嵇憲長

[摘 要]發(fā)現(xiàn)一個問題比解決一個問題更重要。在數(shù)學(xué)課堂中，要努力讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)者，并以此作為推進(jìn)課堂進(jìn)程和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。為了達(dá)成這一目標(biāo)，教師要善于依托新知引入、新知形成、新知深化等學(xué)生的“認(rèn)知節(jié)點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并通過教師引領(lǐng)、同伴互動、自我提問等角度，讓學(xué)生領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)問題的一些方法，不斷增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題的本領(lǐng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)問題 發(fā)現(xiàn) 認(rèn)知節(jié)點(diǎn) 提問方法

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-009

一、對于“發(fā)現(xiàn)問題”的理性認(rèn)識

說起“問題”對于數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性，好像沒有人比當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾斯說得更加形象和深刻了，他用了這樣一個比喻：“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！边@句話直觀而簡明地道出了“問題”在數(shù)學(xué)這門學(xué)科的創(chuàng)立、形成、完善、發(fā)展、分化等過程中的基礎(chǔ)地位和獨(dú)特價值。

那么，圍繞“數(shù)學(xué)問題”本身進(jìn)行的系列活動中，兩種最基本的活動——發(fā)現(xiàn)、提出問題與分析、解決問題，到底誰更重要呢？

其實(shí)，在更早時候，就已經(jīng)有人對這個問題做出了自己的應(yīng)答。

愛因斯坦根據(jù)自己終生從事科學(xué)研究的體驗(yàn)，語重心長地喊出：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要！”接著，他給出了理由：“因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”

我信仰這個世界上最偉大的科學(xué)家的結(jié)論，更折服于他給出的非常充分的理由。

或許是現(xiàn)實(shí)對歷史的繼承，或許是中國對世界的回應(yīng)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“總目標(biāo)”中明確提出學(xué)生能“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。這就是所謂的由“兩能”發(fā)展為“四能”，并且把“學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題”作為“創(chuàng)新的基礎(chǔ)”，要求“應(yīng)該從義務(wù)教育階段開始培養(yǎng)，并貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”。

具體地說，“貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”，就是要把培養(yǎng)“學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題”的意識和能力實(shí)實(shí)在在地落實(shí)到每一節(jié)課中，分化到每一個教學(xué)內(nèi)容中。為此，就需要在觀念上做出如下的真實(shí)轉(zhuǎn)向：學(xué)生由問題的應(yīng)答者和解決者成為問題的發(fā)現(xiàn)者和提出者，教師由問題的設(shè)計(jì)者和發(fā)起者成為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的啟發(fā)者和促進(jìn)者。

一句話：要讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)者。

這并不容易。正如鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功》一書中所說的那樣：“毋庸置疑，對于課堂提問的高度重視正是中國數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的一個重要方面。‘大班教學(xué)的現(xiàn)實(shí)是促成這一現(xiàn)象的一個重要原因，因?yàn)樵趯W(xué)生人數(shù)眾多的情況下，適當(dāng)?shù)奶釂栵@然可以被看成同時實(shí)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位與教師在教學(xué)過程中的主導(dǎo)作用的一個有效手段，特別是，通過提出有一定挑戰(zhàn)性、同時又適合學(xué)生的認(rèn)知水平、具有一定啟發(fā)意義的問題，我們不僅可以促使學(xué)生積極地去進(jìn)行思考，同時也可發(fā)揮重要的引導(dǎo)作用。”

在這段話中，鄭毓信教授不僅高屋建瓴地指出了“善于提問”對于數(shù)學(xué)課堂有效性的重要意義，而且比較真實(shí)地描繪了當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂的普遍生態(tài)：教師問，學(xué)生答；教師拋出，學(xué)生接受。

接下去，他的話更加耐人尋味。

“‘問題引領(lǐng)更可被看成數(shù)學(xué)教學(xué)中努力實(shí)現(xiàn)‘雙主體的關(guān)鍵所在，這也就是指，不僅任課教師應(yīng)當(dāng)清楚地知道每一堂課主要解決什么問題，也應(yīng)努力幫助學(xué)生建立相關(guān)的認(rèn)識，學(xué)生就能圍繞問題自覺地去進(jìn)行學(xué)習(xí)?！?/p>

