楊榮領(lǐng)+++李鑫宜+++黃紫欣+++冼秋華+++湛家麗

摘 要：本文對(duì)微積分在經(jīng)濟(jì)和管理學(xué)院專業(yè)的應(yīng)用研究，從微分和積分兩個(gè)主要方面進(jìn)行探索，具體介紹這兩個(gè)部分在經(jīng)濟(jì)和管理專業(yè)的代表例題，重點(diǎn)在它們的相互結(jié)合之上。

關(guān)鍵詞：微分；極限；積分

一、引言

隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理研究的不斷深入，經(jīng)濟(jì)和管理的量化分析已經(jīng)成為了經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)研究中的主要手段，這與微積分在經(jīng)濟(jì)和管理中的廣泛應(yīng)用密不可分。

在微分中，極限是最基本的概念。微積分中大量的其他基本概念都是用極限的概念來表達(dá)的。如導(dǎo)數(shù)和定積分都是建立在極限的概念之上。其中應(yīng)用到彈性函數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學(xué)概念。

二、 微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1.邊際概念與極限思想

在表述經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和公共政策的關(guān)系時(shí)，假設(shè)一個(gè)政府，實(shí)施一個(gè)提高國(guó)民儲(chǔ)蓄率的政策——隨著一國(guó)儲(chǔ)蓄的增加，用于生產(chǎn)消費(fèi)品的資源少了，而更多的資源用于生產(chǎn)資本品。在下圖1中表明在所有其他決定產(chǎn)量的因素不變的情況下，每個(gè)工人的資本量如何決定每個(gè)工人的產(chǎn)量。

圖1 生產(chǎn)函數(shù)

由于收益遞減，儲(chǔ)蓄率的增加所引起的高增長(zhǎng)只是暫時(shí)的。隨著高儲(chǔ)蓄率使積累的資本更多，從增加的資本中得到的收益一直在減少，因此增長(zhǎng)放慢。在長(zhǎng)期中，高儲(chǔ)蓄率引起高水平的生產(chǎn)率和收入，但是在這些變量中沒有高增長(zhǎng)。然而，達(dá)到這種長(zhǎng)期可能需要相當(dāng)一段時(shí)間。根據(jù)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)國(guó)際數(shù)據(jù)的研究，提高儲(chǔ)蓄率可以在幾十年內(nèi)引起相當(dāng)高的增長(zhǎng)。

資本的收益遞減還有一層重要的含義：在其他條件相同的情況下，如果一國(guó)開始時(shí)比較窮，它就更易實(shí)現(xiàn)迅速增長(zhǎng)。

2.多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)

表 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關(guān)資料如下：

（1） 計(jì)算三種產(chǎn)品的總成本指數(shù)。

（2） 計(jì)算以基期總成本為權(quán)數(shù)的產(chǎn)量總指數(shù)。

（3） 計(jì)算以報(bào)告期總成本為權(quán)數(shù)的單位成本總指數(shù)。

（4） 分析產(chǎn)量和單位成本的變動(dòng)對(duì)產(chǎn)品總成本的影響。

解：（1）總成本指數(shù)為：

■

（2）產(chǎn)量總指數(shù)為：

■

（3）單位成本總指數(shù)為：

■

（4）由于產(chǎn)量變動(dòng)使銷售額增加11.6%，增加銷售額145.7

532-130.6=15.1532萬元；由于價(jià)格變動(dòng)使銷售額增加0.1%，增加銷售額0.1468萬元。

三、積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在積分部分，利用微分方程可以分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量，預(yù)測(cè)商品的銷售量、分析關(guān)于國(guó)民收入、儲(chǔ)蓄與投資的關(guān)系問題等，對(duì)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)決策乃至國(guó)家級(jí)別的經(jīng)濟(jì)決策及時(shí)做出正確的調(diào)整。

1.消費(fèi)者剩余

需求量和供給量都是價(jià)格函數(shù)，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，價(jià)格和數(shù)量都是經(jīng)過不斷的相互調(diào)整，最后趨向平衡。在效用與經(jīng)濟(jì)福利分析中，消費(fèi)者剩余是消費(fèi)者對(duì)某種商品愿意支付的價(jià)格超過實(shí)際付出價(jià)格的余額。

