摘要：隨機過程理論在各領(lǐng)域中有非常廣泛的應(yīng)用，但長久以來，隨機過程課程是一門理論性較強的專業(yè)基礎(chǔ)課程。針對該課程應(yīng)用廣泛、內(nèi)容抽象的特點，以馬爾可夫鏈的教學(xué)為例，運用案例教學(xué)法，增強學(xué)生解決問題能力，進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生對該課程的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新性和結(jié)合實際應(yīng)用的實踐性。

關(guān)鍵詞：隨機過程；馬爾可夫鏈；案例教學(xué)法

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）01-0077-03

隨機過程理論在工程技術(shù)、自然科學(xué)、經(jīng)濟、金融、生命科學(xué)等領(lǐng)域中有非常廣泛的應(yīng)用。廣東外語外貿(mào)大學(xué)自2006年成立應(yīng)用數(shù)學(xué)系以來，隨機過程課程就成為金融數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必修課。它是概率論與實變函數(shù)的后續(xù)課程，具有更加實用的應(yīng)用價值。馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€有著廣泛應(yīng)用的隨機過程模型，它對一個系統(tǒng)由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)的現(xiàn)狀提出了定量分析，許多經(jīng)濟和社會現(xiàn)象中的動態(tài)系統(tǒng)問題都可以采用馬爾可夫鏈來描述。由于隨機過程課程本身具有概念多、理論性強、內(nèi)容抽象等特點，在教學(xué)過程中出現(xiàn)了課時少而教學(xué)內(nèi)容多的矛盾，以往的教學(xué)是以板書為主，教學(xué)方式比較單一，理論聯(lián)系實際不夠，學(xué)生提出課程難度大、不好理解、不知如何應(yīng)用等問題，實例教學(xué)是解決這一問題的好方法。本文結(jié)合作者講授隨機過程課程的教學(xué)實踐，以馬爾可夫鏈為例，給出三個經(jīng)濟應(yīng)用實例，供教師授課時有選擇的參考和使用。

一、引言

馬爾可夫鏈?zhǔn)蔷哂旭R爾可夫性質(zhì)的離散時間隨機過程，應(yīng)用于水文、氣象、地震等預(yù)測研究領(lǐng)域，隨后又被運用到經(jīng)濟預(yù)測和經(jīng)濟決策等領(lǐng)域，應(yīng)用于研究市場、預(yù)測利潤等?，F(xiàn)在馬爾可夫分析已成為市場預(yù)測的有效工具，用來預(yù)測顧客的購買行為和商品的市場占有率等。定義1：考慮只取有限個值或可數(shù)個值的隨機過程{Xn，n=1，2，…}，把過程取可能值的全體稱為它的狀態(tài)空間，記為E。若不另外說明，這一集合將以非負(fù)整數(shù)集{0，1，2，…}來表示。若Xn=i，就說“過程在時刻n處于狀態(tài)i”。假設(shè)每當(dāng)過程處于狀態(tài)i，則在下一個時刻將處于狀態(tài)j的概率是固定的Pij。若對任意狀態(tài)i0，i1，…，in-1，i，j及任意的n≥0有P（Xn+1=j|Xn=i，Xn-1=in-1，…，X1=i1，X0=i0）=Pij，這樣的隨機過程稱為Markov鏈或馬爾可夫鏈或馬氏鏈。[1]定義2：Pij代表處于狀態(tài)i的過程于下一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。由于概率是非負(fù)的，且過程必須轉(zhuǎn)移到某個狀態(tài)，所以有Pij≥0，i，j≥0，■Pij=1，i=0，1，2…以P記一步轉(zhuǎn)移概率Pij的矩陣，從而：

定義3：在馬爾可夫鏈分析中，只要轉(zhuǎn)移概率矩陣保持不變，當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù)n不斷增大時，轉(zhuǎn)移概率矩陣P（n）的變化趨勢為：■P（n）=T，T稱為穩(wěn)定概率矩陣。此時，存在平穩(wěn)分布πi滿足：

