(jié)果與教材所給的蒲豐、皮爾遜、維尼的試驗結(jié)果對比，更進(jìn)一步地說明了重復(fù)次數(shù)多時規(guī)律的可靠性。

概率論是數(shù)學(xué)的一個非常有特色的分支，它的產(chǎn)生和發(fā)展過程都有著耐人尋味、引人入勝的情節(jié)。這就為激發(fā)學(xué)生認(rèn)知動因提供了良好環(huán)境和條件。因此教師只有把握好概率統(tǒng)計的教學(xué)策略才能為概率論這顆明珠再添光彩。