周偉

[摘 要] 建模思想在中考數(shù)學中發(fā)揮著重要作用，只有充分掌握第一手資料，了解問題的實際背景知識，用精確的數(shù)學語言提煉、描述表達，然后建立數(shù)學模型，求解、驗證、分析，才能解決實際問題.

[關鍵詞] 問題情境；建立模型；解釋；應用；拓展

數(shù)學新課標指出：初中階段的數(shù)學教學應結合具體的數(shù)學內(nèi)容，采用“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開，讓學生經(jīng)歷知識的形成與應用過程，從而更好地理解和掌握數(shù)學知識. “數(shù)學建?！?，一是數(shù)學學習的要求，二是數(shù)學知識與技能的體現(xiàn)，是“應用—拓展”的前提，所以，初中數(shù)學教學應特別重視學生建模能力的培養(yǎng). 學生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，應注意把握逐級遞進、螺旋上升的原則，并貫穿學生的整個學習過程.

數(shù)學建模的過程

數(shù)學建模是運用數(shù)學的原理、方法、語言解決實際問題的過程，數(shù)學建模的過程主要包括4個環(huán)節(jié)：

（1）問題分析：了解問題的實際背景材料，分析并找出問題的本質(zhì).

（2）假設化簡：確定影響研究對象的主要因素，忽略次要因素，以便簡化問題，并進行數(shù)學描述和抓住問題的本質(zhì).

（3）建模求解：根據(jù)分析建立相應的數(shù)學模型，并用數(shù)學方法或計算機程序（軟件包）對模型進行求解.

（4）驗證修改：檢驗模型是否符合實際，并對它做出解釋，最后將它應用于實際生產(chǎn)、生活中，產(chǎn)生社會效益或經(jīng)濟效益.

需要注意的是，數(shù)學建模的問題往往不是一個單純的數(shù)學問題，它往往涉及其他學科知識以及生活知識. 數(shù)學建模的過程是一個多學科的合作過程，它促使學生融會貫通各門課程中學到的知識；促使學生根據(jù)需要查閱資料、獲取知識；促使學生圍繞問題收集信息，深化對問題的了解，并在此基礎上解決問題. 數(shù)學建模還可以培養(yǎng)學生推演、探索、猜想、計算，以及使用計算器、計算機等的能力.

建模解題的案例分析

數(shù)學模型大致可分為三種類型，其中的一種是應用型數(shù)學模型，它涉及面廣、數(shù)量眾多，對科學的發(fā)展起著直接的作用，既是數(shù)學轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的關鍵，又是數(shù)學本身發(fā)展的源泉. 構造這種模型需具有相當廣度和深度的數(shù)學修養(yǎng)，以及對實際問題的透徹認識. 應用型數(shù)學模型又可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)兩類. 屬于物理系統(tǒng)的數(shù)學模型如天體運行模型等，經(jīng)常見到，而屬于非物理系統(tǒng)的模型則如社會、經(jīng)濟、心理等問題.

數(shù)學建模的宣傳語是：數(shù)學無所不在、無所不能. 具備數(shù)學修養(yǎng)的學生會在現(xiàn)實生活中不斷地發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，并利用掌握的數(shù)學知識解決問題. 以下的實例就是一個典型的通過建立“數(shù)學模型”解決問題的典例.

例題？搖 一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31 km，現(xiàn)要求：在一邊長為30 km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這樣的轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市.

（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預設要求？

（2）至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些安裝點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預設要求？

答題要求：請在解答時畫出必要的示意圖，并用必要的計算推理和文字來說明你的理由.

分析？搖 抓住覆蓋建模. 覆蓋在這里指一個圓或多個圓對其他圖形不遺漏但可以重復地遮蓋住. 就（1）而言，可以設想把正方形平均分成4個面積相等的小正方形，如圖1所示，AE=15 km<31 km，所以4個點選在4個小正方形的中心即可；又想，如圖2所示，連結2條對角線，把正方形分成4個全等的等腰直角三角形，4個點選在直角三角形斜邊的中點（即正方形各邊中點）；由此想象生發(fā)開去，過正方形中心的2條相互垂直的直線可以把正方形的面積4等分，如圖3所示，A，B，C，D四點共圓，且點B到點C的距離不大于30 km，4個點選在每個任意小四邊形非直角頂點連線段的中點處，這樣就有無窮多個答案；還有一類，如圖4所示，把正方形的面積分成4個全等的小矩形，4個點選在矩形中心，理由是直徑為31 km的圓蓋住的長為30 km的矩形的最大寬為 km，×4>30.

