劉勤 何長林

摘 ?要：題海茫茫，卷帙浩繁. 對于某些疑難問題，看之如臨花照水，這時我們不妨巧借參數(shù)，就會發(fā)現(xiàn)解題似云卷云舒，并樂在其中. 這樣的例子很多，本文主要通過幾個例子來研究參數(shù)在解決疑難問題過程中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：參數(shù);運算;意義;變量;關(guān)系

巧借參數(shù)，便于運算，妙釋疑難

例1 ?已知x，y，z>0，且lgx+lgy+lgz=0，求x·y·z的值. （選自高三考試題）

解析：由lgx+lgy+lgz=0

？搖？搖？搖？搖？圯lg（xyz）=0

？搖？搖？搖？搖？圯xyz=1.

設(shè)x·y·z=t，？搖？搖？搖 ①

將①式兩邊同取以10為底的對數(shù)得

lgx·y·z=lgt

？圯lgx+lgy+lgz=lgt

？圯+lgx++lgy++lgz=lgt

？圯+++++=lgt

？圯logyx+logzx+logzy+logxy+logxz+logyz=lgt

？圯logy（xz）+logz（xy）+logx（yz）=lgt.？搖②

由xyz=1得到xz=，xy=，yz=，代入②得到

logy+logz+logx=lgt

？圯（-1）+（-1）+（-1）=lgt

？圯lgt=-3=lg10-3

？圯t=10-3=，

即x·y·z=t=.

點評：本題化簡x·y·z較為復雜，我們通過引入?yún)?shù)t，將式子x·y·z設(shè)為t，，將題目中要求的值轉(zhuǎn)化為求t的值，而等式x·y·z=t是較為容易化簡的，只需將等式兩邊同取對數(shù)，容易算出t=10-3=，于是得到結(jié)果. 本題通過巧借參數(shù)t使式子x·y·z便于運算.

巧借參數(shù)，利用意義，妙釋疑難

例2 ?如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于（2，1）時，的坐標為___________.（2012山東高考（文）16）

圖1

解析：如圖1所示設(shè)Q（2，1），Q在x軸的射影為B，設(shè)PB弧長為l，過點Q且平行與x軸的直線QM交圓Q右側(cè)于M點，設(shè) ∠PQM=θ，此時圓Q：（x-2）2+（y-1）2=1.

由題意知 l=OB=2，則∠PQB==2，

則∠PQM=θ=-2，對于圓Q：（x-2）2+（y-1）2=1上點P（x，y），

由圓的參數(shù)方程的幾何意義知

？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖x=2+cosθ，y=1+sinθ，

即x=2+cos-2=2-sin2，y=1+sin-2=1-cos2，

所以=（2-sin2，1-cos2）.

點評：本題先利用弧長公式得到∠PQB==2，再由圓的參數(shù)方程的幾何意義知圓Q上點P（x，y）滿足x=2+cosθ，y=1+sinθ， ①將θ的值代入①化簡即可求出P的坐標，進而可以求出的坐標，因此解決本題的關(guān)鍵是巧借參數(shù)θ，利用參數(shù)θ的幾何意義解題.

巧借參數(shù)，減少變量，妙釋疑難

例3 ?已知P（x，y）是橢圓+=1上的點，求x+y的取值范圍. （選自高三考試題）

解析：本題采用三角換元

令x=3cosθ，y=sinθ，

則x+y=3cosθ+sinθ=·sinθ+=2sinθ+∈[-2，2]

點評：本題通過三角換元的方法巧借參數(shù)θ，于是我們將含兩個變量x和y的式子x+y變?yōu)楹粋€變量θ的式子3cosθ+sinθ，從而減少未知量的個數(shù)，使式子便于處理.

巧借參數(shù)，方可運算，妙釋疑難

例4 ?已知圓C：x2+y2=9，點A（-5，0），直線l：x-2y=0. 在直線OA上（O為坐標原點），存在定點B（不同于點A），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點B的坐標. （江蘇模擬考試）

解析：設(shè)P（3cosθ，3sinθ），B（x0，0），

設(shè)=λ，

則？坌θ∈R，

=λ成立

？圯？坌θ∈R，

=λ成立

？圯？坌θ∈R，9-6x0cosθ+x=30λcosθ+34λ成立

？圯？坌θ∈R，（30λ+6x0）cosθ+34λ-x-9=0成立

？圯30λ+6x0=0，34λ-x-9=0，

？圯x0=-5，λ=1，（不合題意，舍去）或x0=-，λ=，

所以B的坐標為-，0.

點評：本題得到為一常數(shù)，為了讓上式可以運算下去，我們通過引入?yún)?shù)λ，構(gòu)造一個恒等式，從而求出B的坐標. 因此本題是通過巧借參數(shù)，讓題目可以運算下去.

巧借參數(shù)，得到關(guān)系，妙釋疑難

例5 ?已知橢圓+=1以及點D（2，1），過D任意引直線l交橢圓與A，B兩點，求線段AB中點M的軌跡方程. （選自高三考試題）

解析：由題意設(shè)點M（x，y），

（1）當l的斜率存在時，設(shè)經(jīng)過點D（2，1）的直線l的方程為：

y-1=k（x-2），

即y=kx+1-2k.

將y=kx+1-2k與+=1聯(lián)立，

？搖？搖 +=1，y=kx+1-2k，

？圯+=1

？圯+=1

？圯+x2+x+-1=0

？圯x==-？搖

？圯x=-？搖 ①（此時x表示點M（x，y）的橫坐標）.

又點M（x，y）在直線l：y-1=k（x-2）上，

所以k=，？搖？搖 ②

將②代入①，

得

x=-

？圯4x+9x=-9+18

？圯4x+9+9（x-2）=0

？圯4x+9+9=0

？圯4x（x-2）+9（y-1）+9（y-1）2=0

？圯4（x2-2x）+9（y2-y）=0

？圯4（x-1）2+9y-=

？圯+=（x≠2）.

③

（2）當l的斜率不存在時M（2，0）在③上，符合題意.

綜合（1）（2）知線段AB中點M的軌跡方程為+=.

點評：本題要求線段AB中點M的軌跡方程，因此設(shè)出點M（x，y），尋找x與y的關(guān)系即可.

我們通過巧借l的斜率k來聯(lián)系x與y，消去k即可得到x與y的關(guān)系.