楊紅云

【摘要】 概念教學大致可分為四步：引入—形成—鞏固—深化. 為了重視概念教學，夯實數學基礎，本文就這四步中要注意的問題進行研究. 提出概念的引入要遵循人的認識規(guī)律；形成要淡化形式，注重實質；鞏固要突出概念的本質屬性；深化要廓清數學問題的條件與結論，分清概念的外延和內涵.

【關鍵詞】 概念教學；非標準變式；概念的外延和內涵

概念是反映事物本質屬性的思維方式，數學概念恰是研究邏輯形式與數理關系的精髓，它具有高度的抽象性和特殊的功能. 數學概念是數學教材結構的最基本的因素，正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提，學生如果不能正確地理解數學中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定理，也就不能應用所學知識去解決一些實際的問題. 因此數學概念的教學是提高數學教學質量的關鍵. 但是在實際學習中由于學生受年齡、生活經驗、智力、心理發(fā)展規(guī)律等因素的影響出現(xiàn)了很多問題：學生死記硬背，機械記憶，但靈活地理解與運用比較困難. 概念教學中如果沒有促使學生的知識內化，就會導致學生對概念形成片面的認知. 其次，教師處理概念無科學性類比，輕易補充或者以練習代理解，脫離實際，造成教學上的被動. 為了重視概念教學，夯實數學基礎，本文針對概念教學中的問題提出以下觀點.

一、數學概念的引入要遵循人的認識規(guī)律

新課程標準指出：抽象數學概念的教學，要關注概念實際背景與概念的形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式. 初中生正處于由形象思維向抽象思維發(fā)展的階段，抽象思維能力較差. 因此，教師在概念教學時，不能直截了當地就定義而講定義，應更多地從概念的產生和發(fā)展過程中為學生提供思維情境，讓他們積極參與整個概念的形成過程，讓他們通過觀察、比較、概括，由特殊到一般，由具體到抽象，這樣不僅能幫助學生理解和掌握新概念，而且也使他們的抽象思維得到發(fā)展.

概念形成實際上可以概括為兩個階段：從完整的表象歸納為抽象的規(guī)定；使抽象的規(guī)定在思維過程中導致具體再現(xiàn). 數學概念比常識概念更抽象，但公理化的組織內容的方法，又往往是定義在先，實例在后. 從心理本質上講，數學概念學習中，以自發(fā)性概念為基礎，以實例為出發(fā)點，讓學生從實例中得到啟發(fā)，上升到思維的歸納.

例如在“合并同類項”教學實例引入中，南師大易曉明博士舉出了一個例子就比較好：早上父親吩咐兒子去買早點，爸爸要吃兩個包子、一根油條和一杯豆?jié){；媽媽要一個包子、一根油條和一杯豆?jié){；兒子自己只想吃三個包子、一杯豆?jié){. 兒子會怎樣去買？這個實例設計合理，緊扣課題，背景簡明，前后有呼應，社會實踐性比較高，容易使學生接受并且印象深刻，無矯揉造作感.

在我們的教科書上還有一些概念的引入就是采用定義的方法. 比如絕對值的概念，它的定義是“一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零”. 用式子表示為

|a| = a a > 0，0 a = 0，-a a < 0.

這個定義同時給出了運算法則. 一些教師也常常以這個定義來教. 而學生在求絕對值時經常出錯，此時老師認為學生還未熟悉運算法則. 而實質上，學生掌握這個概念有困難，可能是由于這個概念的獲得過程與常識概念的形成過程次序相反而造成的. 這種相反的次序，就是Freudenthal（1995）所說的“違反教學法的顛倒”. 他指出概念學習不應以概念獲得為目的，不應該為教概念而將概念具體化，而應先有具體化的材料、實例，再有概念的定義. 總之，數學概念的教學應當遵循人的一般認識規(guī)律，從表象到規(guī)定，即從具體到抽象，而不是走相反的路.

二、數學概念的形成要淡化形式，注重實質

概念分為自發(fā)性概念和科學概念，“自發(fā)”就是指沒有人刻意教的，有時學生自己也解釋不清楚的. 科學概念則是定義明確的、精細的、有一定邏輯意義和體系屬性的概念. 數學概念屬于科學概念. 自發(fā)性概念的形成就像我們學習母語那樣產生于自然發(fā)生的環(huán)境中. 概念的形成大多需要學生用已經熟悉的實例來直觀地形成新概念，教師不是教定義. 比如學生說不定是從奧運五環(huán)中知道“圓”的，但不了解到定點的距離等于定長的點的集合就是圓了；比如知道“羊有四條腿，但四條腿的不一定是羊”，但不需要掌握必要條件，充分條件的概念；學生知道鈍角三角形鈍角邊上的高在三角形的外部，但他們往往會畫錯. 這些自發(fā)性概念的不足之處正是我們關注的問題. 研究學生自己的概念將會讓我們更好地理解他們考慮問題的方法和理由. 遵循學生最近發(fā)展區(qū)原理，對照數學概念，確實幫助學生從自發(fā)性概念中去粗取精，去偽存真，數學概念的掌握效果就會更好.

