黃芬芬

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出，建模思想是數(shù)學(xué)的基本思想。它強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)符號(hào)化過(guò)程，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)法則的總結(jié)，數(shù)學(xué)原理的建構(gòu)……其本質(zhì)都是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。學(xué)生將生活情境“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有普遍性意義。摸清數(shù)學(xué)建模中的幾個(gè)重要特性，是理解學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)的要點(diǎn)之一。有效地把握教學(xué)方向，明確教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)用度來(lái)說(shuō)，其本質(zhì)就是由數(shù)學(xué)建模實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。

一、“形式化”——讓數(shù)學(xué)思維更加簡(jiǎn)約

在數(shù)學(xué)建模中，形式化是它的重點(diǎn)方向。當(dāng)我們用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)量及其關(guān)系，用抽象的數(shù)學(xué)概念表達(dá)數(shù)學(xué)思維，用圖形表示物體的空間關(guān)系時(shí)，這些思考方式的變化，也就是數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系形式化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，使我們的思維從繁復(fù)的“雜多”里解放。簡(jiǎn)化集約后的現(xiàn)實(shí)情境，經(jīng)建模實(shí)現(xiàn)形式化，更易于數(shù)學(xué)思維對(duì)它進(jìn)行“操作”，更符合人的思考的心理機(jī)制。例如，北師大版《生活中的數(shù)》一課中的1-10的數(shù)的教學(xué)（見(jiàn)下圖）。

先讓學(xué)生列舉生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、兩個(gè)蘋果、三張船票等。接著，用小棒、圓圈、手指、計(jì)數(shù)器等記錄這些數(shù)。這個(gè)過(guò)程，舍棄了熊的顏色、蘋果的大小、船票上的圖案……這時(shí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，處于“半抽象”的狀態(tài)，減輕了思維的“負(fù)荷”，使操作更為簡(jiǎn)便。當(dāng)要求學(xué)生用數(shù)字符號(hào)表示這些數(shù)時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)入高度的形式化，也是生活情景到數(shù)學(xué)模型的抽象、簡(jiǎn)化的過(guò)程。從“生活中的數(shù)”到“數(shù)字符號(hào)”，是“數(shù)概念”與符號(hào)“對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)”的形成，是數(shù)的“數(shù)學(xué)含義”與符號(hào)的融合。這些數(shù)學(xué)符號(hào)的“形式化”，給了我們極大的“自由空間”，進(jìn)而使我們得以表達(dá)大數(shù)、發(fā)展小數(shù)和分?jǐn)?shù)并進(jìn)行更復(fù)雜的運(yùn)算。

二、“結(jié)構(gòu)化”——讓數(shù)學(xué)關(guān)系成為整體

數(shù)學(xué)是描述數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)模型的形成，也就是從多個(gè)維度建構(gòu)數(shù)學(xué)關(guān)系的過(guò)程。各種數(shù)學(xué)關(guān)系相互聯(lián)系、多重交互，構(gòu)成了“整體性”的結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、揭示或理解數(shù)學(xué)情境中的各種關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)抽象、建構(gòu)得出數(shù)學(xué)模型，并幫助學(xué)生從總體上把握數(shù)學(xué)模型中各要素間的相互聯(lián)系。例如，每一邊可以放19個(gè)棋子的圍棋棋盤，外圍最多可以擺幾個(gè)棋子？

如果不想一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，就必須對(duì)棋盤外圍的棋子進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”，通過(guò)“結(jié)構(gòu)化”，使彌散的“數(shù)學(xué)因子”形成一個(gè)有組織、有次序的整體。不同的“結(jié)構(gòu)”將“規(guī)劃”“包含”不同的“數(shù)量間的關(guān)系”，能使我們更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，正確選擇解決問(wèn)題的方向，利用建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)有步驟的解答。數(shù)學(xué)模型的“結(jié)構(gòu)化”具有重要的意義，通過(guò)了解結(jié)構(gòu)中各“數(shù)學(xué)因子”之間的未知與已知聯(lián)系，我們可以借助已知條件求出未知條件，借助各種形式的數(shù)學(xué)模型和推理，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

