周鳴

摘 要： 本文通過具體事例說明了分類討論思想在近些年本省中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 分類討論 中考數(shù)學(xué) 運(yùn)用

在數(shù)學(xué)中常常需要根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)，對(duì)各種不同的情況予以分析，這就是分類討論.由于分類討論題覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，考查方式多樣，具有較高的邏輯性和綜合性，因此在這幾年的中考試題尤其是解答題中經(jīng)常用到這種方法.可以說，只要是有一定難度的試題，一般就會(huì)用到分類討論的思想.然而，一些學(xué)生在用分類思想解題時(shí)，卻常常出現(xiàn)因考慮不周而失分的現(xiàn)象，因此在平時(shí)教與學(xué)的過程中，尤其在中考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)分類討論思想要進(jìn)行多方面的滲透，提高學(xué)生全面分析問題的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

任何分類討論方法都可以分為四個(gè)步驟：（1）確定分類對(duì)象.（2）進(jìn)行合理分類.（3）逐類討論，分級(jí)進(jìn)行.（4）歸納并作出結(jié)論.現(xiàn)從本省近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中舉例說明分類討論思想在解題時(shí)的具體應(yīng)用.

一、根據(jù)相關(guān)政策法律和方案進(jìn)行分類

例1：（2013·徐州）為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識(shí)，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對(duì)市區(qū)民用管道天然氣價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價(jià)，調(diào)整后的收費(fèi)價(jià)格如下表所示：

（1）若甲用戶3月份的用氣量為60m■，則應(yīng)繳費(fèi)？搖 ？搖元；

（2）若調(diào)價(jià)后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y（元），每月的用氣量為x（m■），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若乙用戶2、3月份共用氣175m■（3月份用氣量低于2月份用氣量），共繳費(fèi)455元，乙用戶2、3月份的用氣量各是多少？

分析：（1）根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費(fèi)用；

（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再?gòu)?≤x≤75，75125運(yùn)用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）設(shè)乙用戶2月份用氣xm■，則3月份用氣（175﹣x）m■，分3種情況：x>125，175﹣x≤75時(shí)，75

由于我國(guó)正處于經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，為了解決改革中出現(xiàn)的各種問題，國(guó)家相繼制定了相關(guān)法規(guī)和政策，其中不乏與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有密切關(guān)系的.為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，此類問題是近些年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.如例1中的天然氣收費(fèi)問題，2012年淮安卷25題的階梯電價(jià)問題和2011年無錫卷28題的個(gè)人所得說的征收問題，解決這些問題的關(guān)鍵是要求考生運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)相關(guān)政策在不同階段的不同規(guī)定，求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)題目具體要求代入數(shù)據(jù)或列出方程求出正確結(jié)果.

二、按對(duì)應(yīng)關(guān)系的不確定性進(jìn)行分類

例2：（2012·揚(yáng)州）已知拋物線y=ax■+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：①M(fèi)A=AC，②MA=MC，③AC=MC.可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面三種情況列式求解.

此類問題的解決方法一般是按照題目中的條件或結(jié)論得出一些特殊幾何圖形，然后根據(jù)這些特殊圖形所具備的各種不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類，最后根據(jù)分類結(jié)果，依據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)定理如勾股定理、對(duì)應(yīng)邊相等或成比例，列出方程或函數(shù)關(guān)系式.由于此類問題易于考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性，近幾年的中考中屢見不鮮.如例2中和2013年無錫卷26題的根據(jù)等腰三角形的腰的不確定性進(jìn)行分類，2012年徐州卷27題和2013年蘇州卷28題中△DOE與△ABC相似中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不確定性進(jìn)行分類.

三、按照不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分類

例3：（2011·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t/秒（t>0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是？搖 ？搖；當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是？搖 ？搖.

（2）當(dāng)0

（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，可得EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長(zhǎng)；當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4；

（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形，可分三段分別解答：

①當(dāng)0

②依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

解決此類問題一般從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等相關(guān)知識(shí)，抓住運(yùn)動(dòng)圖的一些基本特征，在不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形進(jìn)行分類討論，然后利用相似、面積公式和三角函數(shù)等知識(shí)求出關(guān)于時(shí)間t對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式.由于運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)動(dòng)元素的多樣性，近些年此類問題的試題呈現(xiàn)一些新的特點(diǎn)，如本例中和2013年連云港卷26題的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，2012年淮安卷27題矩形旋轉(zhuǎn)問題，2011年鹽城卷28題動(dòng)直線與圓的位置關(guān)系問題，雖然題目形式變化多樣，但應(yīng)用上述方法一般都可解決此類問題.