如圖2所示，P表示實(shí)際支付的價(jià)格，D是需求曲線。而實(shí)際支付價(jià)格小于消費(fèi)者愿意支付價(jià)格，其中出現(xiàn)的差額，稱為消費(fèi)者剩余。其計(jì)算思路為：計(jì)算需求曲線與q=0，q=b所圍成的曲邊梯形面積A。

其計(jì)算步驟為：（1）根據(jù)給出圖形，利用極限思想無限細(xì)分，近似計(jì)算曲邊梯形面積。（2）求極限。通過無限求和求出精確值。

圖2 消費(fèi)者剩余圖像

整個(gè)圖線面積■。則當(dāng)n是有限數(shù)值時(shí)，面積■永遠(yuǎn)是曲邊梯形的面積，即A的近似值。但當(dāng)n增加時(shí)，面積的精確度才能相應(yīng)增加。當(dāng)n→∞時(shí)，并利用極限的方法才能實(shí)現(xiàn)從近似到精確，從而實(shí)現(xiàn)了近似■向曲邊梯形面積的精確值A(chǔ)，即：

■

而這個(gè)也是微積分中另一個(gè)重要模型——定積分和不定積分的基本思想。即

■

積分，在某個(gè)角度就是一些曲線函數(shù)的面積。經(jīng)濟(jì)學(xué)家把復(fù)雜的數(shù)據(jù)制圖，簡(jiǎn)化模型，引用積分思路，問題就變得簡(jiǎn)單了。例如，研究進(jìn)出口貿(mào)易的函數(shù)圖像，需要求解面積。

圖3 進(jìn)出口貿(mào)易函數(shù)圖

如圖3，表示當(dāng)貿(mào)易前國(guó)內(nèi)均衡價(jià)格低于世界價(jià)格的紡織品市場(chǎng)。允許自由貿(mào)易后，國(guó)內(nèi)價(jià)格上升到等于世界價(jià)格。供給曲線表示國(guó)內(nèi)生產(chǎn)的紡織品量，需求曲線表示國(guó)內(nèi)消費(fèi)的紡織品量。當(dāng)前國(guó)內(nèi)的出口等于世界價(jià)格時(shí)國(guó)內(nèi)供給量與國(guó)內(nèi)需求量之間的差額。賣者情況變好了（生產(chǎn)者剩余從C增加到B+C+D），而買者情況變壞了（消費(fèi)者剩余從A+B較少為A）。圖中D部分，表示總剩余的增加量，代表貿(mào)易的利益，同時(shí)也表明貿(mào)易增加了整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)福利。經(jīng)濟(jì)學(xué)家正是因?yàn)檫\(yùn)用極限的思想，把復(fù)雜的散點(diǎn)圖直線化；并通過積分求貿(mào)易利益中總剩余的變動(dòng)。

2. 經(jīng)濟(jì)函數(shù)及最大利潤(rùn)

設(shè)生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C=1000元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。

解：總成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

總收益函數(shù) R（x）=500x

總利潤(rùn) L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因?yàn)長(zhǎng)′′（200）<0

所以，生產(chǎn)量為200單位時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為L(zhǎng)（200）=39000（元）。

參考文獻(xiàn)：

[1]杜江.微積分應(yīng)用的幾點(diǎn)思考[J].高職教育，2012（05）.

[2]雷一鳴.獨(dú)立學(xué)院微積分教材改革探析[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2008（7）.

[3]梁錦華.Math CAD在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的微積分應(yīng)用[J].科技廣場(chǎng)，2008（4）.