三、“喻體化”——讓隱性結(jié)構(gòu)突顯其形

在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)里，當(dāng)關(guān)系是隱性的，或一些“要素”看不見(jiàn)的時(shí)候，數(shù)學(xué)就變得生澀難懂，產(chǎn)生巨大的距離感、生疏感。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬寧有一個(gè)論斷：“數(shù)學(xué)是一種比喻?！睌?shù)學(xué)模型可以借助“喻體”，揭開(kāi)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的神秘面紗，露出“曼妙的身段”。好的喻體，能讓原本無(wú)形的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“一目了然”，讓枯燥的數(shù)學(xué)模型充滿生活的趣味，煥發(fā)文化氣息。重要的是，它使數(shù)學(xué)易于理解，容易讓學(xué)生接受。如下圖，這是美國(guó)加州小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊(cè)上的一個(gè)“方程模型”，這個(gè)數(shù)學(xué)模型，以杯子代表“未知數(shù)”，用籌碼當(dāng)“已知數(shù)”。

這個(gè)簡(jiǎn)單的“比喻”，形象的描繪了包含“未知數(shù)”的加法模型，讓學(xué)生生動(dòng)地理解了等式兩邊數(shù)量之間的關(guān)系，為學(xué)生進(jìn)一步抽象出“X+3=5”這個(gè)方程式提供了很好的鋪墊。從這個(gè)角度，我們可以看出，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，包括了“與自我的對(duì)話”和“與他人的交流”的價(jià)值。所以，好的“喻體”能使其形象，得以“淺顯”，能被接受，使蘊(yùn)藏在背后的隱性數(shù)量關(guān)系得以彰顯出來(lái)。

四、“工具化”——讓數(shù)學(xué)模型能夠伸延

數(shù)學(xué)模型的工具化，指的是我們可以利用己經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述，解釋生活中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實(shí)中的具體問(wèn)題，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)有用”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值觀。它使數(shù)學(xué)模型得以在“同構(gòu)”問(wèn)題中伸延，并拓展數(shù)學(xué)模型的利用空間。例如下面這個(gè)幾何圖形，我們可以通過(guò)“圓的面積公式模型”輕易地解決它。

先把它看成一個(gè)“圓環(huán)”，再用“圓環(huán)面積”除以2，也就是用“（大圓面積-小圓面積）÷2”來(lái)求面積。這里把“圓的面積公式模型”作為解決問(wèn)題的“工具”。發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、解釋問(wèn)題間的關(guān)系，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成可以解讀的數(shù)量間的聯(lián)系。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，一方面離不開(kāi)“工具箱”的備齊、備全；另一方面，又是對(duì)“工具”應(yīng)用的延伸、拓展，以及靈活的掌握和創(chuàng)造性的應(yīng)用。在不同的問(wèn)題情境中，抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型工具，可以解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。

五、“多樣化”——讓數(shù)學(xué)視角得以轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)模型的多樣性指的是它的同構(gòu)異型。同樣的數(shù)學(xué)情景可能根據(jù)不同類型、方式建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，比如：數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，數(shù)式、圖示、幾何圖形等，也可能在不同的抽象層級(jí)上建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。這便于我們從不同角度來(lái)審視數(shù)學(xué)關(guān)系、討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)揮數(shù)學(xué)模型解釋、分析數(shù)學(xué)信息的最佳功能。例如，一桶油，連桶重15千克，用去一半后，連桶重9千克，這桶油重多少千克？

這道習(xí)題中，包含著幾個(gè)關(guān)鍵的數(shù)量：“油連桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。簡(jiǎn)單地說(shuō)，它反應(yīng)的是“總體—部分”的關(guān)系?？梢杂眠@個(gè)圖例來(lái)表示這些數(shù)量間的關(guān)系：

