康承偉

【摘 要】整體思想是重要的數(shù)學(xué)思想，本文從多角度闡述整體思想在初中數(shù)學(xué)中的作用和地位，目的在于建議學(xué)生牢固地樹立起整體意識。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想 整體思想

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.05.072

整體思想就是考慮數(shù)學(xué)問題時著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，善于把一些彼此獨立而又相互緊密聯(lián)系的量進行整體處理的思想方法，整體代入、整體換元等都是整體思想的表現(xiàn)形式，這種思想在初中數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用。

在有理數(shù)的相關(guān)概念中，只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)，比如-3與3互為相反數(shù)，一般地a與-a互為相反數(shù)。a-b的相反數(shù)如何表示，這是初學(xué)者的一個難點，究其原因，剛剛步入初中生活的孩子們還沒有完善的整體處理的意識。a-b的相反數(shù)應(yīng)當把a-b當成整體并把它用括號括起來，然后根據(jù)定義在括號前添“-”即-（a-b）再去括號化簡。換言之，a與-a互為相反數(shù)，其中a可以是單項式，可以是多項式，當a為多項式時，要用整體思想求它的相反數(shù)。倒數(shù)、絕對值亦如此，學(xué)習(xí)過程中除了基本知識的學(xué)習(xí)外，還要學(xué)習(xí)基本的思想方法。

在整式的運算中，同類項的合并法則：系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變。計算-3x2y+5x2y就應(yīng)把x2y當成整體并保持不變，運算結(jié)果的系數(shù)為-3與5之和。整式的乘法教學(xué)中，先讓學(xué)生掌握單項式與單項式的乘法、單項式與多項式的乘法，在此認知結(jié)構(gòu)上再來推導(dǎo)多項式的乘法法則，這時需把其中一個多項式當成整體，具體地說，（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b，然后運用單項式與多項式的乘法法則完成展開。教材還給出了矩形面積予以說明，最后給出結(jié)論：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得積相加。運用a0=1（a≠0）時，把底數(shù)當成整體，我們并不在乎底數(shù)的具體數(shù)值，而只關(guān)心它是否為0，如（2014-π）0中2014-π≠0，所以（2014-π）0=1。我們再看一個冪的運算問題：已知10m=2，10n=3，則103m+2n=_______。解這題時，初中學(xué)生無法分別求出m、n的值，需將要求值的代數(shù)式先用公式am·an=am+n和（am）n=amn變形為（10m）3·（10n）2然后整體代入。

學(xué)習(xí)提公因式法因式分解時，公因式指多項式里每一項都含有的因式，它可以是單項式，也可以是多項式。如因式分解（x-y）（3x+y）+（x-y）時，不宜用多項式的乘法法則去各個括號，而應(yīng)把x-y作為整體提出來，特別強調(diào)兩個相同的非零數(shù)相除商為1。公式法因式分解仍然要求學(xué)生靈活運用整體思想，如因式分解（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，解題中要考慮括號間的組合，組合展開后要求含x的二次項和一次項對應(yīng)相等，以便整體換元，最后運用a2+2ab+b2=（a+b）2達到分解目的。

學(xué)習(xí)同分母分式加減法后，能力要求遠遠不會停留在分子分母只為單獨的字母的簡單問題上，如計算 ，兩個分母互為相反數(shù)，可將分母都變?yōu)閤-2，此時加法變?yōu)闇p法，需要注意的是分子整體相減時符號的正確處理，同時需化簡運算結(jié)果。分式除法法則：將除式的分子分母顛倒位置，與被除式相乘，學(xué)生在計算（m+n）÷（ ）時容易錯解為（m+n）·（m+n），這是學(xué)生把除式的倒數(shù)理解為除式里各部分的倒數(shù)了，實際上，這里的除式是一個整體，應(yīng)先將除式計算成 后再顛倒分子分母。

解方程組的基本思想是消元，其中加減消元法就是把每一個方程當成整體進行整體的相加或相減。在問題“已知3a+2b=-2，2a+3b=2，則a-b=_______”中，我們只需將兩方程相減便能求得a-b的值，這堪稱整體思想的典型問題。解高次方程的基本思想是降次，比如解方程（x+1）2=4時，先運用平方根的定義求出整體x+1的值，這樣二次方程化為了兩個一次方程。另外，關(guān)于的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數(shù)根滿足x1+x2= ，x1x2= ，在計算有關(guān)兩根的對稱式時通常整體代入，問題：方程2x2-x-7=0的兩根為x1，x2，則（x1-1）（x2-1）=_______。解題時應(yīng)先整理為x1x2-（x1+x2）+1，然后把x1x2= ，x1+x2= 整體代入，這樣能避免解方程后分情況代值計算，節(jié)約時間又避免繁瑣計算出錯。

下面看看整體思想在函數(shù)中的運用，如圖1，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和B都在雙曲線y= 的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于____。在初中階段學(xué)生根本無法分別計算每塊陰影的面積，但這不影響解題，根據(jù)雙曲線關(guān)于原點對稱的特征知道，兩塊陰影可以拼成一個半徑為1的圓。再看一個函數(shù)問題，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖2所示，對稱軸是直線x=1，下列結(jié)論：①abc>0，②2a+b=0，③b2-4ac<0，④4a+2b+c>0，其中正確的是____。②的判斷需結(jié)合對稱軸得到關(guān)于a與b的關(guān)系，③的判斷需要結(jié)合拋物線與軸交點個數(shù)，它考查二次函數(shù)與二次方程之間的關(guān)系，④的判斷就需看x=2時的函數(shù)值。

研究圖形也離不開整體思想。我們研究圖形時，要求學(xué)生熟練掌握基本圖形的性質(zhì)，并能在解題時從復(fù)雜圖形中順利分解出常見圖形。如在解決直角三角形為背景的問題時要迅速想起直角三角形的邊角關(guān)系，如果直角三角形給出斜邊上的高，則其中有多組等角、多組相似三角形以及由相似三角形推導(dǎo)得到的多個重要等積式。同學(xué)們胸中有“圖”，就能迅速找到解題的突破口，這種整體著眼的研究方法能有效地將復(fù)雜陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單熟悉的問題。整體思想在圖形研究的一種重要體現(xiàn)形式是整體代入，例如“已知△ABC中，AB=5，BC=6，AC的中垂線交邊BC于D，則△ABD的周長是____。”周長是三邊之和，但本題中AD和BD的長不可求，不過根據(jù)中垂線的性質(zhì)知AD=CD，于是AD+BD=BC，從而可以運用整體代入求周長。

初中統(tǒng)計知識里，方差衡量一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，它是整組數(shù)據(jù)共同作用的結(jié)果。平均數(shù)衡量一組數(shù)據(jù)的平均水平，我們看看整體思想在計算平均數(shù)的應(yīng)用：一個學(xué)習(xí)小組有甲乙丙丁四名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)檢測里，甲乙兩名同學(xué)的平均成績是92分，乙丙兩名同學(xué)的平均成績是95分，丙丁兩名同學(xué)的平均成績是91分，甲丁兩名同學(xué)的平均成績是83分，求這個小組的平均成績。要求四數(shù)的平均數(shù)，按習(xí)慣先求出甲乙丙丁各位的成績再求平均數(shù)，但這不是最理想的方法，實際上，整體求出甲乙丙丁的成績之和再除以4，問題即得解決。

大量事實充分說明，整體思想滲透到了初中數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，只有學(xué)生牢固樹立整體意識才能在學(xué)習(xí)基本概念后舉一反三，觸類旁通，形成能力，才能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提高到一個新的水平！