在讀這段話時，我把重點(diǎn)放在后半句上——努力幫助學(xué)生建立相關(guān)的認(rèn)識，學(xué)生就能圍繞問題自覺地去進(jìn)行學(xué)習(xí)。

怎樣“幫助學(xué)生建立相關(guān)的認(rèn)識”？按照我的理解，那就是要教師創(chuàng)設(shè)出適當(dāng)?shù)摹皢栴}情境”，借此調(diào)動學(xué)生的好奇心、求知欲，讓他們的思維在一定的問題空間中自由游走，敏銳地覺察到真實(shí)問題的存在（也即發(fā)現(xiàn)問題），并能用相對嚴(yán)謹(jǐn)專業(yè)的數(shù)學(xué)用語（文字、圖形、符號）表達(dá)出來（也即提出問題）。

不妨再進(jìn)一步勾勒：以學(xué)生為主體，讓學(xué)生面臨真實(shí)的問題情境，在此基礎(chǔ)上生成屬于自己的數(shù)學(xué)問題，并把這些問題作為推進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)程和促進(jìn)深度理解的抓手和方式，構(gòu)建更加開放、更加靈活、有著更多可能性的教學(xué)時空。

方向算是有了，問題也就接著來了。這個教學(xué)主張，落實(shí)到一節(jié)課中，從方法論的角度去衡量，最起碼有兩個基本問題需要思考和實(shí)踐。一是在教學(xué)某一具體內(nèi)容時，可以選擇哪些適宜的“認(rèn)識節(jié)點(diǎn)”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題？二是如何在教學(xué)過程中滲透一些發(fā)現(xiàn)問題的常規(guī)方法，從而讓學(xué)生“有法可依”，以便切實(shí)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和水平？以下將通過一些具體案例嘗試回答。

二、如何依托“認(rèn)識節(jié)點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，有一些“認(rèn)識節(jié)點(diǎn)”需要他們積極回應(yīng)，主動探索，方能實(shí)現(xiàn)認(rèn)知上的跨越式發(fā)展。比如：在新知的引入環(huán)節(jié)，常常需要他們調(diào)整觀念；在新知的形成環(huán)節(jié)，常常需要他們認(rèn)真辨析；在新知的鞏固環(huán)節(jié)，常常需要他們透視洞察。要想較好地達(dá)成上述目標(biāo)，就要求學(xué)生能主動觀察、主動質(zhì)疑、主動探索。依托上述“認(rèn)識節(jié)點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，正是促成目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的良好手段，讓新知識經(jīng)過學(xué)習(xí)主體的同化或順應(yīng)后，幫助學(xué)生建構(gòu)更高水平、更加穩(wěn)定、更為豐富的新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.明確困惑，指引思維方向

學(xué)生學(xué)習(xí)新知第一個關(guān)口就是舊觀念和新知識之間的障礙和沖突，教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生非常真切地感受到這個沖突，這樣才能為接下來的思考和研究指引方向，積蓄力量。

【案例1】三位數(shù)除以一位數(shù)

在計(jì)算了712÷4，復(fù)習(xí)除的順序和算理后，出示例題：

師：請同學(xué)們獨(dú)立讀題，并在自備本上列式，嘗試豎式計(jì)算。在除的過程中，請注意你是否遇到一個新的問題。（生試算）

師：現(xiàn)在開始交流剛才計(jì)算時的感受。誰來說說你是按照什么順序來計(jì)算這道除法算式的？

生1：是按照從高位到低位的順序，依次地一位一位地往下除。（舊知）

師：好。第一步，除百位。（注意：一定要從這里講起）在除百位時，你遇到什么問題了嗎？能比較清晰地表達(dá)你所遇到的問題嗎？

生2：除百位時，我發(fā)現(xiàn)百位上的數(shù)字3沒有除數(shù)4大，不夠除。

師：大家同意他的說法嗎？你們是不是也遇到和他同樣的問題？對。百位上的數(shù)字3沒有除數(shù)4大，在除法中我們把這種情況稱為“百位上不夠除”。遇到這種情況，我們應(yīng)該怎么辦呢？（板書課題：首位不夠除，怎么辦？）這就是我們今天主要研究并解決的問題。