這個(gè)示意圖例是在生活原型的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的抽象、升華、重構(gòu)而得到的“數(shù)學(xué)模型”。它既保留“原貌”，又能反應(yīng)各部分間的關(guān)系。同時(shí)我們還可用維恩圖、線段圖、“分析樹(shù)形圖”、數(shù)學(xué)關(guān)系式、算式等多種形式，建構(gòu)同構(gòu)異型的數(shù)學(xué)模型，來(lái)反映 “總體—部分”結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)換形式、變換視角，凸顯內(nèi)在數(shù)量間的相互關(guān)系。

建模，是學(xué)生思維走向數(shù)學(xué)化的重要環(huán)節(jié)。它為學(xué)生造就了一雙數(shù)學(xué)的眼睛，把生活中紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境，用抽象的方式，以模型作為載體，建構(gòu)數(shù)量和空間關(guān)系，從而描述并凸顯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，成為數(shù)學(xué)思考的一把“利器”，實(shí)現(xiàn)思維方式上的簡(jiǎn)約而經(jīng)濟(jì)，靈活能變通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的張力，使數(shù)學(xué)成為一門有生命力的基礎(chǔ)學(xué)科。

（責(zé)任編輯：李雪虹）endprint

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出，建模思想是數(shù)學(xué)的基本思想。它強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)符號(hào)化過(guò)程，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)法則的總結(jié)，數(shù)學(xué)原理的建構(gòu)……其本質(zhì)都是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。學(xué)生將生活情境“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有普遍性意義。摸清數(shù)學(xué)建模中的幾個(gè)重要特性，是理解學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)的要點(diǎn)之一。有效地把握教學(xué)方向，明確教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)用度來(lái)說(shuō)，其本質(zhì)就是由數(shù)學(xué)建模實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。

一、“形式化”——讓數(shù)學(xué)思維更加簡(jiǎn)約

在數(shù)學(xué)建模中，形式化是它的重點(diǎn)方向。當(dāng)我們用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)量及其關(guān)系，用抽象的數(shù)學(xué)概念表達(dá)數(shù)學(xué)思維，用圖形表示物體的空間關(guān)系時(shí)，這些思考方式的變化，也就是數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系形式化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，使我們的思維從繁復(fù)的“雜多”里解放。簡(jiǎn)化集約后的現(xiàn)實(shí)情境，經(jīng)建模實(shí)現(xiàn)形式化，更易于數(shù)學(xué)思維對(duì)它進(jìn)行“操作”，更符合人的思考的心理機(jī)制。例如，北師大版《生活中的數(shù)》一課中的1-10的數(shù)的教學(xué)（見(jiàn)下圖）。

先讓學(xué)生列舉生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、兩個(gè)蘋果、三張船票等。接著，用小棒、圓圈、手指、計(jì)數(shù)器等記錄這些數(shù)。這個(gè)過(guò)程，舍棄了熊的顏色、蘋果的大小、船票上的圖案……這時(shí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，處于“半抽象”的狀態(tài)，減輕了思維的“負(fù)荷”，使操作更為簡(jiǎn)便。當(dāng)要求學(xué)生用數(shù)字符號(hào)表示這些數(shù)時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)入高度的形式化，也是生活情景到數(shù)學(xué)模型的抽象、簡(jiǎn)化的過(guò)程。從“生活中的數(shù)”到“數(shù)字符號(hào)”，是“數(shù)概念”與符號(hào)“對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)”的形成，是數(shù)的“數(shù)學(xué)含義”與符號(hào)的融合。這些數(shù)學(xué)符號(hào)的“形式化”，給了我們極大的“自由空間”，進(jìn)而使我們得以表達(dá)大數(shù)、發(fā)展小數(shù)和分?jǐn)?shù)并進(jìn)行更復(fù)雜的運(yùn)算。