[4]張麗玲.極限思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[J].柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁礫譯.經(jīng)濟(jì)學(xué)原理：微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分冊(cè)[M].第五版.北京大學(xué)出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：楊榮領(lǐng)（1981.1- ），女，漢族，河南安陽人，碩士，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)；李鑫宜（1992.3- ），女，廣東清遠(yuǎn)，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；黃紫欣（1992.9- ），女，廣東珠海，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；冼秋華（1992.3- ），女，廣東羅定，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；湛家麗（1992.3- ），女，廣東廣州，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科endprint

摘 要：本文對(duì)微積分在經(jīng)濟(jì)和管理學(xué)院專業(yè)的應(yīng)用研究，從微分和積分兩個(gè)主要方面進(jìn)行探索，具體介紹這兩個(gè)部分在經(jīng)濟(jì)和管理專業(yè)的代表例題，重點(diǎn)在它們的相互結(jié)合之上。

關(guān)鍵詞：微分；極限；積分

一、引言

隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理研究的不斷深入，經(jīng)濟(jì)和管理的量化分析已經(jīng)成為了經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)研究中的主要手段，這與微積分在經(jīng)濟(jì)和管理中的廣泛應(yīng)用密不可分。

在微分中，極限是最基本的概念。微積分中大量的其他基本概念都是用極限的概念來表達(dá)的。如導(dǎo)數(shù)和定積分都是建立在極限的概念之上。其中應(yīng)用到彈性函數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學(xué)概念。

二、 微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1.邊際概念與極限思想

在表述經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和公共政策的關(guān)系時(shí)，假設(shè)一個(gè)政府，實(shí)施一個(gè)提高國(guó)民儲(chǔ)蓄率的政策——隨著一國(guó)儲(chǔ)蓄的增加，用于生產(chǎn)消費(fèi)品的資源少了，而更多的資源用于生產(chǎn)資本品。在下圖1中表明在所有其他決定產(chǎn)量的因素不變的情況下，每個(gè)工人的資本量如何決定每個(gè)工人的產(chǎn)量。

圖1 生產(chǎn)函數(shù)

由于收益遞減，儲(chǔ)蓄率的增加所引起的高增長(zhǎng)只是暫時(shí)的。隨著高儲(chǔ)蓄率使積累的資本更多，從增加的資本中得到的收益一直在減少，因此增長(zhǎng)放慢。在長(zhǎng)期中，高儲(chǔ)蓄率引起高水平的生產(chǎn)率和收入，但是在這些變量中沒有高增長(zhǎng)。然而，達(dá)到這種長(zhǎng)期可能需要相當(dāng)一段時(shí)間。根據(jù)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)國(guó)際數(shù)據(jù)的研究，提高儲(chǔ)蓄率可以在幾十年內(nèi)引起相當(dāng)高的增長(zhǎng)。

資本的收益遞減還有一層重要的含義：在其他條件相同的情況下，如果一國(guó)開始時(shí)比較窮，它就更易實(shí)現(xiàn)迅速增長(zhǎng)。

2.多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)

表 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關(guān)資料如下：

（1） 計(jì)算三種產(chǎn)品的總成本指數(shù)。

（2） 計(jì)算以基期總成本為權(quán)數(shù)的產(chǎn)量總指數(shù)。

（3） 計(jì)算以報(bào)告期總成本為權(quán)數(shù)的單位成本總指數(shù)。

（4） 分析產(chǎn)量和單位成本的變動(dòng)對(duì)產(chǎn)品總成本的影響。

解：（1）總成本指數(shù)為：

■

（2）產(chǎn)量總指數(shù)為：

■

（3）單位成本總指數(shù)為：

■

（4）由于產(chǎn)量變動(dòng)使銷售額增加11.6%，增加銷售額145.7

532-130.6=15.1532萬元；由于價(jià)格變動(dòng)使銷售額增加0.1%，增加銷售額0.1468萬元。

三、積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在積分部分，利用微分方程可以分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量，預(yù)測(cè)商品的銷售量、分析關(guān)于國(guó)民收入、儲(chǔ)蓄與投資的關(guān)系問題等，對(duì)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)決策乃至國(guó)家級(jí)別的經(jīng)濟(jì)決策及時(shí)做出正確的調(diào)整。

