董秀明

摘 要： 極限是微積分中最基本也是最重要的一個(gè)概念.微積分可以看成是圍繞極限而展開(kāi)的，例如研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性，無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性等.因此，作為微積分中的第一個(gè)重要概念，對(duì)它的透徹理解是相當(dāng)重要的.

關(guān)鍵詞： 微積分 數(shù)列 極限

1.極限在微積分中的重要性

極限的思想是微積分中最重要的思想.微積分的內(nèi)容可以分為：極限理論，連續(xù)，微分，積分，無(wú)窮級(jí)數(shù)，以及有關(guān)的應(yīng)用.其中，極限理論統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)微積分，是微積分的理論基礎(chǔ).連續(xù)、微分、積分在本質(zhì)上是不同形式的極限，無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性是由極限的存在與否進(jìn)行定義的.例如函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在該點(diǎn)函數(shù)值的增量與自變量增量的比值的極限；而定積分則是某種形式的和式的極限，其中的分割、近似代替、求和與去極限的思想能解決許多實(shí)際問(wèn)題，這些實(shí)際問(wèn)題在微積分出現(xiàn)之前是不可能得到完全解決的.因此，深刻理解極限的定義是至關(guān)重要的.然而，對(duì)于剛剛接觸極限的大一同學(xué)來(lái)說(shuō)，極限不同形式下的概念是很深?yuàn)W的，理解起來(lái)有很大難度.下面就簡(jiǎn)單地談?wù)剺O限理論中常見(jiàn)的數(shù)列極限的定義.

2.數(shù)列極限的直觀引入

3.關(guān)于定義的注釋和常見(jiàn)的理解錯(cuò)誤

另外，ε任意小的正數(shù)，且以小為貴，我們可以限定ε范圍為ε∈（0，1），此時(shí)可以取N=[lnε/ln|q|+1]；但是不能取ε∈[1/|q|，+∞）這樣的區(qū)間，因?yàn)棣拧?/|q取值不可能是很小的正數(shù)了.找到N以后，按照定義寫(xiě)出結(jié)論即可.

（3）正整數(shù)N是不唯一的，重要的是其存在性，如N取1000，則比1000大的任何正整數(shù)都可以作為N.N與ε有關(guān)，可以記為N（ε），說(shuō)明N對(duì)ε的依賴關(guān)系，但是不能認(rèn)為N是ε的函數(shù).

（4）一般來(lái)說(shuō)，可以要求ε越小，N越大，但N也可以不隨ε減小而增大.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡光興，李德宜.微積分（經(jīng)管類）（第二版）[M].科學(xué)出版社，2011.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].高等教育出版社，2007.