梁勇

【摘 要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生以數(shù)學(xué)筆記為載體，連結(jié)日常生活，外顯數(shù)學(xué)思維，融合多學(xué)科知識與技能。新技術(shù)的融入為數(shù)學(xué)筆記提供了新的創(chuàng)作視角，實現(xiàn)了個性化學(xué)習(xí)，促進了學(xué)習(xí)共同體的形成。這些都在有力地支持學(xué)生進行理解性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)筆記；新技術(shù)；理解性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；綜合素養(yǎng)；學(xué)習(xí)共同體

【中圖分類號】G40-057 【文獻標(biāo)識碼】A

【論文編號】1671-7384（2015）10-0051-04

盡管人們依然在爭論學(xué)生應(yīng)該學(xué)什么樣的數(shù)學(xué)，但對于學(xué)生應(yīng)該如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這個問題卻持有相同的觀點，那就是：學(xué)生應(yīng)當(dāng)理解性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵性知識和技能。

基于腦科學(xué)的學(xué)習(xí)科學(xué)研究表明，學(xué)生孤立地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和技能無法達到理解，因為理解產(chǎn)生于學(xué)生與周圍環(huán)境中的材料、同伴和起支持作用的成人的互動過程。筆者在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)字技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)筆記（以下簡稱為數(shù)學(xué)筆記）能夠有效地幫助學(xué)生（尤其是小學(xué)低年級學(xué)生）進行理解性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)筆記，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中采用繪畫、手工、攝影等美術(shù)形式編制個性化創(chuàng)意數(shù)學(xué)作品（如圖1），并運用社會化語音技術(shù)對數(shù)學(xué)作品進行獨立描述或解釋，用以表達對數(shù)學(xué)概念和原理的認(rèn)知、理解和應(yīng)用，然后發(fā)布于社會化交流平臺，與同伴及成人進行及時分享和交流并獲得相應(yīng)反饋。

圖1 《我為數(shù)字穿新衣》

數(shù)學(xué)筆記連結(jié)日常生活，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識

從學(xué)校向日常環(huán)境的遷移是學(xué)校教育的最終目的，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始時段，反方向的遷移同樣有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。首先，學(xué)齡學(xué)生在進入學(xué)校時已經(jīng)擁有了大量來自于日常生活的自然數(shù)學(xué)經(jīng)驗和非正式數(shù)學(xué)知識。其次，當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生在有意義的和熟悉的情景之中，學(xué)生能夠更有效地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此，學(xué)校里的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)充分挖掘和利用學(xué)生熟悉的生活情景和已有的數(shù)學(xué)知識，并結(jié)合學(xué)生與生俱來的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)并應(yīng)用數(shù)學(xué)概念和技能的興趣。

一年級的學(xué)生在制作《生活中的數(shù)字》（如圖2）時，通常會采用繪畫或拍照的方式來呈現(xiàn)自己的發(fā)現(xiàn)，諸如自家的門牌號碼、父母手機的面板、鄰居家汽車的牌照、面值不同的人民幣、商場里商品的價格、車站顯示牌上的時間……我們的周圍環(huán)境到處都充滿了數(shù)字，但學(xué)生有關(guān)數(shù)字的經(jīng)驗大部分來自于自然和非正式活動。因此，當(dāng)學(xué)生“以數(shù)學(xué)的名義”重新觀察和記錄這些習(xí)以為常的數(shù)字時，他們?nèi)匀慌d奮不已。

圖2 《生活中的數(shù)字》

新技術(shù)的加入無疑給數(shù)學(xué)筆記提供了新的視角，增添了豐富的創(chuàng)意元素。閱讀《建筑中的圖形》之后，孩子們開始了圖形發(fā)現(xiàn)之旅，他們先利用iPad在學(xué)校、社區(qū)拍攝照片，然后在“圈點”里圈出各種圖形，標(biāo)注名稱，建構(gòu)起對圖形的認(rèn)知，并初步感受部分與整體的關(guān)系（如圖3）。

圖3 《平面圖形》

在此過程中，學(xué)生開始轉(zhuǎn)變觀察生活的視角，即運用數(shù)學(xué)的視角，對早已熟悉的環(huán)境進行重新觀察和探索，從而獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，同時體驗和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在自己的周圍、眼前甚至身上。事實上，周圍的事物原本就已經(jīng)存在，學(xué)生只是換了個角度去觀察，就能發(fā)現(xiàn)一個奇異的數(shù)學(xué)世界。數(shù)學(xué)筆記，正是在學(xué)生自身不斷發(fā)展的數(shù)學(xué)理解與正式的數(shù)學(xué)知識之間架起的一座橋梁。

