施雯

直線交圓錐曲線就會在曲線內(nèi)形成弦，在曲線上產(chǎn)生兩個交點。這一弦，兩點就構(gòu)成了命題的基礎(chǔ)元素：有弦可以涉及到弦長，有點必要研究坐標。若再和其他的一些特殊點結(jié)合在一起，形成一些特殊關(guān)系，題型就會進一步復雜化，對學生分析問題，解決問題的能力層次要求較高，運算能力要求強。學生在解答時，往往表現(xiàn)為無從下手或者半途而廢。

結(jié)合多年的教學實踐，筆者認為解決直線與圓錐曲線的問題可以采用以下策略：

一、通觀全局，局部入手，找準切入點解析幾何是用代數(shù)的方法來研究幾何問題的一門學科，因此正確，精準地找出題目中所蘊含的幾何特征是解決這類問題的先決條件。高三第一輪復習時，我都會問學生同一個問題：“在直線與圓錐曲線的相交問題中，關(guān)鍵的幾何特征是什么？”每次得到的回答幾乎是驚人的一致：“直線與曲線有兩個交點唄！”我笑而不答，卻出示了下列這一題組。

已知過點 的直線 與橢圓 交于兩點

設A ，若 ，求直線 的斜率

B是橢圓的右頂點，且 的角平分線是 軸，求直線 的斜率

以線段 為鄰邊做平行四邊形 ，其中頂點 在橢圓 上， 為坐標原點，求 到直線 距離的最小值

若以 為直徑的圓過原點，求直線 的斜率

點 為直線 與該橢圓在第一象限的交點，平行于 的直線 交橢圓于 兩點，求證：直線 與 軸始終圍成一個等腰三角形

該例題以直線 與橢圓交于兩點作為公共條件，但在此條件下，卻展現(xiàn)了五種不同的問題情境。讀完此題組，同學們頓悟：直線 與橢圓交于兩點只是這一類問題的背景，而直線或交點與一些特殊點結(jié)合在一起，繼而形成的那些特殊關(guān)系才是問題所要呈現(xiàn)的真正的幾何特征。將其表述出來，即為

（1） （2） 的角平分線是 軸（3）以線段 為鄰邊做平行四邊形 ，其中頂點 在橢圓 上（4）以 為直徑的圓過原點（5）直線 與 軸始終圍成一個等腰三角形，這樣的閱讀，尋找和表述，使同學們通觀全局將直線 及其兩個交點納入題目整體的范圍；又將它們和其他關(guān)鍵要素進行整合，局部入手，找尋在相交背景之下，每一題所呈現(xiàn)出的特殊幾何特征。為成功解決問題找準了切入點。

二、、由表及里，把握本質(zhì)，適當轉(zhuǎn)化

不少學生在找到了幾何特征后，都迫不及待地要將該幾何特征轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系了。但當他們用代數(shù)關(guān)系表示出第（1）小題的幾何特征后，卻一籌莫展了。究其原因，是由于學生直接從 入手，想用兩點間距離公式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于斜率 的方程。聯(lián)立方程后所得的交點坐標為 ， 。此時。很多學生都停下了筆，因為他們已經(jīng)從 的值上預見了此方程的復雜性，覺得自己沒有能力再解到底了

從學生的解法中可以看出，使他們半途而廢的癥結(jié)所在，是直接將幾何條件 用代數(shù)關(guān)系來表示。事實上要將有關(guān)交點坐標的等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于斜率 的方程，不外乎兩條路：其一是將直線方程代入二次曲線方程，消元，得到關(guān)于 的一元二次方程，然后利用求根公式求解，此法計算量較大 ；其二是構(gòu)造交點坐標的對稱關(guān)系式，雖然也要代入，消元，得到一元二次方程，但可利用韋達定理整體代換 ，無需利用求根公式求解，因此運算量要比“法一”低。

解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時的局部勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏看不清問題的實質(zhì)所在。就像例題中的條件“ ”就只是浮在問題表面的幾何特征而絕非本質(zhì)特征。因此要想明確該題究竟是利用 “途徑一”還是“途徑二”解決，就必須由表及里，分析出幾何條件的本質(zhì)特征。為了幫助學生明確這一點，筆者設計了如下表格請學生填寫：

幾何條件 本質(zhì)特征 轉(zhuǎn)化成適當?shù)拇鷶?shù)關(guān)系

通過表格中的三步轉(zhuǎn)化，學生看出，雖然還沒有開始解題，但對于利用途徑一還是途徑二去解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)。提高了“從現(xiàn)象到本質(zhì)，抓住事物的本質(zhì)認識事物”的解題意識。

三、先想后算，適度求解，邁向成功

不少學生在掌握了如何將“幾何條件代數(shù)化”的方法后，紛紛來找我訴苦：“為什么目標近在咫尺，我們卻總是處于看得見，摸不到，總解不到底的尷尬境地？”筆者結(jié)合生活實際，和學生分析：圍繞目標先想后算，周密計劃，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里。

為了讓學生強化先想后算的解題意識，筆者讓學生練習了以下一個例題：

例2：設直線 過點 和橢圓 順次交于 兩點，若 試求 的取值范圍

分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到： ，圍繞此目標先想后算，計劃好求取值范圍的兩條路線：路線一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。路線二是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系。

從路線一入手：設出直線方程 ，與橢圓方程聯(lián)立。解之得： ，由對稱性：不妨設 ，

解完此題，很多學生都由衷地發(fā)出感嘆，若沒有下筆前的計劃部署，他們絕大多數(shù)拿到這個問題后的第一想法就是按照線路一去解，這樣的想法似乎很順暢，但對運算的要求比較高，一般的學生沒有這個能力解到底。若采用路線2，構(gòu)造對稱式，有韋達定理轉(zhuǎn)由不等式求范圍，就可避免上一種解法的繁瑣運算。

以上策略的應用，正是幫助學生不再被動的接受題目信息，而是主動地有選擇，有序的將陌生信息，通過自身的知識經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成所熟識的內(nèi)容，使學生享受到成功的喜悅。