李紀(jì)闊

【摘要】“問題”是高三數(shù)學(xué)課堂的中心，“問題”貫穿數(shù)學(xué)課堂的始終，提高復(fù)習(xí)效率已成為數(shù)學(xué)教師必須面對的問題.如何做到精選問題，筆者認(rèn)為選題要做到能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此，教師有必要對問題的價(jià)值做出判斷，對問題的功能充分開發(fā)，從而達(dá)到理想的復(fù)習(xí)效果.

【關(guān)鍵詞】學(xué)科本質(zhì);基本數(shù)學(xué)概念;數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)理性美

“問題”是高三數(shù)學(xué)課堂的中心，“問題”貫穿數(shù)學(xué)課堂的始終，承擔(dān)著決戰(zhàn)考場的重任.高三數(shù)學(xué)問題教學(xué)的目的是幫助學(xué)生掌握基本知識(shí)和基本概念，啟迪學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的能力.因此教師有必要對問題的價(jià)值做出判斷，對問題的功能充分開發(fā)，對問題的解決過程充分展示，這才是提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量的有效保證.但目前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的現(xiàn)狀并不樂觀，主要表現(xiàn)為高投入、低產(chǎn)出.高三的復(fù)習(xí)課時(shí)間緊、內(nèi)容多、容量大.縱觀當(dāng)前的課堂教學(xué)，大多數(shù)是“教師講+學(xué)生聽+題海戰(zhàn)術(shù)”的模式.教師在上課時(shí)，生怕學(xué)生見的題型少，急于把更多的知識(shí)傳授給學(xué)生，拼命搶時(shí)間，和時(shí)間賽跑.學(xué)生就拼命地練，高三一學(xué)年下來，試卷一大堆.學(xué)生投入了大量時(shí)間、精力，做了很多題，題型也見了很多，但學(xué)生參加高考時(shí)，成績依然沒有多少提高.這種教學(xué)的“高投入，低產(chǎn)出”說明了改革課堂教學(xué)，精選問題，提高復(fù)習(xí)效率已成為數(shù)學(xué)教師必須面對的問題.如何做到精選問題，筆者認(rèn)為選題要做到能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

1.選題要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)一：對基本數(shù)學(xué)概念的理解.

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特有的屬性在思維中的反應(yīng)，它是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，脫離了概念數(shù)學(xué)就成了無源之水，無本之木.復(fù)習(xí)概念時(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)應(yīng)該放在概念的內(nèi)涵和外延上.分段函數(shù)的概念教學(xué)就是一個(gè)很好的素材，筆者對分段函數(shù)的復(fù)習(xí)做了如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

問題1 截取函數(shù)y=x2+1的圖像在（0，+∞）上的一部分，截取函數(shù)y=-x+1的圖像在區(qū)間-∞，0上一部分，將兩個(gè)截取部分拼在一起形成新的的圖像，問該圖像是否有資格成為某一函數(shù)的圖像？

問題2 數(shù)學(xué)講究用事實(shí)說話，用數(shù)據(jù)說話，該函數(shù)的解析式能否寫出來？

問題3 已知函數(shù)f（x）=x2+1，x>0

-x+1，x≤0，求ff-12.

問題4 知函數(shù)f（x）=x2+1，x>0

-x+1，x≤0且fa=4，求a的值.

問題5 已知函數(shù)f（x）=x2+1，x>0

-x+1，x≤0，解不等式f（x）≥2.

問題6 已知函數(shù)f1（x）=x-1，f2（x）=13x+1，g（x）=f1（x）+f2（x）2+f1（x）-f2（x）2.

若a，b∈-1，5，且當(dāng)x1，x2∈a，b時(shí)，gx1-gx2x1-x2>0恒成立，則b-a的最大值為（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞分段函數(shù)的概念展開.問題1、2的選取目的是加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解.問題3、4、5選取的目的是讓學(xué)生明確分段函數(shù)的關(guān)鍵是對自變量進(jìn)行分類討論.問題6是江南十校2013年考題，選取的目的是突出分類討論思想、函數(shù)思想，提高學(xué)生綜合分析問題的能力.

2.選題要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)二：對數(shù)學(xué)思想方法的把握

基本數(shù)學(xué)概念背后往往蘊(yùn)涵重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí);數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的策略和程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映;數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想較之于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用數(shù)學(xué)方法又處于更高層次，它來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用的數(shù)學(xué)方法，在運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及方法處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，具有指導(dǎo)性的地位.對于學(xué)習(xí)者來說，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度就會(huì)產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想，一旦數(shù)學(xué)思想形成之后，便對數(shù)學(xué)方法起著指導(dǎo)作用.因此，人們通常將數(shù)學(xué)思想與方法看成一個(gè)整體概念——數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)常用的數(shù)學(xué)思想和方法如下：1.函數(shù)與方程的思想;2.數(shù)形結(jié)合思想;3.分類討論思想;4.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

為了充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，筆者在二輪專題講解數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，分別設(shè)計(jì)了以下問題：

問題1 已知函數(shù)f（x）=2x-12x+1，若方程f（x）=k在區(qū)間（-∞，0）上有解，求k的取值范圍.

本題體現(xiàn)了函數(shù)與方程是一個(gè)“和諧”的整體，k只有以函數(shù)f（x）的一個(gè)函數(shù)值得“身份”出現(xiàn)，方程f（x）=k才能有解.

問題2 已知函數(shù)f（x）=f′（1）eex-f0x+12x2（e是自然對數(shù)的底）.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間;

（2）若方程12x2+a=f（x）在區(qū)間-1，2上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

此題是2013江南十?？碱}，題（1）其主要解題障礙是解析式中的f0和f′（1）不知如何求出.面對這兩個(gè)未知量，我們只需建立關(guān)于f0和f′（1）的二元一次方程組即可.解答如下：

解：f′（x）=f′（1）eex-f0+x

在邊上式中令x=1即得到f′（1）=f′（1）-f0+1.