數(shù)學(xué)筆記物化數(shù)學(xué)思維，外顯數(shù)學(xué)理解

1. 數(shù)學(xué)筆記呈現(xiàn)理解水平

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動基本上是數(shù)學(xué)思維活動。但是，如何在實際數(shù)學(xué)教學(xué)過程中觀察、理解和評估學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維？這需要我們引導(dǎo)和幫助學(xué)生準(zhǔn)確而有效地暴露其數(shù)學(xué)思維，即運用恰當(dāng)?shù)姆柋碚鲾?shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)筆記作為數(shù)學(xué)符號表征的一種形式，能夠外顯學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知、理解和應(yīng)用，進而幫助成人對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進行觀察和評估。

在教學(xué)“乘法”時，我們通常會做兩個方面的前測：一是“乘法作為運算”，測試方式為乘數(shù)小于5的乘法口算；二是“乘法作為概念”，測試方式是數(shù)學(xué)筆記，即畫一幅畫表示3×4（如圖4）。結(jié)果通常都在我們的預(yù)料之中，很多孩子在學(xué)習(xí)乘法之前已經(jīng)能夠準(zhǔn)確地計算簡單乘法，并為此感到自豪。與此同時，有些孩子直接用“3和4相乘”的符號表征來表現(xiàn)“3個4相加或4個3相加”（如圖4）。

圖4 《3×4》

依據(jù)數(shù)學(xué)筆記，教師能夠清晰地觀察到學(xué)生對于“乘法的意義”的認(rèn)知和理解是有缺陷的。在教學(xué)過程中不僅注重讓學(xué)生記住乘法表以求計算正確率與速度，而且利用學(xué)生天生的建模意識去引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)連加的運算規(guī)則，因為這是理解乘法的基礎(chǔ)。

2. 數(shù)學(xué)筆記記錄學(xué)習(xí)過程

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本上是常識性的，但數(shù)學(xué)本身具有一般性和抽象性。面對抽象能力尚未養(yǎng)成的小學(xué)生，教師很難也不應(yīng)當(dāng)過多地講解數(shù)學(xué)道理，而是引導(dǎo)學(xué)生參與筆記數(shù)學(xué)等學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的觀察、制作等數(shù)學(xué)活動過程，在“慢慢”的過程中，“慢慢”積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)事實，“慢慢”感悟數(shù)學(xué)知識的形成過程、數(shù)學(xué)符號的簡潔實用和數(shù)學(xué)原理的內(nèi)在邏輯。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生的許多數(shù)學(xué)觀察發(fā)生在不同時空，“思維導(dǎo)圖”能夠幫助學(xué)生隨時隨地記錄觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在一定積累的基礎(chǔ)上，對這些數(shù)學(xué)事實進行分類和整理，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。

圖5所示的《三角形的家》清楚地記錄了呂紫賢同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程：一開始只是為了尋找生活中的三角形，而后隨著數(shù)學(xué)事實的不斷積累，便有了分門別類的想法和行動。這樣的數(shù)學(xué)筆記制作過程中，學(xué)生既能夠觀察并發(fā)現(xiàn)三角形在生活當(dāng)中的廣泛運用，更能夠?qū)W會有條理地認(rèn)知社會事物的不同領(lǐng)域。

圖5 《三角形的家》

3. 數(shù)學(xué)筆記投射思維特征

數(shù)學(xué)筆記是學(xué)生個性化的數(shù)學(xué)作品，自然也能反映學(xué)生某些個性心理特征、學(xué)習(xí)風(fēng)格。在畫《多幾少幾》時，盡管教師提供的半結(jié)構(gòu)化材料使學(xué)生的創(chuàng)作有了基本相同的框架，但只要我們認(rèn)真觀察，就能發(fā)現(xiàn)作品與作品之間細微的差異：有的學(xué)生喜暖色調(diào)，有的學(xué)生則好冷色調(diào)；有的學(xué)生喜歡使用“線條”，而有的學(xué)生則喜歡用“色塊”；有的學(xué)生注重均衡布局，有的學(xué)生則喜好劍走偏鋒……正如世界上沒有兩片完全一樣的樹葉，我們眼前沒有完全相同的兩幅作品（如圖6）。由此可見，每個孩子都擁有獨一無二的思維特征，他們都在積極地發(fā)揮著獨特的學(xué)習(xí)力和創(chuàng)造力，表達著獨特的自我。

圖6 《多幾少幾》

隨著作品數(shù)量的增加，我們發(fā)現(xiàn)，不同群體學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格也存在差異。較之男孩子隨性的天馬行空，大多數(shù)女孩子的作品會顯得更整潔、風(fēng)格更統(tǒng)一、色彩更豐富；低年級學(xué)生更關(guān)注作品的藝術(shù)創(chuàng)意，高年級學(xué)生更關(guān)注作品的數(shù)學(xué)本質(zhì)；低年級學(xué)生在半結(jié)構(gòu)化創(chuàng)作中完成的質(zhì)量較高，高年級學(xué)生則更愿意進行自主創(chuàng)意。