生3：只要把它和十位上的數(shù)合起來繼續(xù)除就可以了。

師：不錯。請認(rèn)真觀察712÷4和312÷4，你有什么發(fā)現(xiàn)？或許會對你處理這個新問題有點(diǎn)啟發(fā)。

……

奧蘇伯爾認(rèn)為，有意義學(xué)習(xí)必須具有三個條件：第一，學(xué)習(xí)材料具有邏輯意義；第二，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有同化新知識的原有知識基礎(chǔ)；第三，將材料的潛在意義轉(zhuǎn)化為學(xué)生心理意義的一個重要條件就是學(xué)生具有有意義學(xué)習(xí)的心向。具有有意義學(xué)習(xí)心向的學(xué)生，能主動地將新材料與頭腦中原有知識進(jìn)行相互作用，其結(jié)果是獲得心理意義。

對于前兩個條件來說，教材按照知識發(fā)展序列由易到難地編排兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，在某種程度上已可保障。接下來，教師的主導(dǎo)作用就應(yīng)該體現(xiàn)在如何最大限度地在課堂上幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“有意義學(xué)習(xí)”的第三個條件了。

在這個案例中，值得一說的細(xì)微之處有這樣三點(diǎn)。一是在學(xué)生與新知遭遇的“關(guān)口”，教師注意引導(dǎo)學(xué)生體會“想追求而又未找到適當(dāng)手段處理方法”的心理困惑，并通過“大家同意他的說法嗎？你們是不是也遇到和他同樣的問題？”將個體問題擴(kuò)展成群體問題，以此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，明確問題所在，指引思維方向，為下面的探究交流活動蓄勢助力。二是用“首位不夠除，怎么辦？”這樣的一般疑問句作為課題。在本單元中，我有意識地盡量以諸如“個位有余數(shù)，怎么辦？”“首位不能整除，怎么辦？”“十位上不夠除，怎么辦？”等疑問句方式作為課題呈現(xiàn)，這是我的一個嘗試。個人以為，把學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題用文字的形式記錄下來，并且作為課題使用，這本身就是對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的一種肯定，同時還是不著痕跡的啟發(fā)和誘導(dǎo)。況且，“一般疑問句”比“普通陳述句”更能引起人的關(guān)注，引發(fā)人的思考。所以，這樣的方式，值得一試。三是設(shè)計(jì)安排“712÷4”和“312÷4”這兩個豎式的對比，就是期望那些具有有意義學(xué)習(xí)心向的學(xué)生，能主動地將新材料與頭腦中原有知識進(jìn)行相互作用，從而比較順利地把材料的潛在意義轉(zhuǎn)化為學(xué)生的心理意義。

2.質(zhì)疑新知，獲得深度理解

在新知剛剛揭示時，學(xué)生對新知的理解相對而言還是比較膚淺、片面的。這時，往往需要教師帶領(lǐng)學(xué)生對這些結(jié)論本身進(jìn)行質(zhì)疑，引導(dǎo)辨析，促進(jìn)學(xué)生的深度理解。

【案例2】分?jǐn)?shù)的認(rèn)識

師（在學(xué)生通過自學(xué)知曉分?jǐn)?shù)各部分名稱后）：現(xiàn)在請同學(xué)們匯報一下剛剛自學(xué)的成果。

生1：二分之一的中間的橫線是分?jǐn)?shù)線，2是分?jǐn)?shù)的分母，1是分?jǐn)?shù)的分子，像二分之一這樣的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

