杜永溪

【摘要】 教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)由“量”到“質(zhì)”的飛躍這一轉(zhuǎn)化過(guò)程.“由點(diǎn)及面，多向輻射”的復(fù)習(xí)方式就是熟悉基本圖形，通過(guò)圖形變換，把有關(guān)知識(shí)通過(guò)圖形演變讓學(xué)生分析探究，由圖形得出性質(zhì)，多向輻射，牽出知識(shí)和思想方法的紅線(xiàn)，使學(xué)生形成知識(shí)系統(tǒng)和方法系統(tǒng)，形成數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】 基本圖形，分析圖形，培養(yǎng)能力

許多九年級(jí)學(xué)生反映不會(huì)復(fù)習(xí)幾何，以為幾何復(fù)習(xí)就是做題，把復(fù)習(xí)等同于做題.但是有同學(xué)做了大量的幾何題，復(fù)習(xí)的效果卻不明顯，在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)仍然沒(méi)有多少把握，缺乏分析幾何問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法和能力.而這些方法和能力又是中考復(fù)習(xí)階段必須形成的.

該如何有效組織中考幾何復(fù)習(xí)呢？本人做了一種新嘗試——由點(diǎn)及面，多向輻射.這是基于幾何基本圖形的復(fù)習(xí)方法，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年中考復(fù)習(xí)的實(shí)踐，取得了不俗的效果.

下面我從特殊平行四邊形——菱形的復(fù)習(xí)介紹這種復(fù)習(xí)方法.

在復(fù)習(xí)菱形時(shí)，我從一個(gè)一般的菱形入手：

問(wèn)題1：當(dāng)我們看到一個(gè)菱形時(shí)，你能從圖形中得到哪些性質(zhì)？其中有哪些邊角的特殊數(shù)量關(guān)系？如圖1.

此時(shí)學(xué)生能把菱形的邊角性質(zhì)做一個(gè)回顧.

然后在圖1的基礎(chǔ)上添加一條對(duì)角線(xiàn)AC，如圖2，有了下一步思考.

問(wèn)題2：在圖2中你能得到哪些圖形和性質(zhì)？

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)圖中△ABC≌△ADC，∠ACD = ∠ACB = ∠BAC = ∠DAC.

接著連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖3.

問(wèn)題3：在圖3中你又能得到哪些特殊圖形和性質(zhì)？

學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察和分析不難發(fā)現(xiàn)，圖中有四個(gè)全等的直角三角形、兩對(duì)全等的等腰三角形、AC與BD的垂直平分關(guān)系等結(jié)論.

以上三個(gè)問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)菱形的重要性質(zhì)，以及啟發(fā)學(xué)生能通過(guò)觀察分析圖形，發(fā)掘其中的特殊圖形和數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)讀圖.

此后，我從兩個(gè)方面進(jìn)一步變換圖形，挖掘性質(zhì)，達(dá)到多向輻射的復(fù)習(xí)目的：

問(wèn)題4：在圖3的條件下，你有什么方法計(jì)算菱形的面積？

大部分學(xué)生能想起通過(guò)對(duì)角線(xiàn)計(jì)算菱形面積的公式.然后老師請(qǐng)同學(xué)分析此公式的推導(dǎo)方法，進(jìn)一步加深對(duì)角線(xiàn)分割菱形轉(zhuǎn)化為特殊三角形的理解.

問(wèn)題5：如圖4，四邊形ABCD中，AC⊥BD，你能計(jì)算四邊形的面積嗎？并分析你的方法.

學(xué)生通過(guò)剛才菱形面積的計(jì)算方法，不難遷移聯(lián)想到此四邊形也能利用對(duì)角線(xiàn)來(lái)計(jì)算面積.通過(guò)問(wèn)題5的思考學(xué)生能從特殊四邊形過(guò)渡到具有相同特征的一般四邊形，培養(yǎng)了學(xué)生思維的遷移能力和靈活性.

再回到圖3.

問(wèn)題6：在圖3的基礎(chǔ)上取BC中點(diǎn)E，連接OE，得到圖5，請(qǐng)認(rèn)真分析，你能得出哪些重要的結(jié)論？

這個(gè)問(wèn)題很開(kāi)放，結(jié)論很多，旨在鍛煉學(xué)生觀察分析圖形的能力，給學(xué)生幾分鐘時(shí)間認(rèn)真分析歸納，得到了許多有益的發(fā)現(xiàn)：OE為△ABC和△BCD的中位線(xiàn)，OE∥AB∥CD，OE = ■AB = ■CD，OE = CE = BE = ■BC，△OEC和△OEB為等腰三角形，△OEC∽△ABC，等等.

在此基礎(chǔ)上設(shè)置兩個(gè)具體的問(wèn)題，鞏固學(xué)生剛才發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：

問(wèn)題7：如圖5，若OE = 2，則菱形的周長(zhǎng)為 ；

若AC = 6，BD = 8，則△OCE的周長(zhǎng)為 ，面積為 .

在圖5的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步.

問(wèn)題8：取CD 、AD、AB的中點(diǎn)F、G、H，并連接EF、FG、GH、EH，得到圖6，判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由.

還可以把圖形一般化，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的遷移能力.

問(wèn)題9：如圖7，四邊形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H為四邊中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論.

到此時(shí)，我們把菱形與三角形的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)了，既復(fù)習(xí)菱形的有關(guān)性質(zhì)，也再次鞏固了矩形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、直角三角形以及三角形中位線(xiàn)的有關(guān)知識(shí)和方法，達(dá)到多向輻射的目的.