二、“結(jié)構(gòu)化”——讓數(shù)學(xué)關(guān)系成為整體

數(shù)學(xué)是描述數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)模型的形成，也就是從多個(gè)維度建構(gòu)數(shù)學(xué)關(guān)系的過(guò)程。各種數(shù)學(xué)關(guān)系相互聯(lián)系、多重交互，構(gòu)成了“整體性”的結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、揭示或理解數(shù)學(xué)情境中的各種關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)抽象、建構(gòu)得出數(shù)學(xué)模型，并幫助學(xué)生從總體上把握數(shù)學(xué)模型中各要素間的相互聯(lián)系。例如，每一邊可以放19個(gè)棋子的圍棋棋盤，外圍最多可以擺幾個(gè)棋子？

如果不想一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，就必須對(duì)棋盤外圍的棋子進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”，通過(guò)“結(jié)構(gòu)化”，使彌散的“數(shù)學(xué)因子”形成一個(gè)有組織、有次序的整體。不同的“結(jié)構(gòu)”將“規(guī)劃”“包含”不同的“數(shù)量間的關(guān)系”，能使我們更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，正確選擇解決問(wèn)題的方向，利用建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)有步驟的解答。數(shù)學(xué)模型的“結(jié)構(gòu)化”具有重要的意義，通過(guò)了解結(jié)構(gòu)中各“數(shù)學(xué)因子”之間的未知與已知聯(lián)系，我們可以借助已知條件求出未知條件，借助各種形式的數(shù)學(xué)模型和推理，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

三、“喻體化”——讓隱性結(jié)構(gòu)突顯其形

在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)里，當(dāng)關(guān)系是隱性的，或一些“要素”看不見(jiàn)的時(shí)候，數(shù)學(xué)就變得生澀難懂，產(chǎn)生巨大的距離感、生疏感。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬寧有一個(gè)論斷：“數(shù)學(xué)是一種比喻?！睌?shù)學(xué)模型可以借助“喻體”，揭開(kāi)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的神秘面紗，露出“曼妙的身段”。好的喻體，能讓原本無(wú)形的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“一目了然”，讓枯燥的數(shù)學(xué)模型充滿生活的趣味，煥發(fā)文化氣息。重要的是，它使數(shù)學(xué)易于理解，容易讓學(xué)生接受。如下圖，這是美國(guó)加州小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊(cè)上的一個(gè)“方程模型”，這個(gè)數(shù)學(xué)模型，以杯子代表“未知數(shù)”，用籌碼當(dāng)“已知數(shù)”。

這個(gè)簡(jiǎn)單的“比喻”，形象的描繪了包含“未知數(shù)”的加法模型，讓學(xué)生生動(dòng)地理解了等式兩邊數(shù)量之間的關(guān)系，為學(xué)生進(jìn)一步抽象出“X+3=5”這個(gè)方程式提供了很好的鋪墊。從這個(gè)角度，我們可以看出，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，包括了“與自我的對(duì)話”和“與他人的交流”的價(jià)值。所以，好的“喻體”能使其形象，得以“淺顯”，能被接受，使蘊(yùn)藏在背后的隱性數(shù)量關(guān)系得以彰顯出來(lái)。

四、“工具化”——讓數(shù)學(xué)模型能夠伸延

數(shù)學(xué)模型的工具化，指的是我們可以利用己經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述，解釋生活中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實(shí)中的具體問(wèn)題，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)有用”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值觀。它使數(shù)學(xué)模型得以在“同構(gòu)”問(wèn)題中伸延，并拓展數(shù)學(xué)模型的利用空間。例如下面這個(gè)幾何圖形，我們可以通過(guò)“圓的面積公式模型”輕易地解決它。