四、由參數(shù)的變化引起的分類討論

例4：（2011·南京）已知函數(shù)y=mx■-6x+1（m是常數(shù)），⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；⑵若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

分析：（1）由于二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1，故x=0時(shí)，y=1得證.

（2）考慮一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況，m=0函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，m≠0函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的要求，對(duì)應(yīng)的一元二次方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式等于0.

求解某些含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，因此不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.如本文例4中的由于參數(shù)m的不確定性，需對(duì)函數(shù)類型進(jìn)行分類討論.根據(jù)數(shù)學(xué)中參數(shù)存在的形式不同，分類方法也不同.如2012年泰州卷28題，利用參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)滿足條件進(jìn)行分類；2012年鎮(zhèn)江卷27題中先求出由t決定再生二次函數(shù)，然后根據(jù)再生二次函數(shù)經(jīng)過的不同點(diǎn)進(jìn)行分類，求出相應(yīng)t的值.

總之，當(dāng)涉及的數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜，難于按照統(tǒng)一的方式方法加以解決時(shí)，需要把待解決問題劃分為若干方面加以解決，最后得到問題的全部解決.分類討論思想在中考試題中的應(yīng)用很廣泛，需要學(xué)生在平時(shí)解題時(shí)仔細(xì)體會(huì).

參考文獻(xiàn)：

[1]鈕必伍.考試，2009（11）.

[2]張洪斌.科技信息（科學(xué)·教研），2009（8）.

[3]鄭春安.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2010（3）.

[4]薛清華.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（6）.

摘 要： 本文通過具體事例說明了分類討論思想在近些年本省中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 分類討論 中考數(shù)學(xué) 運(yùn)用

在數(shù)學(xué)中常常需要根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)，對(duì)各種不同的情況予以分析，這就是分類討論.由于分類討論題覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，考查方式多樣，具有較高的邏輯性和綜合性，因此在這幾年的中考試題尤其是解答題中經(jīng)常用到這種方法.可以說，只要是有一定難度的試題，一般就會(huì)用到分類討論的思想.然而，一些學(xué)生在用分類思想解題時(shí)，卻常常出現(xiàn)因考慮不周而失分的現(xiàn)象，因此在平時(shí)教與學(xué)的過程中，尤其在中考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)分類討論思想要進(jìn)行多方面的滲透，提高學(xué)生全面分析問題的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

任何分類討論方法都可以分為四個(gè)步驟：（1）確定分類對(duì)象.（2）進(jìn)行合理分類.（3）逐類討論，分級(jí)進(jìn)行.（4）歸納并作出結(jié)論.現(xiàn)從本省近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中舉例說明分類討論思想在解題時(shí)的具體應(yīng)用.

一、根據(jù)相關(guān)政策法律和方案進(jìn)行分類

例1：（2013·徐州）為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識(shí)，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對(duì)市區(qū)民用管道天然氣價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價(jià)，調(diào)整后的收費(fèi)價(jià)格如下表所示：

（1）若甲用戶3月份的用氣量為60m■，則應(yīng)繳費(fèi)？搖 ？搖元；

（2）若調(diào)價(jià)后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y（元），每月的用氣量為x（m■），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若乙用戶2、3月份共用氣175m■（3月份用氣量低于2月份用氣量），共繳費(fèi)455元，乙用戶2、3月份的用氣量各是多少？

分析：（1）根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費(fèi)用；

（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再?gòu)?≤x≤75，75125運(yùn)用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）設(shè)乙用戶2月份用氣xm■，則3月份用氣（175﹣x）m■，分3種情況：x>125，175﹣x≤75時(shí)，75

由于我國(guó)正處于經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，為了解決改革中出現(xiàn)的各種問題，國(guó)家相繼制定了相關(guān)法規(guī)和政策，其中不乏與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有密切關(guān)系的.為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，此類問題是近些年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.如例1中的天然氣收費(fèi)問題，2012年淮安卷25題的階梯電價(jià)問題和2011年無錫卷28題的個(gè)人所得說的征收問題，解決這些問題的關(guān)鍵是要求考生運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)相關(guān)政策在不同階段的不同規(guī)定，求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)題目具體要求代入數(shù)據(jù)或列出方程求出正確結(jié)果.

二、按對(duì)應(yīng)關(guān)系的不確定性進(jìn)行分類

例2：（2012·揚(yáng)州）已知拋物線y=ax■+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：①M(fèi)A=AC，②MA=MC，③AC=MC.可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面三種情況列式求解.

