周洪偉　崔鳳琴

摘 要 隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用滲入社會、生活的各個領(lǐng)域，因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程已成為全國各高等學(xué)校理科、工科和經(jīng)管專業(yè)學(xué)生的一門重要的必修課程。另外，該課程具有概念多、公式多及與社會生活實(shí)踐聯(lián)系緊密的特點(diǎn)，若僅使用傳統(tǒng)的講授法，效果較差。而案例法是以相關(guān)的案例為媒介，以分析案例為主，以與學(xué)生共同探究為主的一種教學(xué)手段。本文擬從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力的目標(biāo)出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)際探討案例法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中的應(yīng)用與研究。

關(guān)鍵詞 案例法 概率統(tǒng)計 教學(xué)

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計具有極其廣泛的應(yīng)用，該課程不僅是理科、工科和經(jīng)管專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程，而且也是各個學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行理論研究和實(shí)踐工作的必要基礎(chǔ)，并在學(xué)生未來的學(xué)習(xí)工作中對提高科研能力和創(chuàng)新能力都具有重要的作用。該課程傳統(tǒng)的教師講學(xué)生聽的教學(xué)方法過分地注重了知識的傳授，而忽略了對學(xué)生解決和處理問題的能力的培養(yǎng)，同時理論往往與實(shí)際脫節(jié)，往往造成該課程教師講得累、學(xué)生學(xué)得枯燥的現(xiàn)象。案例法，是以培養(yǎng)學(xué)生的能力為目標(biāo)，以相關(guān)案例為媒介，以分析案例為切入點(diǎn)，以與學(xué)生共同探究為主的一種教學(xué)手段和方法。該教學(xué)法不僅具有獨(dú)到的功能作用，而且有著廣泛的適用對象和適用范圍，是一種行之有效而被廣泛采用的教學(xué)法，尤其在西方一些享有國際聲譽(yù)的高校備受推崇。相對于以講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)法，案例教學(xué)法是一種創(chuàng)新的教學(xué)理念，有利于調(diào)動教師與學(xué)生教和學(xué)的積極性，實(shí)現(xiàn)師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間的多個方面的互動，能夠促進(jìn)理論與實(shí)踐有效地結(jié)合，實(shí)現(xiàn)理論向?qū)嵺`的轉(zhuǎn)化，能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和分析處理實(shí)際問題的能力。

本文擬從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力的目標(biāo)出發(fā)，結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)內(nèi)容實(shí)際探討案例法在該課程教學(xué)中的應(yīng)用。本文安排如下：首先，探討教學(xué)案例的目標(biāo)設(shè)計問題；其次，研究案例法在該課程教學(xué)中的應(yīng)用問題；最后，對案例法在該課程教學(xué)中應(yīng)用的效果分析。

1 教學(xué)案例的目標(biāo)設(shè)計

開展案例教學(xué)，必須首先要有針對性和適用性較強(qiáng)的教學(xué)案例，教學(xué)案例的質(zhì)量直接影響到案例教學(xué)的實(shí)施效果。在具體教學(xué)過程中，案例教學(xué)目標(biāo)設(shè)計可以分為以下幾個方面：

（1）在內(nèi)容上，案例來源于實(shí)際生活又高于實(shí)際生活；每個案例都側(cè)重于分析和研究利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計來解決的實(shí)際問題；在案例之后均附有相關(guān)的思考與討論題，用以加深對相關(guān)內(nèi)容的理解和掌握。

（2）在方法上，考慮我校以師范為主的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)了案例選材的專業(yè)特點(diǎn)，把案例的目標(biāo)、要求、內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法等進(jìn)行整體設(shè)計；在案例的教學(xué)中，進(jìn)一步明確案例的具體背景、內(nèi)容和分析等，使學(xué)生通過對案例的具體分析與研究，從而提高了學(xué)生尋找問題，分析問題，解決問題的能力。（3）在體系上，注意與具體專業(yè)在內(nèi)容體系上的一致性，保持整體的協(xié)調(diào)性；注意概率統(tǒng)計課程中各個章之間、各個案例之間的有效過渡，保持該課程的整體性；注意案例的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)上的合理性。

2 案例教學(xué)在課程教學(xué)中的應(yīng)用

（1）做好案例教學(xué)的理論準(zhǔn)備。通過研究教材及教學(xué)大綱的基礎(chǔ)上加深對理論的了解。在明確了相關(guān)理論的基礎(chǔ)上來有效開展案例教學(xué)，從而能夠使學(xué)生更好地理解案例，達(dá)到客觀分析的效果。