對于（2），1個點不行，如圖5所示，理由是直徑為31 km的圓蓋住的長為30 km的矩形的最大寬為 km. 那2個點呢？也不行，如圖6所示，理由是直徑為31 km的2個相交圓蓋住的長為30 km的矩形的最大面積為（30×）×2. 那3個點呢？可以. 如圖7所示，先用直徑為31 km的1個圓蓋住30×的矩形，然后再把剩下的矩形分成2個近似正方形的矩形，3個點選在3個矩形的中心；由此想象生發(fā)開去，如圖8所示，使BE=DG=CG，3個點選在3個矩形的中心，設AE=x，則ED=30-x，DH=15. 由BE=DG得x2+302=152+（30-x）2，解得x=3.75，因為BE=< 31，所以此方法可實現(xiàn)預設要求. 由上可知，要實現(xiàn)預設要求，至少需要3個點.

點評 本題考查學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進而求解的能力，考查運用數(shù)形結合思想解決問題的意識和能力，側重于對過程性閱讀和探究能力的考查，讓學生經(jīng)歷問題理解、探究、發(fā)展的一般過程，獲得研究問題的方法，關注學生類比、猜想、拓廣的思維方法的形成過程，注重對學習方式的引導.

數(shù)學建?；顒訉τ趯W習解題方法具有積極作用. 在目前的數(shù)學教學中，由于應試的壓力，解題教學往往側重于“解”本身而不在于“學解”，也就是題海戰(zhàn)術. 對于大量的練習，學生學會了很多種類型題的解法，但一旦遇到新類型的題目，還是不會“解”，而這些會解的題目在今后的生活和工作中也基本無用. 所以解題教學的關鍵是“學解”，重“質(zhì)”而不是重“量”.

在數(shù)學建?；顒又?，由于現(xiàn)實的問題千變?nèi)f化，隨著時間的變化，會有不停的新問題出現(xiàn)，沒有人能夠把所有問題都總結下來，讓學生去練習，所以題海戰(zhàn)術此時就失效了，學生只能從數(shù)學建?；顒拥牡谝徊介_始，仔細分析問題（弄清問題），獨立思考并發(fā)揮創(chuàng)新思維建立模型（制訂計劃），使用合適的方法解答（執(zhí)行計劃），在驗證環(huán)節(jié)中，還必須對建立的模型和解答做進一步驗證和反思（回顧）. 這樣的過程會在無形中“逼迫”學生使用正確的解題方法.

良好的解題能力對于數(shù)學建模具有事半功倍的作用. 當你學會使用正確的解題方法，擁有組織良好、數(shù)量龐大的知識體系以及思維體系時，就能擁有良好的解題能力. 遇到現(xiàn)實問題建立模型時，也不需要處處都創(chuàng)新，畢竟前人的經(jīng)驗對我們來說成本低廉，且使用這些成本低廉的經(jīng)驗能起到事半功倍的效果.

數(shù)學建模解題的幾點要求

1. 理解實質(zhì)，注意變式. 要抓住模型的組成結構、性質(zhì)、特征，摒除本質(zhì)以外的東西，特別要抓住幾何中大量的基本定理、公式模型.

2. 加強比較，注重聯(lián)系. 模型之間有區(qū)別，條件圖形的絲毫改變都可能涉及模型的改變，有時，一個題目往往是多個模型的綜合運用，這就要求我們既狠抓基礎，又多練綜合題.

3. 歸納總結，提煉模型. 模型不只在書本上，更多的是我們在練習中歸納總結的. 對于平時練習中的重要結論、規(guī)律，要注意將其提煉成一個模型.

對中學數(shù)學建模的看法和意見

1. 數(shù)學建模作業(yè)的評價以創(chuàng)新性、現(xiàn)實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準，對建模的要求不可太高.

2. 數(shù)學建模問題難易應適中，千萬不要實施一些脫離中學生實際的建模教學，題目的難度以“跳一跳可以把果子摘下來”為度.

3. 建模教學應涉及高考應用題. 鑒于當前中學數(shù)學教學的實際，保持一定比例的高考應用問題是必要的，這樣有助于調(diào)動師生參與建模教學的積極性，促進中學數(shù)學建模教學的進一步發(fā)展.

4. 建議中學數(shù)學教師繼續(xù)開設“數(shù)學模型”課程，師范類高等院校專業(yè)有必要把“數(shù)學模型”列為必修課程. 中學教師只有通過對數(shù)學建模的系統(tǒng)學習和研究，才能準確地把握數(shù)學建模問題的深度和難度，以更好地推動中學數(shù)學建模的發(fā)展.

建立數(shù)學模型是數(shù)學知識與應用的橋梁，學習和研究數(shù)學模型對培養(yǎng)學生分析和解決實際問題的能力非常重要，亦是數(shù)學教學的主要目的之一，為此，在數(shù)學教學中要重視從實際問題中引出新概念、新知識，并注意培養(yǎng)學生敏銳的觀察力、豐富的想象力、創(chuàng)造性的思維能力，及抽象、分析、歸納、綜合的能力，使學生多方面、全方位地感受數(shù)學建模思想，了解數(shù)學建模的思維過程，逐漸理解和掌握數(shù)學建模的方法，以培養(yǎng)學生的學習興趣、創(chuàng)新意識和實踐能力.