師（根據(jù)學(xué)生回答板書）：現(xiàn)在黑板上出現(xiàn)了四個名稱，你能針對這四個名稱提出一些問題幫助大家繼續(xù)思考嗎？

生2：母、子本是指人，為什么在分?jǐn)?shù)中出現(xiàn)了表示人的詞語？

師：是啊。一個數(shù)為什么要用上表示人的詞語呢？這究竟是為什么？這個問題值得思考。

生3：這里的母子是一種比喻關(guān)系，比喻這兩個數(shù)之間的關(guān)系就好像一對母子一樣。

師：為什么這兩個數(shù)是一對母子關(guān)系呢？能不能結(jié)合分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程舉例來講一講。

生4：比如二分之一吧。要先把一個蛋糕平均分成兩份，這樣每人才能分得一份。這一份就是它的二分之一。產(chǎn)生的過程是先有“2”，再有“1”，就好像先有母，再有子一樣。

師：對著“分?jǐn)?shù)”這個詞語，能不能提個問題呢？

生5：為什么把這樣的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)呢？

師：非常好。她已經(jīng)知道在一個詞語前面，只要再加上“為什么”，就會成為一個很好的問題。

生6：應(yīng)該是因?yàn)檫@些數(shù)都是經(jīng)過平均分才出現(xiàn)的數(shù)，所以就是分?jǐn)?shù)了。分的意思其實(shí)就是平均分。

師：四個名稱中我們已經(jīng)討論了三個。那順便討論一下分?jǐn)?shù)線可能代表什么意思呢？

生7：分?jǐn)?shù)線就是把分母和分子隔開的一條線。

師：其實(shí)，分?jǐn)?shù)線可以看做分蛋糕時的那把刀，它正在把蛋糕平均地切開。這條線就可以代表平均分的意思。

按照美國著名心理學(xué)家加涅的研究，“分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)線”“分母”“分子”這些專業(yè)的數(shù)學(xué)名詞的學(xué)習(xí)是屬于“言語信息”學(xué)習(xí)類型。人們在學(xué)習(xí)和記憶中發(fā)現(xiàn)，“凡是難以記憶的數(shù)字、人名、地名，或外語單詞，若人為地給它們賦予某些意義，記憶就會變得容易些”。據(jù)此，心理學(xué)家提出了記憶的精加工策略。

上述的學(xué)習(xí)過程可以看成是利用了“精加工策略”來幫助學(xué)生理解這些名詞，它的源頭就是學(xué)生的提問。讓學(xué)生從看似沒有問題的地方發(fā)現(xiàn)問題，這會引發(fā)學(xué)生的有意注意，他們會主動思考：這里面有什么問題嗎？我怎樣才能提出問題呢？這樣思考的心向和強(qiáng)度都是教師直接提問所無法達(dá)到的。更為重要的是，在提出問題和解答問題的過程中，從他人身上，學(xué)生或許領(lǐng)會了一些提出問題的方法和技巧，讓這些規(guī)定性知識變得有了那么一點(diǎn)意義，感悟到數(shù)學(xué)是講道理的，是有點(diǎn)人情味的，是有其自身的合理性的。

3.尋根究底，洞悉變化原因

鞏固的過程就是提高的過程，但是這種提高不是自然而然的，它需要學(xué)生以一種“介入”、“參與”的態(tài)度，保持思維的深度加工。而引導(dǎo)學(xué)生從不斷變化的問題中發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，就是促使學(xué)生“把自己擺進(jìn)去”。這意味著學(xué)生已經(jīng)成為問題的“參與者”，而不是“旁觀者”，意味著學(xué)生已經(jīng)成為問題的“當(dāng)事人”，而不是“局外人”。

【案例3】認(rèn)識平均數(shù)

師：剛剛我們是通過直觀初步理解了“平均數(shù)”的意義，知道了求“平均數(shù)”有兩種基本方法，下面我們脫離條形圖，直接面對數(shù)，看看能不能選擇合適的方法，找出每組數(shù)的平均數(shù)。（出示第一組：4 5 6）