（2）選擇典型的案例。一個好的案例應(yīng)同時具備目的性、啟發(fā)性、生動性等特點(diǎn)。因此我們按照教學(xué)目標(biāo)和要求來選擇典型案例。

（3）利用多種教學(xué)方式來輔助案例教學(xué)。在借助現(xiàn)代化信息技術(shù)的過程中，把案例教學(xué)的相關(guān)內(nèi)容用文本、圖形、聲音、影像等多種形式進(jìn)行有機(jī)組合，按照課程大綱，做到先易后難，先感性后理性的過渡，體現(xiàn)學(xué)生的主體意識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如在概率論講授泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系時，借助動畫可以讓學(xué)生非常直觀地看出他們之間的漸近逼近的關(guān)系。

（4）豐富考核方式。該課程的考核方式不再局限于期末一張試卷，增加了很多的過程考核（包括課堂參與情況，學(xué)習(xí)態(tài)度，個人或小組案例分析報告等），在課程總評成績中，加大了后者所占的比例。在期末考核中，可以嘗試進(jìn)行開卷考試，重點(diǎn)考查學(xué)生在處理實(shí)際問題時，運(yùn)用概率統(tǒng)計知識解決問題的能力。

限于篇幅，筆者就以概率論中學(xué)習(xí)貝葉斯公式時，選用的案例為伊索寓言中“孩子與狼”的故事說明案例法在該課程教學(xué)中的應(yīng)用：

課前按照小組（4～6人為一組，可以自由組合）布置任務(wù)：（一）學(xué)生去圖書館或網(wǎng)上查閱“孩子與狼”這個故事的具體內(nèi)容，（二）提前預(yù)習(xí)貝葉斯公式的相關(guān)內(nèi)容，（三）思考，為什么那個小孩最后會被吃掉？村民對這個小孩的可信程度是如何下降的？能否定量刻畫該變化過程？

上課時，首先讓一至兩位同學(xué)復(fù)述該案例的內(nèi)容，即“孩子與狼”的故事，然后教師在PPT上打出具體內(nèi)容，講的是一個小孩每天在山上放羊，山里有狼出沒。有一天，他在山上喊：“狼來了！狼來了！”山下村民聞訊便去打狼，可到了山上，發(fā)現(xiàn)狼沒有來；第二天仍然如此；第三天狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因?yàn)榍皟商焖f了謊，人們不再相信他了。

附上相應(yīng)的思考題：分析故事中村民對這個小孩的可信程度是如何下降的？能否定量刻畫該變化過程？

先讓小組派代表發(fā)言，教師結(jié)合學(xué)生發(fā)言進(jìn)行總結(jié)與補(bǔ)充！

解答步驟如下：

首先利用數(shù)學(xué)模型定量研究實(shí)際問題問題，需要引入變量及數(shù)學(xué)記號，令A(yù)=“小孩撒謊”，B=“小孩可信”，分析故事中村民對這個小孩的可信程度是如何下降，也就是計算和比較事件B在新的信息下的概率的變化，即條件概率；另外A=“小孩撒謊”認(rèn)為是該試驗(yàn)中的結(jié)果，造成該結(jié)果的因素分別為B=“小孩可信”和“小孩不可信”，該問題屬于典型的“由果求因”問題。

其次，為了進(jìn)行定量分析，作必要的假設(shè)。為了計算，根據(jù)以往村民對這個小孩的印象作如下假設(shè)：P（B） = 0.8，另外假定“可信的孩子說謊”與“不可信的孩子說謊”的概率分別為第一次村民上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒有來，即小孩說了謊，村民根據(jù)這個信息，對這個小孩的可信程度改變?yōu)?，由條件概率= 0.444，這表明村民上了一次當(dāng)后，對這個小孩的信任程度由原來的0.8調(diào)整為0.444，也就是村民對這個孩子的最初印象P（B）= 0.8，調(diào)整為P（B）= 0.444，在這個基礎(chǔ)上，我們再用公式計算，亦即計算這個小孩第二次說謊后，村民對他的可信程度，即概率，經(jīng)計算得以上結(jié)果表明村民經(jīng)過兩次上當(dāng)后，對這個小孩的可信程度由最初的0.8下降到0.138。

思考題：請學(xué)生自己利用以上公式計算一下，這個小孩第三次說謊后村民對他的可信程度？請同學(xué)搶答，經(jīng)計算得如此低的可信度，村民聽到第三次呼叫時怎么會再上山去打狼呢？