此類問題的解決方法一般是按照題目中的條件或結(jié)論得出一些特殊幾何圖形，然后根據(jù)這些特殊圖形所具備的各種不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類，最后根據(jù)分類結(jié)果，依據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)定理如勾股定理、對(duì)應(yīng)邊相等或成比例，列出方程或函數(shù)關(guān)系式.由于此類問題易于考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性，近幾年的中考中屢見不鮮.如例2中和2013年無錫卷26題的根據(jù)等腰三角形的腰的不確定性進(jìn)行分類，2012年徐州卷27題和2013年蘇州卷28題中△DOE與△ABC相似中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不確定性進(jìn)行分類.

三、按照不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分類

例3：（2011·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t/秒（t>0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是？搖 ？搖；當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是？搖 ？搖.

（2）當(dāng)0

（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，可得EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長(zhǎng)；當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4；

（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形，可分三段分別解答：

①當(dāng)0

②依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

解決此類問題一般從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等相關(guān)知識(shí)，抓住運(yùn)動(dòng)圖的一些基本特征，在不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形進(jìn)行分類討論，然后利用相似、面積公式和三角函數(shù)等知識(shí)求出關(guān)于時(shí)間t對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式.由于運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)動(dòng)元素的多樣性，近些年此類問題的試題呈現(xiàn)一些新的特點(diǎn)，如本例中和2013年連云港卷26題的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，2012年淮安卷27題矩形旋轉(zhuǎn)問題，2011年鹽城卷28題動(dòng)直線與圓的位置關(guān)系問題，雖然題目形式變化多樣，但應(yīng)用上述方法一般都可解決此類問題.

四、由參數(shù)的變化引起的分類討論

例4：（2011·南京）已知函數(shù)y=mx■-6x+1（m是常數(shù)），⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；⑵若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

分析：（1）由于二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1，故x=0時(shí)，y=1得證.

（2）考慮一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況，m=0函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，m≠0函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的要求，對(duì)應(yīng)的一元二次方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式等于0.

求解某些含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，因此不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.如本文例4中的由于參數(shù)m的不確定性，需對(duì)函數(shù)類型進(jìn)行分類討論.根據(jù)數(shù)學(xué)中參數(shù)存在的形式不同，分類方法也不同.如2012年泰州卷28題，利用參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)滿足條件進(jìn)行分類；2012年鎮(zhèn)江卷27題中先求出由t決定再生二次函數(shù)，然后根據(jù)再生二次函數(shù)經(jīng)過的不同點(diǎn)進(jìn)行分類，求出相應(yīng)t的值.

總之，當(dāng)涉及的數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜，難于按照統(tǒng)一的方式方法加以解決時(shí)，需要把待解決問題劃分為若干方面加以解決，最后得到問題的全部解決.分類討論思想在中考試題中的應(yīng)用很廣泛，需要學(xué)生在平時(shí)解題時(shí)仔細(xì)體會(huì).

參考文獻(xiàn)：

[1]鈕必伍.考試，2009（11）.

[2]張洪斌.科技信息（科學(xué)·教研），2009（8）.

[3]鄭春安.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2010（3）.

[4]薛清華.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（6）.

摘 要： 本文通過具體事例說明了分類討論思想在近些年本省中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 分類討論 中考數(shù)學(xué) 運(yùn)用

在數(shù)學(xué)中常常需要根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)，對(duì)各種不同的情況予以分析，這就是分類討論.由于分類討論題覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，考查方式多樣，具有較高的邏輯性和綜合性，因此在這幾年的中考試題尤其是解答題中經(jīng)常用到這種方法.可以說，只要是有一定難度的試題，一般就會(huì)用到分類討論的思想.然而，一些學(xué)生在用分類思想解題時(shí)，卻常常出現(xiàn)因考慮不周而失分的現(xiàn)象，因此在平時(shí)教與學(xué)的過程中，尤其在中考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)分類討論思想要進(jìn)行多方面的滲透，提高學(xué)生全面分析問題的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).

任何分類討論方法都可以分為四個(gè)步驟：（1）確定分類對(duì)象.（2）進(jìn)行合理分類.（3）逐類討論，分級(jí)進(jìn)行.（4）歸納并作出結(jié)論.現(xiàn)從本省近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中舉例說明分類討論思想在解題時(shí)的具體應(yīng)用.

