王曉寧 王維民

(中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖北 武漢 430056)

對(duì)于具有復(fù)雜形狀的橋梁，用體單元進(jìn)行有限元分析具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。在應(yīng)用有限元進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，預(yù)應(yīng)力孔道和鋼束對(duì)體單元?jiǎng)偠鹊挠绊懸话悴挥杩紤]或通過經(jīng)驗(yàn)得出，這必然會(huì)造成計(jì)算上的誤差。本文從有限元方法的基本原理入手，推導(dǎo)得到體單元的等效剛度的計(jì)算方法，該方法可以適應(yīng)各種不同形狀的預(yù)應(yīng)力鋼束，經(jīng)過算例檢驗(yàn)，該方法具有較高的精度。

1 混凝土和鋼束共同作用下單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算

在應(yīng)用有限元進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，預(yù)應(yīng)力孔道和鋼束對(duì)體單元?jiǎng)偠鹊挠绊懸话悴挥杩紤]，這樣就造成單元的計(jì)算剛度小于單元實(shí)際剛度?；炷翗?gòu)件在總體上是比較規(guī)則的，劃分為混凝土單元后，在單元各邊上的應(yīng)力應(yīng)變變化是比較均勻的，故可選用8結(jié)點(diǎn)六面體單元等參數(shù)單元，來計(jì)算考慮預(yù)應(yīng)力鋼束剛度影響的單元等效剛度。

1.1 基本單元特性

8結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元是一個(gè)直棱六面體，如圖1所示。在參考坐標(biāo)系下，這個(gè)六面體被變換為邊長(zhǎng)為2的正方體，參考坐標(biāo)系ξηζ的原點(diǎn)位于它的形心處。

圖1 等參變換示意圖

以下是坐標(biāo)變換模式和位移模式:

其中，n為結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，n=8時(shí)，是8結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元，它的形函數(shù)是:

其中，ξi，ηi，ζ為結(jié)點(diǎn)i的局部坐標(biāo)，對(duì)于角結(jié)點(diǎn)它們分別為1或 －1，即:

在上式中，右端的三項(xiàng)均是距離為2的平面方程。

1.2 考慮預(yù)應(yīng)力孔道和鋼束的單元(計(jì)算單元)剛度矩陣計(jì)算

1.2.1 單元特性分析

現(xiàn)在我們考慮在一個(gè)正六面體單元中間取出一個(gè)預(yù)應(yīng)力孔道后的新單元的計(jì)算方法。對(duì)于單元?jiǎng)偠染仃嘯K]e=∫V[B]T[D][B]dV，定義V1，V2和V3代表的體積如圖2所示。

圖2 含孔道的六面體單元

則單元?jiǎng)偠染仃?扣除預(yù)應(yīng)力孔道后)可表示為:

現(xiàn)在令:

其中，V1，V2，V3均為部分相對(duì)于 V1的剛度矩陣;B1，B2，B3為各部分的幾何矩陣;D1，D2，D3為各部分的彈性矩陣。

求得新的單元?jiǎng)偠染仃嚍?

用這種方法就可以計(jì)算出包含預(yù)應(yīng)力鋼束的六面體單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

1.2.2 V2，V3部分單元?jiǎng)偠染仃?/p>

由于鋼束材料具有均質(zhì)，各向同性的特點(diǎn)，通常情況下其斷面面積又是一定的，對(duì)其單元?jiǎng)偠鹊挠?jì)算可以適當(dāng)簡(jiǎn)化。

令μ∈[0，1]為孔道中心線上一點(diǎn)的弧長(zhǎng)參數(shù)，有:

應(yīng)用高斯積分進(jìn)行積分(這里用2點(diǎn)高斯積分)。

通過計(jì)算機(jī)方法可用上式計(jì)算出單元的剛度矩陣。

同理可以計(jì)算出預(yù)應(yīng)力鋼束部分的單元?jiǎng)偠染仃?，只是斷面面積A和彈性矩陣[D]不同，這里不再贅述。

2 計(jì)算方法的應(yīng)用與驗(yàn)證

2.1 實(shí)例

現(xiàn)在用一簡(jiǎn)單的預(yù)應(yīng)力懸臂梁具體實(shí)現(xiàn)這一計(jì)算方法，見圖3。

圖3 懸臂梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)澐质疽鈭D

xoy平面為固定端約束，尺寸為300 mm×600 mm×4 000 mm。經(jīng)過多次試驗(yàn)，確定將懸臂梁劃分為100 mm×100 mm×100 mm的正方體單元。根據(jù)上節(jié)計(jì)算公式可通過計(jì)算機(jī)方法計(jì)算出懸臂梁所有結(jié)點(diǎn)在各個(gè)方向上的位移。由于建立有限元模型是為了計(jì)算預(yù)應(yīng)力鋼束對(duì)混凝土單元?jiǎng)偠鹊挠绊懀栽谟?jì)算過程中沒有考慮結(jié)構(gòu)自重和預(yù)加應(yīng)力產(chǎn)生的撓度。在《橋規(guī)》里，用式(13)計(jì)算非開裂截面受彎構(gòu)件在正常使用極限狀態(tài)下的撓度:

用圖乘法得到計(jì)算構(gòu)件任意截面處的撓度為:

由此，可以計(jì)算出懸臂梁任意截面處的撓度。

2.2 計(jì)算結(jié)果和結(jié)論

1)兩種方法的比較。

為了檢驗(yàn)計(jì)算方法的正確性，把用有限元程序的計(jì)算方法與《橋規(guī)》的計(jì)算方法進(jìn)行一下對(duì)比，有限元解和《橋規(guī)》解的結(jié)果基本一致。

2)結(jié)論。

本文推導(dǎo)出了在六面體單元中考慮空間預(yù)應(yīng)力鋼束的等效剛度的計(jì)算方法，為運(yùn)用實(shí)體單元對(duì)具有復(fù)雜形狀幾何形狀的提供了一種可靠的方法。所用的計(jì)算方法精度較高，有明顯的應(yīng)用價(jià)值。

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[2] [德]P.L.Kattan.Matlab有限元分析與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社，2004.

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