還可以讓學(xué)生進(jìn)一步討論通過這個故事我們可以得到什么啟示？經(jīng)過討論得出結(jié)論：如果一個人有兩次不守信用，到第三次還有人相信他嗎？該案例也對“事不過三”做了很好的闡述。另外通過該例題的分析與解答給出課程中的有關(guān)貝葉斯公式的內(nèi)容、能解決的問題和運(yùn)用過程中的注意點(diǎn)。課后作為練習(xí)，可以讓學(xué)生改變假設(shè)條件（先驗(yàn)概率）或通過抽樣獲得先驗(yàn)概率的估計值再次分析故事中村民對這個小孩的可信程度是如何下降的？

注：這個故事學(xué)生都比較熟悉，但貝葉斯公式初次接觸，把這兩者通過案例巧妙地結(jié)合在一起，既提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又通過適當(dāng)?shù)恼n堂討論，在學(xué)習(xí)知識的同時還間接滲透誠信教育，可謂一舉多得。通過課堂討論和課后分組調(diào)研，學(xué)生不僅認(rèn)真學(xué)習(xí)理論知識，還學(xué)會設(shè)計問卷建立模型，鍛煉了解決問題的能力。

3 對案例法應(yīng)用的效果分析

（1）提高了教學(xué)效率。通過案例教學(xué)，可以把理論與實(shí)踐結(jié)合起來，充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識，促使他們做出分析與決策，變被動聽課為積極思考，啟發(fā)了學(xué)生的思維。

（2）激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。利用課堂討倫、小組學(xué)習(xí)等多種形式來開展案例教學(xué)，因此，學(xué)習(xí)內(nèi)容更加清晰、學(xué)習(xí)資源更加豐富，學(xué)習(xí)方法更加靈活，同時提高了學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性與主動性，激發(fā)了學(xué)生深入探討的興趣，使得學(xué)習(xí)效果顯著。

（3）提高了教師的業(yè)務(wù)能力。通過對案例搜集及后期對例子進(jìn)行合理的加工、整理和課后對相關(guān)案例進(jìn)行的修正和更新，提高了教師在概率統(tǒng)計課程中的教學(xué)及科研水平。

同任何事物一樣，案例教學(xué)也具有兩面性。下面結(jié)合筆者在使用案例教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些主要問題談一下該如何正確認(rèn)識和運(yùn)用案例教學(xué)。首先來看下問題，主要有以下幾個方面：

（1）教學(xué)案例的統(tǒng)籌策劃問題。比如，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中哪一部分以案例教學(xué)為主，哪些章節(jié)適宜用案例教學(xué)法，課堂教學(xué)中案例教學(xué)應(yīng)占多少比例合適等問題。

（2）案例缺乏質(zhì)與量的保證。在教學(xué)實(shí)踐中，往往會出現(xiàn)教學(xué)案例所涉及的行業(yè)過窄，或者借鑒國外的已有案例時效性和代表性都較差。

（3）案例教學(xué)實(shí)施過程中，對學(xué)生的全程參與及學(xué)生參與的積極性調(diào)動方面做得不夠好。比如在課堂討論上，有時未能及時給予必要的引導(dǎo)，而使得學(xué)生只是泛泛地了解而沒有對案例進(jìn)行全面分析與研究。

針對以上問題提出以下改進(jìn)案例教學(xué)的一些建議：

（1）對教學(xué)案例的統(tǒng)籌設(shè)計。該教學(xué)設(shè)計應(yīng)從整個課程體系層次進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃，案例教學(xué)實(shí)施前，必須制定科學(xué)的目標(biāo)和計劃，合理地設(shè)計出該教學(xué)的實(shí)施方案，設(shè)計配套的多元考核方式。

（2）加大對教學(xué)案例庫的建設(shè)。要本著“以學(xué)生為主體，以培養(yǎng)解決問題為目標(biāo)”的理念，篩選出典型的案例。同時在設(shè)計案例時，要強(qiáng)調(diào)案例與所學(xué)知識的相關(guān)性、案例素材的典型性和案例的時效性。

（3）加強(qiáng)對指導(dǎo)方法的設(shè)計。因?yàn)樵诮虒W(xué)過程中，學(xué)生的前期準(zhǔn)備、課堂中的積極思考和分析論證均有利于提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，而提高的程度則依賴于教師恰到好處的引導(dǎo)與總結(jié)，所以，加強(qiáng)對指導(dǎo)方法的設(shè)計顯得尤為重要。

俗話說：尺有所長，寸有所短。盡管該教學(xué)法在很多方面具有比較優(yōu)勢，但不能說案例法就可以一家獨(dú)大，能夠取代其他各種教學(xué)方法。因此，要求我們在進(jìn)行該課程教學(xué)過程中，要充分考慮到不同教學(xué)方法的多元性和合理性，處理好各種教學(xué)法的相互關(guān)系，使之相得益彰。

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