姚振飛

摘 要： 解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，在教學過程中要注意對解析幾何最值問題進行方法策略探析，實現(xiàn)優(yōu)化解題的目的.一些解析幾何最值問題的典型例題，總結歸納其教學策略，為高中解析幾何最值問題提供常用的解答技巧與方法.

關鍵詞： 高中解析幾何 最值問題 教學策略

高中解析幾何最值問題是數(shù)學中的一大難題，它所涉及的知識點、概念眾多，且具有一定的綜合性.根據(jù)經(jīng)典的解析幾何最值問題的例題，總結歸納簡單的教學策略，能夠促進解析幾何問題的解決[1].

一、解析幾何最值問題概述

高中解析幾何中有關的最值問題，一般可以分成兩大類.一是幾何圖形中的夾角，距離，以及面積的最值；二是直線與圓錐或圓形曲線的幾何最值問題[2].這兩類解析幾何求最值的，雖然方向有所不同，但是同樣都以解析幾何的知識作為解題的載體，并且涉及函數(shù)、不等式、向量、數(shù)列等各種知識，包含的知識點也較多.對于高中數(shù)學課程及高考來說，是一個綜合類的難點與熱點，對于解析幾何最值問題的解決，一般要綜觀全局，從細微處入手解決，它雖然沒有固定的解題模式，但還是可以根據(jù)多種例題的分析歸納，總結出一些解決高中解析幾何最值問題的方法策略.

二、高中解析幾何最值問題的教學策略分析

1.利用曲線定義法教學策略解答

解析幾何教學解題經(jīng)驗表明，靈活利用概念定義進行解題，是一把萬能的金鑰匙.尤其是解決直線與圓錐或圓形曲線的幾何最值問題，利用曲線定義法更能達到事半功倍的效果.因為圓錐曲線定義明白的表述出動點與定直線、定點間距離不變的關系，巧妙利用這一關系，能夠迅速地找到最值問題的突破口徑.合理運用于實際的解析幾何最值問題中，快速直觀地解決圓錐曲線所涉及的最值問題.

例如典型的解析幾何最值例題，已知直線l■和l■，分別為4x-3y+11=0和x=-1，同時拋物線y■=4x上有一動點P，求它到直線l■和l■間的最小距離和.根據(jù)曲線定義法，我們可以快速地畫出該試題的示意簡，了解到動點P到l■的距離，可以由P點向l■作垂直線，與橫坐標相交于F點，其中PF的距離即為轉化為P到l■的距離，同時也可看出距離最小和，則轉化為求F到l■的距離，可以得出為d=■=3.

2.利用函數(shù)思想教學策略解答

在高中解析幾何最值問題的教學過程中，將合適的變量轉化為函數(shù)思想進行最值問題的解決是一個有效的策略.例如在2010年的福建高考題中，可以通過二次函數(shù)配方法快速解決解析幾何中的最值問題.

其題意為：若點O和點F為橢圓■+■=1的中心和左焦點，點P是橢圓上的任意點，求■·■的最大值.而對于該題，可以巧妙地利用函數(shù)思想進行解答.首先，通過題意可以知F（-1，0），假設點P（x■，y■），則可以得到算式■+■=1，將之變化為y■■=3（1-■）.同時因為■=（x■+1，y■），■=（x■，y■），所以■·■=x■（x■+1）+y■■=■·■=x■（x■+1）+3（1-■）=■+x■+3，該二次函數(shù)對應的拋物線對稱軸為x■=-2，可知-2≤x■≤2，因此當x■=2時，■·■的最大值為■+2+3=6.

同時，在高中解析幾何求最值的教學過程中，要注意四邊形面積公式S=■|AB||CD|sinθ的通用.這也是一種巧妙利用函數(shù)形式解決解析幾何最值問題的重要途徑.

3.利用基本不等式法教學策略解答

在高中解析幾何的最值問題求解中，當所體現(xiàn)的函數(shù)關系式滿足基本不等式使用的條件時，可以將其轉化為利用不等式方法來進行準確解答.在這一解題過程中，要掌握好配湊的技巧，結合“一正二定三相等”的原則，共同進行解析幾何的求最值.下面利用典型例題具體探究用不等式求解析幾何最值的解答方法.

已知橢圓E：■+■=1（a>3）的離心率e=■，直線x=t（t>0）與曲線E交于M，N兩個不同點，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C.問題：（1）求橢圓E的方程；（2）若圓C與y軸相交于不同兩點A，B，求三角形ABC的面積最大值.而對于該題可以采用不等式解析幾何求最值的方法進行解答，簡單明了地獲得最終答案.

對于問題1，從題面可知橢圓E：■+■=1（a>3）的離心率e=■，所以可得■=■，由此解答出a=2，也就能得出橢圓E的方程為■+■=1.而對于第二個問題，可以設圓心為C（t，0）（0

而根據(jù)上面已經(jīng)得到的半徑值，可以得出|AB|=2■=2■=■，從而算出三角形ABC的面積為：

S=■·t■=■×（■t）·■≤■×■=■，而且根據(jù)題意及不等式定義，當且僅當■t=■，即t=■時，等號成立，因此最后得到三角形ABC的面積最大值為■.

三、結語

以上從應用曲線定義法、函數(shù)思想轉變法和基本不等式法三個方面探討了高中解析幾何最值問題求解策略.除了這些方法外，解決解析幾何最值問題還可用截距法、向量法、平面幾何法、方程法等，為解析幾何最值教學策略提供了豐富的內(nèi)容及技巧.

參考文獻：

[1]呂宗銀.解析幾何中的最值問題[J].北京：高中數(shù)理化，2011（19）：6-8.

[2]陳彥琪.淺談如何有效地解決解析幾何中的最值問題[J].遼寧：中國數(shù)學教育，2010（4）：45-47.