先把它看成一個(gè)“圓環(huán)”，再用“圓環(huán)面積”除以2，也就是用“（大圓面積-小圓面積）÷2”來(lái)求面積。這里把“圓的面積公式模型”作為解決問(wèn)題的“工具”。發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、解釋問(wèn)題間的關(guān)系，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成可以解讀的數(shù)量間的聯(lián)系。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，一方面離不開(kāi)“工具箱”的備齊、備全；另一方面，又是對(duì)“工具”應(yīng)用的延伸、拓展，以及靈活的掌握和創(chuàng)造性的應(yīng)用。在不同的問(wèn)題情境中，抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型工具，可以解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。

五、“多樣化”——讓數(shù)學(xué)視角得以轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)模型的多樣性指的是它的同構(gòu)異型。同樣的數(shù)學(xué)情景可能根據(jù)不同類型、方式建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，比如：數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，數(shù)式、圖示、幾何圖形等，也可能在不同的抽象層級(jí)上建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。這便于我們從不同角度來(lái)審視數(shù)學(xué)關(guān)系、討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)揮數(shù)學(xué)模型解釋、分析數(shù)學(xué)信息的最佳功能。例如，一桶油，連桶重15千克，用去一半后，連桶重9千克，這桶油重多少千克？

這道習(xí)題中，包含著幾個(gè)關(guān)鍵的數(shù)量：“油連桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。簡(jiǎn)單地說(shuō)，它反應(yīng)的是“總體—部分”的關(guān)系?？梢杂眠@個(gè)圖例來(lái)表示這些數(shù)量間的關(guān)系：

這個(gè)示意圖例是在生活原型的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的抽象、升華、重構(gòu)而得到的“數(shù)學(xué)模型”。它既保留“原貌”，又能反應(yīng)各部分間的關(guān)系。同時(shí)我們還可用維恩圖、線段圖、“分析樹(shù)形圖”、數(shù)學(xué)關(guān)系式、算式等多種形式，建構(gòu)同構(gòu)異型的數(shù)學(xué)模型，來(lái)反映 “總體—部分”結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)換形式、變換視角，凸顯內(nèi)在數(shù)量間的相互關(guān)系。

建模，是學(xué)生思維走向數(shù)學(xué)化的重要環(huán)節(jié)。它為學(xué)生造就了一雙數(shù)學(xué)的眼睛，把生活中紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境，用抽象的方式，以模型作為載體，建構(gòu)數(shù)量和空間關(guān)系，從而描述并凸顯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，成為數(shù)學(xué)思考的一把“利器”，實(shí)現(xiàn)思維方式上的簡(jiǎn)約而經(jīng)濟(jì)，靈活能變通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的張力，使數(shù)學(xué)成為一門有生命力的基礎(chǔ)學(xué)科。

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2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出，建模思想是數(shù)學(xué)的基本思想。它強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)符號(hào)化過(guò)程，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)法則的總結(jié)，數(shù)學(xué)原理的建構(gòu)……其本質(zhì)都是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。學(xué)生將生活情境“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有普遍性意義。摸清數(shù)學(xué)建模中的幾個(gè)重要特性，是理解學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)的要點(diǎn)之一。有效地把握教學(xué)方向，明確教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)用度來(lái)說(shuō)，其本質(zhì)就是由數(shù)學(xué)建模實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。

一、“形式化”——讓數(shù)學(xué)思維更加簡(jiǎn)約

在數(shù)學(xué)建模中，形式化是它的重點(diǎn)方向。當(dāng)我們用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)數(shù)量及其關(guān)系，用抽象的數(shù)學(xué)概念表達(dá)數(shù)學(xué)思維，用圖形表示物體的空間關(guān)系時(shí)，這些思考方式的變化，也就是數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系形式化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程，使我們的思維從繁復(fù)的“雜多”里解放。簡(jiǎn)化集約后的現(xiàn)實(shí)情境，經(jīng)建模實(shí)現(xiàn)形式化，更易于數(shù)學(xué)思維對(duì)它進(jìn)行“操作”，更符合人的思考的心理機(jī)制。例如，北師大版《生活中的數(shù)》一課中的1-10的數(shù)的教學(xué)（見(jiàn)下圖）。