并且在整個(gè)探究過(guò)程中，以圖形變換為主線(xiàn)，從一個(gè)最基本的圖形開(kāi)始，不斷變換，增加線(xiàn)條，構(gòu)造性質(zhì)豐富的圖形.而每一步都只呈現(xiàn)圖形，設(shè)置開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生從已知條件出發(fā)邏輯地導(dǎo)出應(yīng)有的結(jié)論，旨在培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的意識(shí)和能力，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性，把其中包含的特殊圖形和特殊性質(zhì)發(fā)掘出來(lái)之后，就能輕松解決問(wèn)題了.這種方式也是為了教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的方法，就是要充分分析圖形，展開(kāi)聯(lián)想，挖掘其中的基本圖形和數(shù)量關(guān)系.

回到圖1，繼續(xù)變換.

問(wèn)題10：在圖1的基礎(chǔ)上，取菱形的邊CD、BC上兩點(diǎn)E、F，且DE=CF，得到圖8，判斷AE和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

本題只需連接AC，證明一對(duì)全等三角形即可.

問(wèn)題11：在圖8的基礎(chǔ)上連接EF，得到圖9，判斷△AEF的形狀并證明.

問(wèn)題12：如圖8，若點(diǎn)E、F是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足DE=CF，在兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△AEF的形狀會(huì)發(fā)生改變嗎，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題13：在問(wèn)題12的基礎(chǔ)上，若菱形ABCD中，∠ABC = 60°，猜想△AEF的形狀并證明.

問(wèn)題10-13是一組遞進(jìn)式的問(wèn)題，從一個(gè)菱形的最基本圖形出發(fā)，從判斷線(xiàn)段AE，AF的數(shù)量關(guān)系遞進(jìn)到探究它們所在△AEF的形狀，從定點(diǎn)問(wèn)題遞進(jìn)到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，由靜態(tài)過(guò)渡到動(dòng)態(tài)，從特殊到一般，再?gòu)囊话慊氐教厥?，既?fù)習(xí)考查了學(xué)生菱形和等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，也訓(xùn)練了學(xué)生構(gòu)造全等三角形的基本能力，還培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)思維.

問(wèn)題14：在問(wèn)題13的基礎(chǔ)上，若菱形的邊長(zhǎng)為4 cm，求△AEF面積的最大和最小值.

問(wèn)題15：在問(wèn)題14的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)E、F在什么位置時(shí)，△CEF有最大面積，求出最大面積.

問(wèn)題14、15是在剛才的幾何圖形之上構(gòu)造的“最大面積”問(wèn)題，其中問(wèn)題14中△AEF的最大（或最?。┟娣e問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為其邊AE（或AF）的最大（或最?。﹩?wèn)題，連帶復(fù)習(xí)了垂線(xiàn)段最短的應(yīng)用，技術(shù)難度不算大，但思維量不小，并且學(xué)生容易往構(gòu)造關(guān)于△AEF面積的二次函數(shù)求最大（或最?。┲档姆较蛩伎?，這就難以解決了.而△CEF的最大面積問(wèn)題可以有兩個(gè)思考方向，首先是在四邊形AECF中利用△AEF的最小面積，可以求出△CEF的最大面積（因?yàn)樗倪呅蜛ECF面積是菱形面積的一半，為定值）；也可以直接過(guò)點(diǎn)F作EC的垂線(xiàn)段，如圖10，利用三角形的面積公式構(gòu)造關(guān)系△CEF面積的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題，這是學(xué)生熟悉的思路.

設(shè)置以上兩個(gè)問(wèn)題旨在溝通幾何與代數(shù)的聯(lián)系，這類(lèi)問(wèn)題是中考試題中常見(jiàn)的綜合性問(wèn)題，訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的思維能力，達(dá)到由點(diǎn)及面、多向輻射的復(fù)習(xí)效果.

課堂的最后階段，我做了總結(jié)性表述：我們幾何的復(fù)習(xí)不能停留在記住幾個(gè)定理，也不能停留在會(huì)做幾個(gè)題目，而是要多從研究圖形出發(fā)，學(xué)會(huì)分析圖形，展開(kāi)聯(lián)想，發(fā)掘其中的特殊圖形和位置、數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)分析圖形和解決問(wèn)題的能力.掌握了工具，有了思維能力，方能應(yīng)對(duì)可能遇到的一切問(wèn)題.

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生指出“學(xué)習(xí)有兩個(gè)過(guò)程，一個(gè)是從薄到厚，一個(gè)是從厚到薄.”前者是量的積累，后者則是質(zhì)的飛躍.教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中，不僅應(yīng)該要求學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)、典型的例題進(jìn)行反思，而且還應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)由“量”到“質(zhì)”的飛躍這一轉(zhuǎn)化過(guò)程.“由點(diǎn)及面，多向輻射”的復(fù)習(xí)方式就是熟悉基本圖形，再作圖形變換，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與探索，把有關(guān)知識(shí)通過(guò)圖形演變讓學(xué)生分析探究，由圖形得出性質(zhì)，多向輻射，牽出一條條知識(shí)和思想方法的紅線(xiàn)，使學(xué)生形成知識(shí)系統(tǒng)和方法系統(tǒng)，形成數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的能力，達(dá)到由量變向質(zhì)變的飛躍.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李果民. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模. 廣西教育出版社.

[2]馬維民. 新課程理念下的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)——初中數(shù)學(xué). 東北師范大學(xué)出版社.

[3]馬復(fù). 初中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)法. 東北師范大學(xué)出版社.

[4]陳德崇. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論. 廣東高等教育出版社.