一、根據(jù)相關(guān)政策法律和方案進(jìn)行分類

例1：（2013·徐州）為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識(shí)，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對(duì)市區(qū)民用管道天然氣價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價(jià)，調(diào)整后的收費(fèi)價(jià)格如下表所示：

（1）若甲用戶3月份的用氣量為60m■，則應(yīng)繳費(fèi)？搖 ？搖元；

（2）若調(diào)價(jià)后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y（元），每月的用氣量為x（m■），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若乙用戶2、3月份共用氣175m■（3月份用氣量低于2月份用氣量），共繳費(fèi)455元，乙用戶2、3月份的用氣量各是多少？

分析：（1）根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費(fèi)用；

（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再?gòu)?≤x≤75，75125運(yùn)用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）設(shè)乙用戶2月份用氣xm■，則3月份用氣（175﹣x）m■，分3種情況：x>125，175﹣x≤75時(shí)，75

由于我國(guó)正處于經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，為了解決改革中出現(xiàn)的各種問題，國(guó)家相繼制定了相關(guān)法規(guī)和政策，其中不乏與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有密切關(guān)系的.為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，此類問題是近些年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.如例1中的天然氣收費(fèi)問題，2012年淮安卷25題的階梯電價(jià)問題和2011年無錫卷28題的個(gè)人所得說的征收問題，解決這些問題的關(guān)鍵是要求考生運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)相關(guān)政策在不同階段的不同規(guī)定，求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)題目具體要求代入數(shù)據(jù)或列出方程求出正確結(jié)果.

二、按對(duì)應(yīng)關(guān)系的不確定性進(jìn)行分類

例2：（2012·揚(yáng)州）已知拋物線y=ax■+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況討論：①M(fèi)A=AC，②MA=MC，③AC=MC.可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面三種情況列式求解.

此類問題的解決方法一般是按照題目中的條件或結(jié)論得出一些特殊幾何圖形，然后根據(jù)這些特殊圖形所具備的各種不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分類，最后根據(jù)分類結(jié)果，依據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)定理如勾股定理、對(duì)應(yīng)邊相等或成比例，列出方程或函數(shù)關(guān)系式.由于此類問題易于考查學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性，近幾年的中考中屢見不鮮.如例2中和2013年無錫卷26題的根據(jù)等腰三角形的腰的不確定性進(jìn)行分類，2012年徐州卷27題和2013年蘇州卷28題中△DOE與△ABC相似中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不確定性進(jìn)行分類.

三、按照不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分類

例3：（2011·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè).設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t/秒（t>0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是？搖 ？搖；當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是？搖 ？搖.

（2）當(dāng)0

（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

分析：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，可得EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長(zhǎng)；當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4；

（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形，可分三段分別解答：

①當(dāng)0

②依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

解決此類問題一般從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等相關(guān)知識(shí)，抓住運(yùn)動(dòng)圖的一些基本特征，在不同位置構(gòu)造出不同的幾何圖形進(jìn)行分類討論，然后利用相似、面積公式和三角函數(shù)等知識(shí)求出關(guān)于時(shí)間t對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式.由于運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)動(dòng)元素的多樣性，近些年此類問題的試題呈現(xiàn)一些新的特點(diǎn)，如本例中和2013年連云港卷26題的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，2012年淮安卷27題矩形旋轉(zhuǎn)問題，2011年鹽城卷28題動(dòng)直線與圓的位置關(guān)系問題，雖然題目形式變化多樣，但應(yīng)用上述方法一般都可解決此類問題.

四、由參數(shù)的變化引起的分類討論

例4：（2011·南京）已知函數(shù)y=mx■-6x+1（m是常數(shù)），⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；⑵若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

分析：（1）由于二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1，故x=0時(shí)，y=1得證.

（2）考慮一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況，m=0函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，m≠0函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的要求，對(duì)應(yīng)的一元二次方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式等于0.

求解某些含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，因此不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.如本文例4中的由于參數(shù)m的不確定性，需對(duì)函數(shù)類型進(jìn)行分類討論.根據(jù)數(shù)學(xué)中參數(shù)存在的形式不同，分類方法也不同.如2012年泰州卷28題，利用參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)滿足條件進(jìn)行分類；2012年鎮(zhèn)江卷27題中先求出由t決定再生二次函數(shù)，然后根據(jù)再生二次函數(shù)經(jīng)過的不同點(diǎn)進(jìn)行分類，求出相應(yīng)t的值.

總之，當(dāng)涉及的數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜，難于按照統(tǒng)一的方式方法加以解決時(shí)，需要把待解決問題劃分為若干方面加以解決，最后得到問題的全部解決.分類討論思想在中考試題中的應(yīng)用很廣泛，需要學(xué)生在平時(shí)解題時(shí)仔細(xì)體會(huì).

參考文獻(xiàn)：

[1]鈕必伍.考試，2009（11）.

[2]張洪斌.科技信息（科學(xué)·教研），2009（8）.

[3]鄭春安.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2010（3）.

[4]薛清華.四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（6）.