先讓學(xué)生列舉生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、兩個(gè)蘋果、三張船票等。接著，用小棒、圓圈、手指、計(jì)數(shù)器等記錄這些數(shù)。這個(gè)過(guò)程，舍棄了熊的顏色、蘋果的大小、船票上的圖案……這時(shí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，處于“半抽象”的狀態(tài)，減輕了思維的“負(fù)荷”，使操作更為簡(jiǎn)便。當(dāng)要求學(xué)生用數(shù)字符號(hào)表示這些數(shù)時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)入高度的形式化，也是生活情景到數(shù)學(xué)模型的抽象、簡(jiǎn)化的過(guò)程。從“生活中的數(shù)”到“數(shù)字符號(hào)”，是“數(shù)概念”與符號(hào)“對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)”的形成，是數(shù)的“數(shù)學(xué)含義”與符號(hào)的融合。這些數(shù)學(xué)符號(hào)的“形式化”，給了我們極大的“自由空間”，進(jìn)而使我們得以表達(dá)大數(shù)、發(fā)展小數(shù)和分?jǐn)?shù)并進(jìn)行更復(fù)雜的運(yùn)算。

二、“結(jié)構(gòu)化”——讓數(shù)學(xué)關(guān)系成為整體

數(shù)學(xué)是描述數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)模型的形成，也就是從多個(gè)維度建構(gòu)數(shù)學(xué)關(guān)系的過(guò)程。各種數(shù)學(xué)關(guān)系相互聯(lián)系、多重交互，構(gòu)成了“整體性”的結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過(guò)程中，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、揭示或理解數(shù)學(xué)情境中的各種關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)抽象、建構(gòu)得出數(shù)學(xué)模型，并幫助學(xué)生從總體上把握數(shù)學(xué)模型中各要素間的相互聯(lián)系。例如，每一邊可以放19個(gè)棋子的圍棋棋盤，外圍最多可以擺幾個(gè)棋子？

如果不想一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，就必須對(duì)棋盤外圍的棋子進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”，通過(guò)“結(jié)構(gòu)化”，使彌散的“數(shù)學(xué)因子”形成一個(gè)有組織、有次序的整體。不同的“結(jié)構(gòu)”將“規(guī)劃”“包含”不同的“數(shù)量間的關(guān)系”，能使我們更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，正確選擇解決問(wèn)題的方向，利用建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)有步驟的解答。數(shù)學(xué)模型的“結(jié)構(gòu)化”具有重要的意義，通過(guò)了解結(jié)構(gòu)中各“數(shù)學(xué)因子”之間的未知與已知聯(lián)系，我們可以借助已知條件求出未知條件，借助各種形式的數(shù)學(xué)模型和推理，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

三、“喻體化”——讓隱性結(jié)構(gòu)突顯其形

在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)里，當(dāng)關(guān)系是隱性的，或一些“要素”看不見(jiàn)的時(shí)候，數(shù)學(xué)就變得生澀難懂，產(chǎn)生巨大的距離感、生疏感。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬寧有一個(gè)論斷：“數(shù)學(xué)是一種比喻。”數(shù)學(xué)模型可以借助“喻體”，揭開(kāi)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的神秘面紗，露出“曼妙的身段”。好的喻體，能讓原本無(wú)形的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“一目了然”，讓枯燥的數(shù)學(xué)模型充滿生活的趣味，煥發(fā)文化氣息。重要的是，它使數(shù)學(xué)易于理解，容易讓學(xué)生接受。如下圖，這是美國(guó)加州小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊(cè)上的一個(gè)“方程模型”，這個(gè)數(shù)學(xué)模型，以杯子代表“未知數(shù)”，用籌碼當(dāng)“已知數(shù)”。

