戴幼芬

【摘要】 在“圓的面積”教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、試驗、驗證、抽象概括等學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生在知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展的過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)學(xué)課堂魅力.

【關(guān)鍵詞】 活動經(jīng)驗；轉(zhuǎn)化思想；極限思想；策略多樣化

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中. ”“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要標(biāo)志. ”因此，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想應(yīng)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo). 基于此認識，在“圓的面積”教學(xué)這一課中，我以此為理論支撐，注重豐富學(xué)生的活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，實現(xiàn)以下思維導(dǎo)向.

一、在知識的生長點上尋求延伸點，滲透轉(zhuǎn)化思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動，逐步感悟數(shù)學(xué)思想. 而數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性強、邏輯嚴密的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識之間相互聯(lián)系，教材的編排緊扣知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)螺旋上長. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗、認知結(jié)構(gòu)進行的一種主動建構(gòu)的過程，每一個新的教學(xué)內(nèi)容都有其相應(yīng)的學(xué)習(xí)起點. 在“圓的面積”教學(xué)中，找準(zhǔn)新課的起始點，把握知識的生長點，擅用“四兩撥千斤”之巧，可在知識的延伸處滲透轉(zhuǎn)化思想.

教學(xué)回放1：把圓轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？

師：我們以前學(xué)平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式時是用什么方法推導(dǎo)出來的？

生：通過剪一剪、拼一拼的辦法，把新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形再計算面積.

師：那么圓可轉(zhuǎn)化為哪一個學(xué)過的圖形呢？

生：猜測可以剪成長方形、正方形、三角形、梯形.

師：各個小組用事先準(zhǔn)備的圓剪一剪、拼一拼，試試看！可以選擇把圓轉(zhuǎn)化成你所喜歡的學(xué)過的平面圖形長方形、平行四邊形、梯形、三角形.

師：課堂巡視中發(fā)現(xiàn)有同學(xué)沿著半徑把圓剪開，馬上抓住機會，展示該同學(xué)的作品，追問他并引發(fā)其他同學(xué)思考：為什么把圓沿著半徑剪呢？

學(xué)生：以前轉(zhuǎn)化圖形經(jīng)常沿高剪開，圓找不到高就試著沿半徑剪開.

師：這種思路給了我們很大的啟發(fā)！其他同學(xué)也可以學(xué)著試一試、剪一剪、拼一拼，也許有新的發(fā)現(xiàn)在等著我們.

明朝學(xué)者陳獻章說：“學(xué)貴質(zhì)疑，小疑則小進，大疑則大進. 疑者，覺悟之機也. ”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識是條明線，清楚記載于教材中，而數(shù)學(xué)思想方法是條暗線，隱含在教材深處，貫穿于知識與技能形成的過程中. 注重知識的結(jié)構(gòu)體系，挖掘教材的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注知識的“生長點”與“延伸點”，數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程才能簡潔高效，數(shù)學(xué)思想方法的滲透才能“潤物無聲”. 在這一環(huán)節(jié)教學(xué)中，我巧設(shè)思維火點，通過喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，啟發(fā)嘗試利用平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式的推導(dǎo)方法學(xué)習(xí)圓面積，讓學(xué)生欲罷不能，非探個究竟不可，激起學(xué)生用舊知探索新知的興趣，嘗試用轉(zhuǎn)化思想方法解決問題.

二、在知識生成的延伸點上，感悟極限思想

先秦諸子《莊子·天下篇》著作中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”已有極限思想的萌芽；《九章算術(shù)》中魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，“割之彌細，所失彌少，割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣”.則是把極限思想和極限概念運用于解決實際問題中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)深刻的內(nèi)涵. 而小學(xué)生受其年齡特征的限制，對具體的、有限的事物容易理解接受，而對于抽象的、數(shù)量無限的事物難于理解. 因此在圓的面積教學(xué)中，要幫助學(xué)生理解極限的內(nèi)涵，需要教師善于把握教材的特點，挖掘教材深處隱含的本質(zhì)，在知識生成的延伸點上，引導(dǎo)學(xué)生感悟極限思想.

教學(xué)回放2：拼成的圖形滿意嗎？

師：按照這種思路拼成的近似平行四邊形你們都很滿意嗎？

生：不滿意，邊太彎了.

師：那么有沒有什么辦法讓它的邊變得更直呢？

生：再多剪幾份.

