裴黎黎 鄭玉霞 李文銘

摘 要：基于2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷中一道幾何證明題得分率低的情況，筆者研究這道試題，發(fā)現(xiàn)題目難度并不大，關(guān)鍵在于輔助線的作法與部分簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用. 本文通過巧妙改變輔助線的作法，給出了八種簡(jiǎn)單證明方法，對(duì)教師競(jìng)賽培訓(xùn)和學(xué)生學(xué)習(xí)有一定的幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽；幾何證明；輔助線作法；一題多解

試題來源

陜西省數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)命制的2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試卷解答題第三題，題目如下：

如圖1，圓O1與圓O2相交于P，Q兩點(diǎn)，且圓O2經(jīng)過圓心O1. A是圓O1的優(yōu)弧上任一點(diǎn)，AP，AQ的延長(zhǎng)線與圓O2分別交于點(diǎn)B，C，求證：O1為△ABC的垂心.

圖1

證法呈現(xiàn)

證法1：如圖2，連結(jié)PQ，O1O2，O1P，O1Q，O1B，則PQ⊥O1O2，因?yàn)椤螧AC=∠PO1Q=∠PO1O2，∠ABO1=∠PQO1=∠QPO1. 所以∠BAC+∠ABO1=∠PO1O1+∠QPO1=90°，則BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1為△ABC的垂心.

以上是參考答案給出的證明方法，下面我們給出幾種其他證明方法：

證法2：如圖3，連結(jié)O1O2并延長(zhǎng)交⊙O2于點(diǎn)R，連結(jié)BR，PO1，BO1，在⊙O2中，因?yàn)锽，P，O1，R四點(diǎn)共圓，所以∠PBR+∠PO1O2=180°. 在⊙O1中，因?yàn)椤螧AC=∠PO1Q=∠PO1O2，

所以∠PBR+∠BAC=180°，則有BR∥AC. 又因?yàn)镺1R為⊙O2的直徑，所以BO1⊥BR，從而有BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1為△ABC的垂心.？搖

證法3：如圖4，連結(jié)O1O2并延長(zhǎng)交⊙O2于點(diǎn)R，連結(jié)QR，PO1，BO1，QO1，在⊙O2中，因?yàn)镻O1=QO1，所以∠PBO1=∠QRO1. 因?yàn)镺1R為⊙O2的直徑，所以∠O1QR=90°. 在⊙O1中，因?yàn)镻Q⊥O1O2，PO1=QO1，所以∠BAC=∠PO1Q=∠QO1R，則∠BAC+∠PBO1=∠QO1R+∠QRO1=90°，即BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1為△ABC的垂心.

圖4

證法4：如圖5，連結(jié)AO1，QO1，PQ，在⊙O2中，因?yàn)锽，P，Q，C四點(diǎn)共圓，所以∠APQ=∠BCA. 在⊙O1中，有∠O1AQ=∠O1QA. 又因?yàn)椤螦O1Q=2∠APQ，則有2∠BCA+2∠O1AQ=2∠APQ+∠O1AQ+∠O1QA=180°，從而得到∠BCA+∠O1AQ=90°，即AO1⊥BC，同理CO1⊥AB. 故O1為△ABC的垂心.

圖5

證法5：如圖6，連結(jié)PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)D，連結(jié)AD，PQ，CO1，在⊙O2中，有∠O1PQ=∠O1CQ，在⊙O1中，有∠O1PQ=∠DAQ，所以∠O1CQ=∠DAQ，從而有AD∥CO1. 又因?yàn)镻D為⊙O1的直徑，所以AD⊥AB，所以CO1⊥AB，同理BO1⊥AC. 故O1為△ABC的垂心.

圖6

證法6：如圖7，連結(jié)AO1并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)D，連結(jié)PD，PQ，在⊙O2中，因?yàn)锽，P，Q，C四點(diǎn)共圓，所以∠PQA=∠ABC. 在⊙O1中，有∠PQA=∠PDA，所以∠ABC=∠PDA. 又因?yàn)锳D為⊙O1的直徑，所以∠PDA+∠PAO1=90°，則有∠ABC+∠PAO1=90°，即AO1⊥BC，同理CO1⊥AB. 故O1為△ABC的垂心.

證法7：如圖8，連結(jié)QO2并延長(zhǎng)交⊙O2于點(diǎn)R，連結(jié)PR，O1R，PO1，BO1，QO1，在⊙O1中，有∠PAQ=∠PO1Q，在⊙O2中，因?yàn)镼O1=PO1，所以∠QRO1=∠PRO1=∠PBO1=∠PRQ. 又因?yàn)镻，O1，Q，R四點(diǎn)共圓，？搖所以∠PO1Q+∠PRQ=180°，？搖？搖則∠PAQ+∠PBO1=90°，即BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1為△ABC的垂心.

圖8

證法8：如圖9，連結(jié)PO1，QO1，CO1，O1O2，QO2，則PQ⊥O1O2，在⊙O1中，有∠PO1Q=2∠PAQ=2∠O2O1Q. 在⊙O2中，有∠O1O2Q=2∠O1CQ，因?yàn)镺1O2=QO2，所以∠O2O1Q=∠O2QO1，又∠O1O2Q+∠O2O1Q+∠O2QO1=180°，所以∠PAQ+∠O1CQ=∠O2O1Q+∠O1O2Q=90°，即CO1⊥AB，同理BO1⊥AC. 故O1為△ABC的垂心.

圖9

結(jié)語

數(shù)學(xué)解題研究，有助于縮短青年教師成長(zhǎng)周期. 筆者對(duì)一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題進(jìn)行了多種證明，也是變式教學(xué)的形式之一，即做到一題多解，旨在交流學(xué)習(xí)，共同提高.