周曉東

對(duì)于二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，我們已做了深刻挖掘且對(duì)其結(jié)論也已銘記于心，而對(duì)于三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，我們卻知之甚少。由于三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)函數(shù)的載體，因而是我們高中數(shù)學(xué)教師必須研究的。

定理：任何一個(gè)三次函數(shù)的圖像都是中心對(duì)稱圖形。

證明：設(shè)三次函數(shù)為f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(-+x)+f(--x)=[a(-+x)3+b(-+x)2+c(-+x)+d]+[a(--x)3+b(--x)2+c(--x)=a(-)[(-+x)2-(-+x)(--x)+(--x)2]+b(+2x2)+c(-)+2d=2d-+。

即對(duì)任意x都有f(-+x)+f(--x)=2d-+，因而三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)關(guān)于點(diǎn)（-，d-+）對(duì)稱，因此任何一個(gè)三次函數(shù)的圖像都是中心對(duì)稱圖形。

由上面的證明不難看出：對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為函數(shù)f(x)二階導(dǎo)的零點(diǎn)，即：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f''''(x)=3ax2+2bc+c的導(dǎo)數(shù)6ax+2b的零點(diǎn)，故x=-；對(duì)稱中心的縱標(biāo)為函數(shù)值f(-)。如三次函數(shù)f(x)=2x3-3x2+2x-1的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)的求法：f''''(x)=6x2-6x+2，f''''(x)=6x2-6x+2的導(dǎo)數(shù)為f''''''''(x)=12x-6，由f''''''''(x)=0x=對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為f()=2×-3×+2×-1=-，故對(duì)稱中心為（，-）。

實(shí)際上，如果一個(gè)三次函數(shù)在R上不單調(diào)，那么它的函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)連接線段的中點(diǎn)。

推論：任何一個(gè)三次函數(shù)經(jīng)過平移變換都能變?yōu)槠婧瘮?shù)。

證明：設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，由定理知：圖像的對(duì)稱中心為（-，d-+)，則把原函數(shù)的圖像向左平移-個(gè)單位，向下平移(d-+)個(gè)單位（不妨設(shè)->0,d-+>0），若為負(fù)則向相反的方向平移，對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=a(x-)3+b(x-)2+c(x-)+d-(d-+)=ax3+(c-)x，顯然，g(x)=ax3+(c-)x(a≠0)是奇函數(shù)。

應(yīng)用1：已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+2x+1，a∈R，對(duì)x∈R都有f(a+x)+(a-x)為常數(shù)，則=a=___。

思路分析：由已知條件為常數(shù)可知：函數(shù)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為a.這就啟發(fā)我們?nèi)魏瘮?shù)的相關(guān)性質(zhì)：任何一個(gè)三次函數(shù)的圖像都是中心對(duì)稱圖形嗎？顯然是正確的。函數(shù)f(x)=x3-2x2+2x+1的導(dǎo)數(shù)為f''''(x)=3x2-4x+2，f''''(x)=3x2-4x+2的導(dǎo)數(shù)為f''''''''(x)=6x-4，由f''''''''(x)=0得x=，f()=()3-2×()2+2×+1=，所以，f(a+x)+f(a-x)=，a=。

在我們高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中用這個(gè)性質(zhì)可以編很多題目，如：已知函數(shù)f(x)=2x3-12x2+4x-1，若存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2，當(dāng)x1+x2=2a時(shí)，f(x1)+f(x2)為常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)為___。

思路點(diǎn)撥：這是一個(gè)三次函數(shù)的問題，自變量之和一定時(shí)函數(shù)值之和也一定，就是暗指這個(gè)函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形。因?yàn)槿螖?shù)數(shù)的圖像為中心對(duì)稱圖形，f''''(x)=6x2-24x+4，f''''''''(x)=12x-24，由f''''''''(x)=0得x=2，故a=2，f(a)=2×8-12×4+4×2-1=-25，故這個(gè)常數(shù)為-25。

其實(shí)針對(duì)三次函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)我們還可以編這樣一個(gè)題目：直線l過點(diǎn)(a，b)且斜率為k，點(diǎn)(a，b)在曲線C上，直線l與曲線C的另外兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)。問是否存在點(diǎn)(a，b)，對(duì)于無數(shù)個(gè)k都有f(x1)+f(x2)為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)(a，b)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

迷途點(diǎn)擊：若用傳統(tǒng)方法聯(lián)立方程組y-b=k(x-a)y=2x-12x+4x-1，顯然計(jì)算量太大，也無解題方向，無法求解。若換一種思維：存在無數(shù)個(gè)k都有f(x1)+f(x2)為常數(shù)，其實(shí)是說明這個(gè)函數(shù)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形。而三次函數(shù)正好具有這個(gè)性質(zhì)。由應(yīng)用二知：對(duì)稱中心為（2，-25）。

總之，只要我們理解了這個(gè)性質(zhì)，就能編出大量與此性質(zhì)有關(guān)的問題。

（徐州市九里中學(xué)）