西南師大陳重穆先生（1993）提出“淡化形式，注重實質”的觀點，數學概念的嚴格化形式淡化以后就能使學生比較容易地與自發(fā)性概念銜接起來. 這樣數學概念的實質就容易被學生接受. 再比如，在求根時，不少學生會出現(xiàn)如下錯誤解答：■ = -x + 3或者是■ = 3 - x. 學生為什么只在x前加上負號呢？數學概念都具有二重性. 因為他們實際上沒有把（x + 3）當作一個對象，即x與3的和這個整體，而是當作兩個對象x與3的加法運算過程. 于是學生只分別考慮對象值不能為負的條件，在x前加上一個負號，似乎就保證了開方后為正值，卻丟棄了x + 3作為整體對象的意義. 針對教學實際情景的需要，我們要淡化數學概念的二重性，靈活地改變認識的角度，就把二次根式里的對象看作一個整體，抓住這個本質，這樣學生操作起來就方便，還不容易出錯.

三、數學概念的鞏固要通過非標準變式，突出概念的本質屬性，加強學生理解和靈活應用概念的能力

如對于“垂直于弦的直徑”，教師不僅應給出常見的標準圖形，如圖1，還應對圖形作適當變式（圖2和圖3），把握概念的本質屬性，為學習相關定理打下良好的基礎. 這個概念能否準確理解，直接關系到對相關定理的掌握，因此教師在教這部分概念時，應以圖形為依據，把這些概念融合到同一圖形中，分析它們之間的關系并通過圖形變式揭示概念的本質屬性. 對比是變式的一種形式，可利用圖形變式，將相近概念進行對比.

又例如“同弧所對的圓心角與圓周角”的比較，可以引導學生得出以下三種形式（如圖4）.

還有一個案例：圖5是數軸嗎？為什么？

百分之九十的同學回答不是數軸，甚至在數學教學一線的部分老師們也認為不是數軸，并且態(tài)度很堅決. 因為依據長期教學的“經驗”及教材上的明文“規(guī)定”. 大家?guī)缀醵颊页隽私滩闹械囊痪湓挘骸耙?guī)定直線上原點向右的方向為正方向”，這一規(guī)定決定了他們教學的思想. 抓住了教材中的一句話不放，忽視概念的本質，豈不是舍本逐末嗎？這個實例告訴我們教師不能照本宣科，死扣教材，受教材束縛. 教材怎么寫就怎么教是行不通的，要加強學生理解和靈活運用概念的能力. 在教學過程中，受到感性經驗或“先入為主”的影響，從而在腦海中具有一些“標準”形式，那么通過“非標準”變式可以突出概念本質. 《易經》里說“窮則變，變則通，通則久”，也是這個道理.

四、數學概念的深化要廓清數學問題的條件與結論，分清概念的外延和內涵

隨著學生知識面的擴大和邏輯思維能力的發(fā)展，教師對學生已經形成的概念要不斷地深化，弄清概念的內涵和外延. 有些概念學生一開始可能僅僅會背誦概念的定義，能辨認概念的外延，但對概念的本質屬性卻不了解；學生有時會忽略概念的隱含條件，這樣解題時往往出錯. 這些情況學生都沒有真正理解概念. 在教學過程中，學生對數學概念的條件與結論沒有太深的理解與揣摩，我們可以用反例教學. 比如在講圓的切線的定義時，我們可以舉一反三：“垂直于半徑的直線是圓的切線嗎？”在得到菱形的對角線互相垂直平分的性質時，我們可以反問“對角線互相垂直的四邊形是菱形嗎？”再比如“兩個頂角為100度的等腰三角形相似”我們可以追問“頂角為50度的等腰三角形都相似嗎？”“所有的等腰三角形都相似嗎？”從而得出概念的本質屬性. 這樣學生以后碰到類似的題目就不會出錯了. 又如在學習“三角形的高”這一概念時，可以為學生提供一些在形狀（銳角、直角、鈍角三角形）、位置等方面有變化的不同三角形的例證，讓學生通過對這幾種典型變式的思維加工，抽象概括出“三角形的高”的定義. 同時我們也可以舉出反例讓學生準確把握“三角形的高”的概念的本質屬性. 比如：圖6和圖7中的AD是△ABC的高嗎？為什么？

通過對變式習題的辨析，使學生在實際應用中進一步把握概念的本質屬性. 通過錯例分析，進一步明確“三角形的高”的本質屬性.

總之，準確的目標定位是有效教學的前提，教材上的概念只不過很多隱去了其形成的思維過程，數學概念的教學是數學基礎知識教學的核心，教師價值的判斷和學生思維活動的過程在概念教學中尤為重要，其核心還是思想和方法的挖掘，內涵在于理性和文化. 重視概念教學，夯實學生的數學基礎，提升數學能力迫在眉睫.

【參考文獻】

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