生1：我愿意用“移多補(bǔ)少”法。從6中拿1給4，4變成5，6也變成5，5還是5，所以這組數(shù)的平均數(shù)是5。

師：如果老師把這三個數(shù)中的6變成9呢？（改動出示第二組：4 5 9）

生2（經(jīng)過思考和討論）：我用“先分再合”法。4+5+9=18，18÷3=6。

生3：我用“移多補(bǔ)少”法。從9中拿1給5，再拿2給4，這樣4變成6，5變成6，9也變成6，所以這組數(shù)的平均數(shù)是6。

師：再變。（出示第三組：4 5 69）

生4：我用“先合再分”法。4+5+69=78，78÷3=26，這組數(shù)的平均數(shù)是26。

生5：我用“移多補(bǔ)少”法。從69中拿22給4，再拿21給5，這樣三個數(shù)就都是26了。

師（追問）：你怎么想出從69中分別拿出22和21呢？

生5：我是先算出平均數(shù)是26，才知道要拿出22和21的。（全班同學(xué)都笑了）

師：這進(jìn)一步證明了對于這樣的三個數(shù)，合適方法應(yīng)該是“先合再分”。但剛才這位同學(xué)的厲害之處，就在于他知道了這兩種方法之間是有非常密切的聯(lián)系，我們可以先用一種方法算出來，再用另一種方法驗(yàn)算，這樣做題就可以確保正確?，F(xiàn)在請大家看看剛剛這三組數(shù)以及它們的平均數(shù)（電腦呈現(xiàn)4 5 6；4 5 9；4 5 69），你能提出一些問題考考其他同學(xué)，幫助他們理解這其中的關(guān)系嗎？

生6：為什么這三組數(shù)的平均數(shù)會越來越大？

生7：因?yàn)槠渲杏幸粋€數(shù)越來越大，由6變成9再變成69。

生8：為什么第二組的平均數(shù)只比第一組的大1，而第三組的平均數(shù)比第二組的大20？

……

要讓學(xué)生不僅知其然，還要知其所以然。這一要求不僅體現(xiàn)在學(xué)生新知的接受過程中，也應(yīng)體現(xiàn)在知識的鞏固過程中。在學(xué)生逐一選擇合適的方法求出平均數(shù)后，及時殺一個回馬槍，讓學(xué)生整體觀照，據(jù)此提出一些問題深入思考。千萬別小看了學(xué)生提出的問題，這標(biāo)志著學(xué)生已經(jīng)由單一式思考走向發(fā)展式思考，由離散性思維走向綜合性思維。

三、如何滲透提問方法，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)本領(lǐng)

正如要在游泳中學(xué)習(xí)游泳一樣，發(fā)現(xiàn)問題的能力也必須在引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的過程中才能得到逐步提升。雖說問題的存在與否因人而異，能否發(fā)現(xiàn)和提出問題也與所處的情境、氛圍等主客觀要素直接相關(guān)，但是作為教師，還應(yīng)該從一般性和普遍性角度出發(fā)，尋找到帶有方法論性質(zhì)的提問角度和技巧，并在教學(xué)過程有機(jī)地滲透這些策略性知識，以期學(xué)生能在發(fā)現(xiàn)問題方面取得實(shí)實(shí)在在的進(jìn)步和提高。

1.教師引領(lǐng)，感悟發(fā)現(xiàn)角度

在“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”一課上，學(xué)生在我的帶領(lǐng)下得到了：把一塊蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一。

為了加深學(xué)生對這句話的理解，我要求學(xué)生對這句話進(jìn)行一些質(zhì)疑式提問，引導(dǎo)和幫助學(xué)生領(lǐng)悟與分?jǐn)?shù)相關(guān)的各個要素的意義。剛開始學(xué)生面面相覷，不知我想表達(dá)什么意思。課堂上一片寂靜。

看來只有我成竹在胸，那也就不必再等了。就在學(xué)生困惑愣神之際，我拿起粉筆把“一塊蛋糕”這四個字圈起來，并用粉筆在它們上面敲了兩下，不急不慢地問出：“難道一定要把‘一塊蛋糕平均分成2份，每份才是它的二分之一嗎？”在問出這句話時，我提高了音量，并且重復(fù)了一次。