1.消費(fèi)者剩余

需求量和供給量都是價(jià)格函數(shù)，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，價(jià)格和數(shù)量都是經(jīng)過不斷的相互調(diào)整，最后趨向平衡。在效用與經(jīng)濟(jì)福利分析中，消費(fèi)者剩余是消費(fèi)者對(duì)某種商品愿意支付的價(jià)格超過實(shí)際付出價(jià)格的余額。

如圖2所示，P表示實(shí)際支付的價(jià)格，D是需求曲線。而實(shí)際支付價(jià)格小于消費(fèi)者愿意支付價(jià)格，其中出現(xiàn)的差額，稱為消費(fèi)者剩余。其計(jì)算思路為：計(jì)算需求曲線與q=0，q=b所圍成的曲邊梯形面積A。

其計(jì)算步驟為：（1）根據(jù)給出圖形，利用極限思想無限細(xì)分，近似計(jì)算曲邊梯形面積。（2）求極限。通過無限求和求出精確值。

圖2 消費(fèi)者剩余圖像

整個(gè)圖線面積■。則當(dāng)n是有限數(shù)值時(shí)，面積■永遠(yuǎn)是曲邊梯形的面積，即A的近似值。但當(dāng)n增加時(shí)，面積的精確度才能相應(yīng)增加。當(dāng)n→∞時(shí)，并利用極限的方法才能實(shí)現(xiàn)從近似到精確，從而實(shí)現(xiàn)了近似■向曲邊梯形面積的精確值A(chǔ)，即：

■

而這個(gè)也是微積分中另一個(gè)重要模型——定積分和不定積分的基本思想。即

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積分，在某個(gè)角度就是一些曲線函數(shù)的面積。經(jīng)濟(jì)學(xué)家把復(fù)雜的數(shù)據(jù)制圖，簡(jiǎn)化模型，引用積分思路，問題就變得簡(jiǎn)單了。例如，研究進(jìn)出口貿(mào)易的函數(shù)圖像，需要求解面積。

圖3 進(jìn)出口貿(mào)易函數(shù)圖

如圖3，表示當(dāng)貿(mào)易前國(guó)內(nèi)均衡價(jià)格低于世界價(jià)格的紡織品市場(chǎng)。允許自由貿(mào)易后，國(guó)內(nèi)價(jià)格上升到等于世界價(jià)格。供給曲線表示國(guó)內(nèi)生產(chǎn)的紡織品量，需求曲線表示國(guó)內(nèi)消費(fèi)的紡織品量。當(dāng)前國(guó)內(nèi)的出口等于世界價(jià)格時(shí)國(guó)內(nèi)供給量與國(guó)內(nèi)需求量之間的差額。賣者情況變好了（生產(chǎn)者剩余從C增加到B+C+D），而買者情況變壞了（消費(fèi)者剩余從A+B較少為A）。圖中D部分，表示總剩余的增加量，代表貿(mào)易的利益，同時(shí)也表明貿(mào)易增加了整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)福利。經(jīng)濟(jì)學(xué)家正是因?yàn)檫\(yùn)用極限的思想，把復(fù)雜的散點(diǎn)圖直線化；并通過積分求貿(mào)易利益中總剩余的變動(dòng)。

2. 經(jīng)濟(jì)函數(shù)及最大利潤(rùn)

設(shè)生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C=1000元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。

解：總成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

總收益函數(shù) R（x）=500x

總利潤(rùn) L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因?yàn)長(zhǎng)′′（200）<0

所以，生產(chǎn)量為200單位時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為L(zhǎng)（200）=39000（元）。

參考文獻(xiàn)：

[1]杜江.微積分應(yīng)用的幾點(diǎn)思考[J].高職教育，2012（05）.

[2]雷一鳴.獨(dú)立學(xué)院微積分教材改革探析[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2008（7）.

[3]梁錦華.Math CAD在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的微積分應(yīng)用[J].科技廣場(chǎng)，2008（4）.