這個(gè)簡(jiǎn)單的“比喻”，形象的描繪了包含“未知數(shù)”的加法模型，讓學(xué)生生動(dòng)地理解了等式兩邊數(shù)量之間的關(guān)系，為學(xué)生進(jìn)一步抽象出“X+3=5”這個(gè)方程式提供了很好的鋪墊。從這個(gè)角度，我們可以看出，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，包括了“與自我的對(duì)話”和“與他人的交流”的價(jià)值。所以，好的“喻體”能使其形象，得以“淺顯”，能被接受，使蘊(yùn)藏在背后的隱性數(shù)量關(guān)系得以彰顯出來(lái)。

四、“工具化”——讓數(shù)學(xué)模型能夠伸延

數(shù)學(xué)模型的工具化，指的是我們可以利用己經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述，解釋生活中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實(shí)中的具體問(wèn)題，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)有用”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值觀。它使數(shù)學(xué)模型得以在“同構(gòu)”問(wèn)題中伸延，并拓展數(shù)學(xué)模型的利用空間。例如下面這個(gè)幾何圖形，我們可以通過(guò)“圓的面積公式模型”輕易地解決它。

先把它看成一個(gè)“圓環(huán)”，再用“圓環(huán)面積”除以2，也就是用“（大圓面積-小圓面積）÷2”來(lái)求面積。這里把“圓的面積公式模型”作為解決問(wèn)題的“工具”。發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、解釋問(wèn)題間的關(guān)系，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成可以解讀的數(shù)量間的聯(lián)系。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，一方面離不開(kāi)“工具箱”的備齊、備全；另一方面，又是對(duì)“工具”應(yīng)用的延伸、拓展，以及靈活的掌握和創(chuàng)造性的應(yīng)用。在不同的問(wèn)題情境中，抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型工具，可以解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。

五、“多樣化”——讓數(shù)學(xué)視角得以轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)模型的多樣性指的是它的同構(gòu)異型。同樣的數(shù)學(xué)情景可能根據(jù)不同類型、方式建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，比如：數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，數(shù)式、圖示、幾何圖形等，也可能在不同的抽象層級(jí)上建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。這便于我們從不同角度來(lái)審視數(shù)學(xué)關(guān)系、討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)揮數(shù)學(xué)模型解釋、分析數(shù)學(xué)信息的最佳功能。例如，一桶油，連桶重15千克，用去一半后，連桶重9千克，這桶油重多少千克？

這道習(xí)題中，包含著幾個(gè)關(guān)鍵的數(shù)量：“油連桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。簡(jiǎn)單地說(shuō)，它反應(yīng)的是“總體—部分”的關(guān)系。可以用這個(gè)圖例來(lái)表示這些數(shù)量間的關(guān)系：

這個(gè)示意圖例是在生活原型的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的抽象、升華、重構(gòu)而得到的“數(shù)學(xué)模型”。它既保留“原貌”，又能反應(yīng)各部分間的關(guān)系。同時(shí)我們還可用維恩圖、線段圖、“分析樹(shù)形圖”、數(shù)學(xué)關(guān)系式、算式等多種形式，建構(gòu)同構(gòu)異型的數(shù)學(xué)模型，來(lái)反映 “總體—部分”結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)換形式、變換視角，凸顯內(nèi)在數(shù)量間的相互關(guān)系。

建模，是學(xué)生思維走向數(shù)學(xué)化的重要環(huán)節(jié)。它為學(xué)生造就了一雙數(shù)學(xué)的眼睛，把生活中紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境，用抽象的方式，以模型作為載體，建構(gòu)數(shù)量和空間關(guān)系，從而描述并凸顯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，成為數(shù)學(xué)思考的一把“利器”，實(shí)現(xiàn)思維方式上的簡(jiǎn)約而經(jīng)濟(jì)，靈活能變通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的張力，使數(shù)學(xué)成為一門有生命力的基礎(chǔ)學(xué)科。

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