πj=■πiPij，j∈E

下面結(jié)合具體實際例子來具體闡述馬爾可夫鏈在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用。

二、應(yīng)用舉例

例1：牛奶市場上主要有四個廠家，產(chǎn)品分別設(shè)為A，B，C，D。對2003年9月、10月、11月的市場調(diào)查取得關(guān)于消費者選擇的原始資料，每次調(diào)查樣本容量為n=1000。流動情況的調(diào)查可通過發(fā)放信息調(diào)查表來了解顧客以往的資料或?qū)淼馁徺I意向，也可從下一時期的訂貨單得出。將三組抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)分別作為第0，1，2期。利用上述方法，對市場情況進(jìn)行分析和預(yù)測。

（1）馬爾可夫性的說明[2]。從消費者對商品選擇的心理來看市場的馬爾可夫性是基本符合的。因為消費者選擇商品通常依據(jù)前一期各種可選擇的商品的評價，與再遠(yuǎn)期關(guān)系不大。

（2）轉(zhuǎn)移概率矩陣穩(wěn)定性的驗證[2]。用SPSS13.0將P1與P2兩轉(zhuǎn)移概率矩陣元素之間進(jìn)行配對樣本t檢驗，置信區(qū)間為95%，結(jié)果如下：

由于p=0.883＞α=0.05，故不能拒絕H0即不能否定P1與P2矩陣元素對應(yīng)相同的原假設(shè)，轉(zhuǎn)移概率矩陣具有穩(wěn)定性。

以最近的第2期市場占有率S（2）和轉(zhuǎn)移概率矩陣P2為起點預(yù)測下期各品牌的市場占有率：S（3）=S（2）P2，即

=（0.182，0.154，0.122，0.542）

設(shè)市場穩(wěn)定時的市場占有率為S=（S1，S2，S3，S4），則

根據(jù)矩陣運算可得：

再聯(lián)立S1+S2+S3+S4=1，解得S=（0.187，0.135，0.101，0.576）

此結(jié)果表明，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，A的市場占有率為18.7%，B的市場占有率13.5%，C的市場占有率為10.1%，D的市場占有率為57.6%。

例2：市場上出售的同類產(chǎn)品，由于質(zhì)量價格不同，以及售后服務(wù)，廣告宣傳的影響，商品的銷售狀態(tài)經(jīng)常會相互轉(zhuǎn)移，發(fā)生變化。如某公司產(chǎn)品，其銷售狀況經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)本月處于暢銷狀態(tài)時，下月仍處于暢銷狀態(tài)的概率為0.52，記P11=0.52，而由暢銷轉(zhuǎn)為平銷，滯銷的概率分別為：P12=0.36，P13=0.12；當(dāng)本月處于平銷，下月仍處于平銷的概率P22=0.44，而由平銷轉(zhuǎn)為暢銷、滯銷的概率分別為：P21=0.53，P23=0.03；當(dāng)本月處于滯銷，下月仍滯銷的概率P33=0.22，而由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷、平銷的概率分別為：P31=0.45，P32=0.22，將其銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況列成下表：

由表4，得到銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)馬爾可夫過程可知，不同時期的狀態(tài)概率由狀態(tài)向量?仔（i）表示，這：?仔（i）=?仔（i-1）P，P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，i=1，2，3…，n.