[4]張麗玲.極限思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[J].柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁礫譯.經(jīng)濟(jì)學(xué)原理：微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)分冊(cè)[M].第五版.北京大學(xué)出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：楊榮領(lǐng)（1981.1- ），女，漢族，河南安陽人，碩士，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)；李鑫宜（1992.3- ），女，廣東清遠(yuǎn)，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；黃紫欣（1992.9- ），女，廣東珠海，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；冼秋華（1992.3- ），女，廣東羅定，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；湛家麗（1992.3- ），女，廣東廣州，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科endprint

摘 要：本文對(duì)微積分在經(jīng)濟(jì)和管理學(xué)院專業(yè)的應(yīng)用研究，從微分和積分兩個(gè)主要方面進(jìn)行探索，具體介紹這兩個(gè)部分在經(jīng)濟(jì)和管理專業(yè)的代表例題，重點(diǎn)在它們的相互結(jié)合之上。

關(guān)鍵詞：微分；極限；積分

一、引言

隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理研究的不斷深入，經(jīng)濟(jì)和管理的量化分析已經(jīng)成為了經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)研究中的主要手段，這與微積分在經(jīng)濟(jì)和管理中的廣泛應(yīng)用密不可分。

在微分中，極限是最基本的概念。微積分中大量的其他基本概念都是用極限的概念來表達(dá)的。如導(dǎo)數(shù)和定積分都是建立在極限的概念之上。其中應(yīng)用到彈性函數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學(xué)概念。

二、 微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1.邊際概念與極限思想

在表述經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和公共政策的關(guān)系時(shí)，假設(shè)一個(gè)政府，實(shí)施一個(gè)提高國(guó)民儲(chǔ)蓄率的政策——隨著一國(guó)儲(chǔ)蓄的增加，用于生產(chǎn)消費(fèi)品的資源少了，而更多的資源用于生產(chǎn)資本品。在下圖1中表明在所有其他決定產(chǎn)量的因素不變的情況下，每個(gè)工人的資本量如何決定每個(gè)工人的產(chǎn)量。

圖1 生產(chǎn)函數(shù)

由于收益遞減，儲(chǔ)蓄率的增加所引起的高增長(zhǎng)只是暫時(shí)的。隨著高儲(chǔ)蓄率使積累的資本更多，從增加的資本中得到的收益一直在減少，因此增長(zhǎng)放慢。在長(zhǎng)期中，高儲(chǔ)蓄率引起高水平的生產(chǎn)率和收入，但是在這些變量中沒有高增長(zhǎng)。然而，達(dá)到這種長(zhǎng)期可能需要相當(dāng)一段時(shí)間。根據(jù)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)國(guó)際數(shù)據(jù)的研究，提高儲(chǔ)蓄率可以在幾十年內(nèi)引起相當(dāng)高的增長(zhǎng)。

資本的收益遞減還有一層重要的含義：在其他條件相同的情況下，如果一國(guó)開始時(shí)比較窮，它就更易實(shí)現(xiàn)迅速增長(zhǎng)。

2.多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)

表 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關(guān)資料如下：

（1） 計(jì)算三種產(chǎn)品的總成本指數(shù)。

（2） 計(jì)算以基期總成本為權(quán)數(shù)的產(chǎn)量總指數(shù)。

（3） 計(jì)算以報(bào)告期總成本為權(quán)數(shù)的單位成本總指數(shù)。

（4） 分析產(chǎn)量和單位成本的變動(dòng)對(duì)產(chǎn)品總成本的影響。

解：（1）總成本指數(shù)為：

■

（2）產(chǎn)量總指數(shù)為：

■

（3）單位成本總指數(shù)為：

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（4）由于產(chǎn)量變動(dòng)使銷售額增加11.6%，增加銷售額145.7

532-130.6=15.1532萬元；由于價(jià)格變動(dòng)使銷售額增加0.1%，增加銷售額0.1468萬元。

三、積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在積分部分，利用微分方程可以分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量，預(yù)測(cè)商品的銷售量、分析關(guān)于國(guó)民收入、儲(chǔ)蓄與投資的關(guān)系問題等，對(duì)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)決策乃至國(guó)家級(jí)別的經(jīng)濟(jì)決策及時(shí)做出正確的調(diào)整。

