楊相春

【摘要】高考命題的專家越來越重視初、高等數(shù)學(xué)知識的銜接，用初等數(shù)學(xué)方法來解答，往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，對于訓(xùn)練思維非常有好處.從線性變換、不動點(diǎn)和凹凸函數(shù)三個(gè)方面給出例證.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；高考；數(shù)學(xué)思想

隨著新課改的不斷推進(jìn)，參與高考命題的專家越來越重視初、高等數(shù)學(xué)知識的銜接，很多高考題、模擬題的命制都喜歡有著高等數(shù)學(xué)背景的定理，這些看起來抽象、高深的定理下放到中學(xué)試卷中，用初等數(shù)學(xué)方法來解答，往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，對于訓(xùn)練思維非常有好處.

下面我將從線性變換、不動點(diǎn)和凹凸函數(shù)三個(gè)方面給出例證.

一、線性變換

例（2009四川卷）設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）.若映射f：V→V滿足：對所有a，b∈V及任意實(shí)數(shù)λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：

①設(shè)f是平面M上的線性變換，a，b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設(shè)f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換；

③對a∈V，設(shè)f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換；

④設(shè)f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實(shí)數(shù)k均有f（ka）=kf（a）.

其中的真命題是.（寫出所有真命題的編號）

解析

理解何為“平面M上的線性變換”，是解題關(guān)鍵，對于①④可用特殊值驗(yàn)證，對于②③抓住定義即可.

對①，令λ=μ=1，則有f（a+b）=f（a）+f（b），故①是真命題.

對②，f（b）=b+e，且f（λa+μb）=λa+μb+e，而λf（a）+μf（b）=λ（a+e）+μ（b+e）=

λa+μb+（λ+μ）e，但λ+μ不恒等于1，故②是假命題.

對③，有f（b）=-b，則f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是線性變換，故③是真命題.

對④，令λ=k，μ=0，則f（ka）=kf（a），故④是真命題.

認(rèn)清“平面M上的線性變換”定義是解出這道題的關(guān)鍵.

二、不動點(diǎn)

例對于f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0是f（x）的不動點(diǎn).已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)；

（2）對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析（1）a=1，b=-2時(shí)，f（x）=x2-x-3，若x0是f（x）的不動點(diǎn)，則x02-x0-3=x0，解得x0=-1或x0=3，所以-1和3是f（x）=x2-x-3的兩個(gè)不動點(diǎn)；

（2）因?yàn)閒（x）有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)，所以方程f（x）=x有兩個(gè)不同的解，所以

f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，即ax2+bx+（b-1）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以

Δ=b2-4a（b-1）>0成立，即對任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，所以（-4a）2-4·4a<0，

所以0

只要認(rèn)清了不動點(diǎn)的定義，這道題很容易用初等數(shù)學(xué)知識解答.

三、凹凸函數(shù)

近年高考出現(xiàn)了一類函數(shù)——凹凸函數(shù)，為更好的體現(xiàn)直觀性，給出定義：函數(shù)f（x）在區(qū)間D=[a，b]內(nèi)，若x1，x2∈D時(shí)有：

fx1+x22

fx1+x22>f（x1）+f（x2）2（x1≠x2），則稱f（x）在D內(nèi)為凸函數(shù).

從定義可以看出“凹函數(shù)”圖像是向下凹的，“凸函數(shù)”圖像則是上凸的.

例在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0f（x1）+f（x2）2恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

解析在區(qū)間（0，1）是滿足fx1+x22>f（x1）+f（x2）2的函數(shù)是凸函數(shù)，上述四個(gè)函數(shù)中只有y=log2x在區(qū)間（0，1）上是凸函數(shù)，故選B.

出現(xiàn)高等數(shù)學(xué)背景下的考題時(shí)，考生首先是要冷靜分析試題，因?yàn)檫@類題目多為新題，是考生平時(shí)沒見過的內(nèi)容，因此認(rèn)清題目考查的本質(zhì)，從初等數(shù)學(xué)中找出解題的突破口.期待更多的高等數(shù)學(xué)背景下的考題出現(xiàn)在高中，這樣能更好地考查、鍛煉學(xué)生的分析、理解問題的能力.