三年級的學(xué)生對于相關(guān)數(shù)知識的認(rèn)識當(dāng)然不會那么機(jī)械，他們紛紛表示“不一定是蛋糕”，并且不斷舉例，從具體物品到數(shù)學(xué)中的圖形直至任何的“一個”。這時，我乘機(jī)出示了各種不同的二分之一：一條線段的，一個長方形的，一個正方形的，一個橢圓的，一個彩帶的……目的當(dāng)然是讓學(xué)生意識到不管什么“一個”，只要把它平均分成2份，每份就是它的二分之一。

“剛剛就在你們束手無策、不知所措時，老師對這句話中的‘一個蛋糕進(jìn)行質(zhì)疑提問，引發(fā)了大家這么豐富的思考?，F(xiàn)在你們能不能模仿老師的樣子，對這句話中的某個詞語進(jìn)行質(zhì)疑提問，引發(fā)大家的熱烈討論呢？”我的這番話可以看做自我表揚(yáng)，但更是拋磚引玉。

這時班級里舉手的學(xué)生還比較少，只有七、八個的樣子。我選了一個平時挺機(jī)靈的小男孩上來了。不出所料，他表現(xiàn)不錯，基本是模仿我的樣子，一圈，一敲，問出：“難道一定要平均嗎？”他圈的當(dāng)然是“平均”這兩個字了。

他的話音未落，有些學(xué)生就忍不住了：“一定要平均分，不然就不一樣大了?！蔽耶?dāng)然不會放過這樣的機(jī)會，及時出示“下面幾幅圖中，哪幅圖中的陰影部分能夠用四分之一來表示？為什么？”這道判斷題是讓學(xué)生判斷并說明理由。

至此，學(xué)生中的大多數(shù)都明白了我所說的“針對這句話中的關(guān)鍵詞語進(jìn)行質(zhì)疑提問”的意思了，絕大多數(shù)學(xué)生都自信地舉起了手。就這樣，依照詞語的順序，下一個學(xué)生對“2份”進(jìn)行了質(zhì)疑，并提出了“難道一定要平均分成兩份嗎？”就這樣，非常自然地引出了分?jǐn)?shù)大家族中的其他成員，并且學(xué)生通過想象初步感受了“無限”的觀念。瞧！在教師的示范引導(dǎo)下，學(xué)生從無疑到有疑，從不會提問到模仿提問。我的“言傳身教”的作用得到了比較充分的發(fā)揮，以學(xué)生的問題來驅(qū)動教學(xué)的這一想法在這一節(jié)課中也得到比較完美的實(shí)現(xiàn)。

2.同伴互動，實(shí)現(xiàn)融通共進(jìn)

如果從學(xué)生個體出發(fā)來區(qū)分，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出的問題不外乎這樣兩種：一種是這個問題對于自己來說確實(shí)是個問題，基于這樣的現(xiàn)狀提出問題的目的是敞亮自己；一種是自己已經(jīng)明白但依然有部分同學(xué)不能或不太明白的問題，基于這樣的現(xiàn)狀提出問題的目的是幫助他人。無論是哪種出發(fā)點(diǎn)，只要能提出問題，都值得肯定。因?yàn)檫@樣的問題發(fā)現(xiàn)和提出能促進(jìn)群體思維的激蕩和碰撞，并有可能通過這種激蕩和碰撞引起個體內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)張和完善。

實(shí)踐中，為了促進(jìn)學(xué)生之間的交流，當(dāng)一個學(xué)生呈現(xiàn)出解題的結(jié)果時，我們會經(jīng)常鼓勵其他的學(xué)生向解題者發(fā)問，讓他用語言表達(dá)出自己的思考過程，這樣既可以考查他是否已經(jīng)真正理解，同時也讓其他學(xué)生在聽著他描述的過程中也跟著思考了一遍。