1.消費(fèi)者剩余

需求量和供給量都是價(jià)格函數(shù)，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下，價(jià)格和數(shù)量都是經(jīng)過不斷的相互調(diào)整，最后趨向平衡。在效用與經(jīng)濟(jì)福利分析中，消費(fèi)者剩余是消費(fèi)者對(duì)某種商品愿意支付的價(jià)格超過實(shí)際付出價(jià)格的余額。

如圖2所示，P表示實(shí)際支付的價(jià)格，D是需求曲線。而實(shí)際支付價(jià)格小于消費(fèi)者愿意支付價(jià)格，其中出現(xiàn)的差額，稱為消費(fèi)者剩余。其計(jì)算思路為：計(jì)算需求曲線與q=0，q=b所圍成的曲邊梯形面積A。

其計(jì)算步驟為：（1）根據(jù)給出圖形，利用極限思想無限細(xì)分，近似計(jì)算曲邊梯形面積。（2）求極限。通過無限求和求出精確值。

圖2 消費(fèi)者剩余圖像

整個(gè)圖線面積■。則當(dāng)n是有限數(shù)值時(shí)，面積■永遠(yuǎn)是曲邊梯形的面積，即A的近似值。但當(dāng)n增加時(shí)，面積的精確度才能相應(yīng)增加。當(dāng)n→∞時(shí)，并利用極限的方法才能實(shí)現(xiàn)從近似到精確，從而實(shí)現(xiàn)了近似■向曲邊梯形面積的精確值A(chǔ)，即：

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而這個(gè)也是微積分中另一個(gè)重要模型——定積分和不定積分的基本思想。即

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積分，在某個(gè)角度就是一些曲線函數(shù)的面積。經(jīng)濟(jì)學(xué)家把復(fù)雜的數(shù)據(jù)制圖，簡(jiǎn)化模型，引用積分思路，問題就變得簡(jiǎn)單了。例如，研究進(jìn)出口貿(mào)易的函數(shù)圖像，需要求解面積。

圖3 進(jìn)出口貿(mào)易函數(shù)圖

如圖3，表示當(dāng)貿(mào)易前國(guó)內(nèi)均衡價(jià)格低于世界價(jià)格的紡織品市場(chǎng)。允許自由貿(mào)易后，國(guó)內(nèi)價(jià)格上升到等于世界價(jià)格。供給曲線表示國(guó)內(nèi)生產(chǎn)的紡織品量，需求曲線表示國(guó)內(nèi)消費(fèi)的紡織品量。當(dāng)前國(guó)內(nèi)的出口等于世界價(jià)格時(shí)國(guó)內(nèi)供給量與國(guó)內(nèi)需求量之間的差額。賣者情況變好了（生產(chǎn)者剩余從C增加到B+C+D），而買者情況變壞了（消費(fèi)者剩余從A+B較少為A）。圖中D部分，表示總剩余的增加量，代表貿(mào)易的利益，同時(shí)也表明貿(mào)易增加了整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)福利。經(jīng)濟(jì)學(xué)家正是因?yàn)檫\(yùn)用極限的思想，把復(fù)雜的散點(diǎn)圖直線化；并通過積分求貿(mào)易利益中總剩余的變動(dòng)。

2. 經(jīng)濟(jì)函數(shù)及最大利潤(rùn)

設(shè)生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C=1000元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。

解：總成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

總收益函數(shù) R（x）=500x

總利潤(rùn) L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因?yàn)長(zhǎng)′′（200）<0

所以，生產(chǎn)量為200單位時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為L(zhǎng)（200）=39000（元）。

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作者簡(jiǎn)介：楊榮領(lǐng)（1981.1- ），女，漢族，河南安陽人，碩士，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)；李鑫宜（1992.3- ），女，廣東清遠(yuǎn)，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；黃紫欣（1992.9- ），女，廣東珠海，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；冼秋華（1992.3- ），女，廣東羅定，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科；湛家麗（1992.3- ），女，廣東廣州，華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，本科endprint