如上述公司產(chǎn)品，假設(shè)目前處于暢銷狀態(tài)則初始狀態(tài)向量?仔（0）=(1，0，0)，以后各月產(chǎn)品銷售狀態(tài)向量：

從表中計算值可以看出，該產(chǎn)品最初以0.52處于暢銷，0.36處于平銷，0.12處于滯銷，但預(yù)測以后第六個月銷售狀態(tài)轉(zhuǎn)移為；0.5173處于暢銷，0.3882處于平銷，0.0945處于滯銷，而隨著時間i的足夠大，只要狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不變，則狀態(tài)概率趨向于一個和初始狀態(tài)無關(guān)的值，并穩(wěn)定下來。

設(shè)預(yù)測最終銷售狀態(tài)π=（x1，x2，x3）（x1=暢銷，x2=平銷，x3=滯銷）

（x1，x2，x3）0.52 0.36 0.120.53 0.44 0.030.45 0.33 0.22=（x1，x2，x3）x1+x2+x3=1

解得：

x1=0.5173x2=0.3882x3=0.0945

即該產(chǎn)品最終約以51.73%的可能性處于暢銷，38.82%的可能性處于平銷，9.45%的可能性處于滯銷。由上述計算可知，該公司的產(chǎn)品無論最初處于什么狀態(tài)，經(jīng)過時間推移，最終以51.73%可能性超過平銷、滯銷，而處于暢銷狀態(tài)。因此，該公司的該產(chǎn)品擁有很好的前景。

例3：某企業(yè)的產(chǎn)品，將銷售狀態(tài)分為暢銷和滯銷兩種狀態(tài)，經(jīng)對市場調(diào)查得出，該產(chǎn)品的銷售轉(zhuǎn)移情況和企業(yè)利潤變動分別如表5，表6。

從表5可知：產(chǎn)品連續(xù)暢銷的概率為0.5，由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷概率為0.5；由滯銷轉(zhuǎn)為暢銷的概率為0.6，由滯銷轉(zhuǎn)為滯銷的概率為0.4。由表6可知：連續(xù)暢銷企業(yè)將獲利12萬元，由暢銷轉(zhuǎn)為滯銷獲利4萬元，以下類推。根據(jù)以上統(tǒng)計資料，計算各月期望利潤。[3-4]

設(shè)狀態(tài)1為暢銷，狀態(tài)2為滯銷，利潤變動矩陣

R=12 44 -9

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

P=0.5 0.50.6 0.4

則當(dāng)月期望利潤：

暢銷狀態(tài)下：0.5×12+0.5×4=8（萬元）

滯銷狀態(tài)下：0.6×4+0.4×（-9）=-1.2（萬元）

用列向量表示為：Ri（1）=（8，-1.2）T，i=1，2，3

第二個月的期望利潤：

PRi（1）=0.5 0.50.6 0.48-1.2=3.44.32

第三個月的期望利潤：

P2Ri（1）=0.5 0.50.6 0.43.44.32=3.863.768

三、結(jié)束語

以上給出了馬爾可夫鏈在經(jīng)濟生活中的三個應(yīng)用實例。除上述典型應(yīng)用實例外，應(yīng)該看到，隨著科技進(jìn)步和社會發(fā)展，隨機過程應(yīng)用在更廣泛的領(lǐng)域中。因此，帶給教師的任務(wù)不僅僅是要傳授隨機過程課程中的基本理論、基本方法和簡單的應(yīng)用實例，還要求教師在掌握應(yīng)用背景實例的前提下，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機過程的興趣，培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)理論知識去分析和解決實際問題的能力，只有這樣才能培養(yǎng)出更多的高質(zhì)量專業(yè)人才。

參考文獻(xiàn)：

[1]柳金甫，孫洪祥，王軍.應(yīng)用隨機過程[M].北京：清華大學(xué)出版社，北京交通大學(xué)出版社，2005：111-160.

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[3]夏莉.馬爾可夫鏈在市場經(jīng)濟預(yù)測中的應(yīng)用[J].預(yù)測，2000，（8）：88-90.

[4]張大衡.馬爾可夫鏈在企業(yè)經(jīng)濟預(yù)測上的應(yīng)用[J].青島建筑工程學(xué)院學(xué)報，2003，（3）：97-100.

作者簡介：王慧蕾（1978-），女，吉林省通化市人，廣東外語外貿(mào)大學(xué)任教，講師，碩士，研究方向為隨機過程應(yīng)用。