比如，面對這樣一道題，我找了兩個水平不一樣的學(xué)生在黑板上板演：

其中一位學(xué)生是常規(guī)解法：15×2=30（元），30+5=35（元）；

另一位學(xué)生是獨(dú)特解法：5×7=35（元）。

我組織了這兩位學(xué)生和其他學(xué)生之間的互動。

師：現(xiàn)在請下面的同學(xué)通過一些恰當(dāng)?shù)奶釂枺屵@兩位同學(xué)講一講他們各自的想法。誰愿意來試試。

生1：請1號同學(xué)講一講你每一步算出的是什么？（1號逐步敘述）

生2：請2號同學(xué)講一講你算式中的“7”是怎么來的？原來的題目中好像沒有“7”這個數(shù)據(jù)。（2號按照成人票和兒童票之間的關(guān)系，已經(jīng)悄悄地把成人票和兒童票進(jìn)行了兌換）

在課堂上經(jīng)常進(jìn)行類似的同伴互動，目的是要形成同伴互動間的常規(guī)套路。比如：

做題者：題目我已經(jīng)做完了，到底對不對呢？請大家評判。

做題者：針對我這種做法，還有什么要問我的嗎？

發(fā)問者：你是怎么想的？你的答案是怎么來的？你的每步算式代表什么意思？

做題者：我已經(jīng)講完了，大家聽懂了嗎？謝謝大家！

給學(xué)生規(guī)范一些日?；拥挠谜Z，讓學(xué)生掌握一些常用的互動問題，會使課堂呈現(xiàn)不一樣的風(fēng)貌，營造平等、和諧、靈動的課堂氛圍。學(xué)生在這樣的氛圍中互相追問，就能感到學(xué)習(xí)是一種享受，思考是一種歷險，分享是一份榮耀。

3.自我提問，形成解題策略

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞為了讓更多的人發(fā)揮解題的天性，他總結(jié)出了所謂的“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”。按照鄭毓信教授的觀點(diǎn)，它其實(shí)就是“一般性的思維方法（也即解題策略）”，具有普遍性和常識性，希望借此對人類的解題活動起到一定的啟發(fā)或指導(dǎo)作用。

那么，什么又是“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的主要內(nèi)容呢？其實(shí)就是在整個解題過程中不斷地對自己提出的一個又一個問題。通過這些問題，解題者能夠保證自己始終是在進(jìn)行有意識的思維，對于自身所從事的解題進(jìn)度一直保持清醒的自我意識。因?yàn)?，真正的解題活動并非是一個按照事先制定的程序一成不變地加以實(shí)施的機(jī)械過程，而是一個需要不斷對新發(fā)生的情況進(jìn)行評估并隨時做出必要調(diào)整的動態(tài)過程（鄭毓信語）。由此可見，即使是解題活動，也與主體在此過程中是否善于提出問題引導(dǎo)自己的思維方向有很大的關(guān)聯(lián)。

從發(fā)現(xiàn)問題的角度，應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的具體內(nèi)容，但鑒于小學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知發(fā)展水平，或許以下一些問題可以讓學(xué)生在解題過程中自覺主動地問問自己。

（1）弄清題意時。這道題講的是一件什么事情？條件是什么？問題是什么？有什么地方值得自己特別注意？

（2）分析解題時。根據(jù)題目的特點(diǎn)，我應(yīng)該采用什么方法幫助自己思考？哪兩個條件之間有直接的聯(lián)系？這個問題的求出對最終問題的解決有幫助嗎？還有哪個條件暫時沒有用？

（3）檢查回顧時。我的答案大致正確嗎？我能驗(yàn)證這個答案嗎？是否還有其他的方法？

這些問題在頭腦中的不斷閃現(xiàn)，將在很大程度上改善部分學(xué)生在解題活動中不假思索“一根筋”的做法，力求做到在整個解題過程中都能始終做到“心中有數(shù)”，對自己目前的“解題處境”能夠做出清醒的自我評估，并能做出相應(yīng)的調(diào)整，從而逐步養(yǎng)成自我反思的良好習(xí)慣，培養(yǎng)自身的理性精神和批判能力。

（責(zé)編 金 鈴）