①

在f（x）=f′（1）eex-f0x+12x2中令x=0 即得到f（0）=f′（1）e.

②

聯(lián)立①②解方程組即可得f（x）=ex-x+12x2.

此題在講解過程中如果只“空降”解題方法，呈現(xiàn)的只是一種光鮮而嚴(yán)謹(jǐn)甚至絕妙的解答，而沒有指出方程組是解決這一問題的重要工具，方法就像降落傘一樣從天上掉下來，學(xué)生也許能模仿這類題的解法，但不能將它遷移到新的解題情景中去，那么復(fù)習(xí)的效率將大打折扣.當(dāng)筆者指出方程組思想在本題中是如何運(yùn)用后，接下來的變式題學(xué)生就能輕松解決.

變式題： 已知函數(shù)f（x）=f′（1）x3-f（2）x2+1，求函數(shù)f（x）的解析式.

題（2）是函數(shù)與方程交融的一道?？荚囶}.如果題目讓我們求根，那么我們的操作對象別無選擇只能是方程本身，但我們遇到更多的問題是判斷或保證方程根的個(gè)數(shù)，此時(shí)我們常用的處理方式是將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，因?yàn)楹瘮?shù)有圖像，問題就會(huì)變得很直觀，方程解的個(gè)數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.簡解如下：

解：由12x2+a=f（x），得：ex-x+a=0.

令h（x）=ex-x+a，

由導(dǎo)數(shù)知識(shí)得到h（x）=ex-x+a在（-∞，0）上單調(diào)減，在（0，+∞）上單調(diào)增.

方程ex-x+a=0在區(qū)間-1，2上有兩根轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）=ex-x+a的圖像在區(qū)間-1，2上有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需h0<0

h-1≥0

h（2）≥0，解得：1

問題3 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-x，證明：f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立.

此題常見的錯(cuò)解是去證明[f（x）]max≤[g（x）]min，而事實(shí)上f（x）≤g（x）并不等價(jià)于[f（x）]max≤[g（x）]min，此題的難點(diǎn)是要證的不等式兩邊都是變化的，讓學(xué)生覺得難以“駕馭”.為此筆者在教學(xué)中先設(shè)計(jì)了如下一道題：

證明：不等式lnx-2（x-1）x+1>0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立.

本題學(xué)生基本都能解決，要證的不等式一邊是變化的而另外一邊是固定的數(shù)據(jù)0，0便是我們的 “參照物”，只需要證明函數(shù)f（x）=lnx-2（x-1）x+1在區(qū)間（1，+∞）上的最小值大于 “參照物”0即可.現(xiàn)在再來解決問題3，筆者在教學(xué)中只交給學(xué)生五個(gè)字：轉(zhuǎn)化與化歸，學(xué)生便很快將要證的不等式轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）≤0，從而問題得到輕松解決.

3.選題要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)三：對數(shù)學(xué)理性美的鑒賞

文學(xué)是以感覺經(jīng)驗(yàn)的形式傳達(dá)人類理性思維的成果，數(shù)學(xué)則以理性思維的形式描述人類的感覺經(jīng)驗(yàn).文學(xué)“以美啟真”，數(shù)學(xué)則“以真啟美”，能否領(lǐng)悟和欣賞數(shù)學(xué)的理性美是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本成分，能夠領(lǐng)悟和欣賞數(shù)學(xué)理性美也是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要?jiǎng)恿头椒?能夠把握數(shù)學(xué)理性美的本質(zhì)也有助于培養(yǎng)學(xué)生對待數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，進(jìn)而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程和學(xué)習(xí)成績.以下兩例均是旨在培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)理性美的鑒賞力特意選擇的兩道題.

例1 試題（2013安徽理科第20題改編）：設(shè)函數(shù)

fn（x）=-1+x+x222+x332+…+xnn2，x∈R，n∈N，證明：

（Ⅰ）對每個(gè)n∈N，存在唯一的xn∈23，1，滿足fn（x）=0;

（Ⅱ）對每個(gè)n∈N，xn>xn+1.

這里我們只求解題（Ⅱ），圖像上給我們的感性認(rèn)識(shí)就是xn>xn+1，但數(shù)學(xué)追求的是理性認(rèn)識(shí)，以下求解過程便體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性美.

解 ∵fn+1（xn）>fn（xn）且fn（xn）=fn+1（xn+1），

∴fn+1（xn）>fn+1（xn+1），又∵函數(shù)fn+1（x）在區(qū)間23，1上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴xn>xn+1.

例2 （2015合肥三模） 已知函數(shù)f（x）=lnx-2x+3.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=2tx-x+1，若g（x）>f（x）對x>0恒成立，求整數(shù)t的最小值.

這里我們只求解題（Ⅱ），令x=1，得到t>12，再令x=2，得到t>ln2，以上兩個(gè)結(jié)果給我們的感性認(rèn)識(shí)是t總是大于一個(gè)在區(qū)間0，1上的實(shí)數(shù)，即我們的感性認(rèn)識(shí)是整數(shù)t的最小值是1.但數(shù)學(xué)追求的是理性認(rèn)識(shí)，接下來只需令t=1證明g（x）>f（x）對x>0恒成立即可，證明的過程就是數(shù)學(xué)追求理性美的體現(xiàn).

綜上所述，高三數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是幫助學(xué)生基本知識(shí)和基本概念，啟迪學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生能力，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)理性美的鑒賞力.因此，教師有必要對問題的價(jià)值做出判斷，對問題的功能充分開發(fā)，從而達(dá)到理想的復(fù)習(xí)效果.