師：意思是說，把圓分得更多份，是嗎？

師：如果剪的份數(shù)越多，猜一猜，會出現(xiàn)什么情況？

生：邊就會越來越直.

師：是像我們猜想的這樣嗎？借助大屏幕驗證一下.

（課件演示：4等份、8等份、16等份、32等份所拼成的近似平行四邊形）

師：觀察這四種分法，比較一下，同樣大小的圓平均分的份數(shù)不同，拼出來的圖形有什么變化？

生：平均分的份數(shù)越多，邊就越直.

師：如果繼續(xù)往下分，會出現(xiàn)什么情況？

生：繼續(xù)往下分，圖形的邊會越來越直，拼成后圖形的面積會越來越接近圓的面積. （課件相應(yīng)出現(xiàn)省略號，造成學(xué)生的視覺沖突，想象無限分割的情景）

教學(xué)過程中，把圓由4等份至32等份，使學(xué)生在觀察比較中直觀感受“化曲為直”“化圓為方”的過程. 從“分的份數(shù)越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的慢慢變成了長方形”就是收斂的結(jié)果. 使學(xué)生經(jīng)歷了從無限到極限的過程，體驗知識產(chǎn)生、形成的過程，積累活動經(jīng)驗，并通過省略號引導(dǎo)學(xué)生觀察，在有限分割的基礎(chǔ)上想象它們的極限狀態(tài)，感受無限逼近的極限思想，由此發(fā)展學(xué)生的形象思維、抽象思維、邏輯思維.

三、在實踐操作中，體驗解決問題方法的多樣化

新課標(biāo)理念倡導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法. 本課從“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)問題，大膽猜想，實踐操作，使學(xué)生在剪一剪、拼一拼的學(xué)習(xí)活動中，經(jīng)歷把圓面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的長方形、平行四邊形、梯形、三角形的面積，從中感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“殊途同歸”之奧妙所在，體會解決問題方法的多樣化.

教學(xué)回放3：圓的面積計算有別的推導(dǎo)方法嗎？

師：圓的面積計算有別的推導(dǎo)方法嗎？

（展示學(xué)生拼成的圖形，借助多媒體課件，匯總各種推導(dǎo)方法）

課件演示：

第一種方法：16等份圓拼成近似成長方形.

① 拼成的圖形是長方形嗎？（是近似的長方形，因為它的上下兩條邊不是線段）

② 圓和近似的長方形有什么關(guān)系？（形狀變了，面積相等）

③ 近似長方形的長相當(dāng)于圓的哪一部分？怎樣用字母表示？圓周長的一半， = πr，它的寬是圓的哪一部分？（半徑r）④ 你能推導(dǎo)出圓的面積計算公式嗎？

師生共同整理：（板書）

第二種方法：16等份圓拼成近似平行四邊形.（匯報過程略）

第三種方法：16等份圓拼成近似等腰梯形.

梯形的面積 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2

第四種方法：16等份圓拼成近似等腰三角形.

三角形的面積 = 底 × 高 ÷ 2

師：如果把圓無限等分下去，用n表示份數(shù)，那么利用三角形面積推導(dǎo)圓的面積還能成立嗎？（借助課件，引導(dǎo)學(xué)生驗證）

師：當(dāng)把圓平均分成n個三角形，每個三角形的面積即 × r ÷ 2，則n個三角形的面積就是圓的面積.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動是學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動. 教學(xué)中應(yīng)跳出認知技能的框框，不把基本知識的獲得當(dāng)成唯一目標(biāo)，而應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在自主體驗中實現(xiàn)發(fā)展性的領(lǐng)域目標(biāo). 通過引導(dǎo)把圓拼成學(xué)過的不同圖形，并找出轉(zhuǎn)化后的圖形與圓的面積的關(guān)系，在觀察、猜想、操作、驗證等數(shù)學(xué)活動中，讓學(xué)生體會解決問題方法的多樣化，豐富學(xué)生實踐活動經(jīng)驗，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之奧妙所在.

總之，一個數(shù)學(xué)思想的形成要需要經(jīng)歷一個從模糊到清晰、從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中通過提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過程逐步形成，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，積累了一定的活動經(jīng)驗，才能逐步悟出數(shù)學(xué)知識、技能中蘊含的數(shù)學(xué)思想.

【參考文獻】

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.第45，46頁.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.解讀版，第270頁.