數(shù)學(xué)筆記融合多學(xué)科，培養(yǎng)綜合素養(yǎng)

隨著教育變革的不斷深入，人們越來越重視課程整合教學(xué)模式。正如圖7所示，學(xué)生在筆記數(shù)學(xué)時，是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為中心，卻常常整合了科學(xué)、社會學(xué)習(xí)、語言、美術(shù)、技術(shù)、運動及音樂等不同課程領(lǐng)域內(nèi)容，形成一個以數(shù)學(xué)為中心的綜合性作品，在重點培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時，也培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

圖7 課程整合基本模型

圖8 《厘米》

圖8是胡魏恩祖同學(xué)二年級時的數(shù)學(xué)筆記《厘米》，他運用植物的生長過程來描述1厘米、2厘米、5厘米……與此同時，為了更好地測量日益增高的植物，學(xué)生為測量者設(shè)計了各種增高辦法，包括爬樓梯、跳跳球、騎鳥飛行、熱氣球……充滿了各種創(chuàng)意和驚喜。畫面中的陽光、土壤、水的出現(xiàn)，表明了學(xué)生對于植物生長的基本要素已經(jīng)了然于心。

語音技術(shù)實現(xiàn)人人表達，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的工具，也是數(shù)學(xué)思維的外顯形式。小學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的理解和掌握程度，直接影響了他們對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識的理解和掌握能力，從而影響他們數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展及對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。因此，在數(shù)學(xué)筆記的過程中，我們也必須注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達和運用能力。

學(xué)生的數(shù)學(xué)筆記需要數(shù)學(xué)語言的解讀，但在真實的數(shù)學(xué)課堂里，無法實現(xiàn)“人人表達”。在數(shù)學(xué)筆記中引進PAPA、微信等社會化語音技術(shù)，是一個比較好的解決方案。如圖9所示，學(xué)生先畫出數(shù)學(xué)筆記，再運用PAPA進行圖畫解讀，實現(xiàn)“人人表達”。

圖9 學(xué)生運用PAPA制作的數(shù)學(xué)筆記

首先，社會化語音技術(shù)完全實現(xiàn)“人人表達”。學(xué)生運用PAPA等語音技術(shù)將制作好的數(shù)學(xué)筆記導(dǎo)入，然后運用簡練的數(shù)學(xué)語言進行講述或解釋，實現(xiàn)每個人都能個性化表達。

其次，社會化語音技術(shù)能夠呈現(xiàn)“最優(yōu)表達”。學(xué)生在講解錄音的同時，會對自己的數(shù)學(xué)表達進行自我評價，可以經(jīng)過多次練習(xí)之后，最后呈現(xiàn)自己認(rèn)為最為精彩的數(shù)學(xué)表達。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力，也增強了學(xué)生數(shù)學(xué)表達的自信心。

再次，在數(shù)學(xué)語言表達過程中，學(xué)生把那些“聽懂的”或“看懂的”數(shù)學(xué)知識運用數(shù)學(xué)語言去描述、解釋甚至概括，會促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進行更深入的觀察、思考和語言組織。這種過程為與同伴進行交流、討論做了積極的鋪墊和充分的準(zhǔn)備；基于充分準(zhǔn)備和深入思考的交流討論使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為深刻。

網(wǎng)絡(luò)平臺支持分享交流，構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體

學(xué)習(xí)科學(xué)研究表明，對包括數(shù)學(xué)筆記在內(nèi)的學(xué)生作品的反饋在學(xué)習(xí)過程中起到重要作用。但遺憾的是，很少有教師擁有足夠的時間為學(xué)生提供高品質(zhì)的個別反饋。我們必須尋求新技術(shù)的幫助，構(gòu)建基于網(wǎng)絡(luò)平臺的學(xué)習(xí)共同體，實現(xiàn)及時分享、相互反饋，從而獲得同伴支持。

微信群、QQ群、百度云盤等新技術(shù)幫助我們構(gòu)建起學(xué)習(xí)共同體。共同體成員的數(shù)學(xué)筆記作品能夠進行及時共享，并且也可被他人（教師、學(xué)生、家長以及共同體成員等）評論。共同體成員在短時間內(nèi)能夠快速獲得大量同一主題的數(shù)學(xué)筆記資源，在觀察他人作品的過程中獲得更豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)事實，在分析、評價他人作品的過程中深入思考和運用數(shù)學(xué)概念，并逐漸形成批判性思維，在學(xué)習(xí)他人作品的基礎(chǔ)上改進自己的數(shù)學(xué)作品。這些知識習(xí)得和修改意見都能夠有力地支持學(xué)生數(shù)學(xué)理解力的發(fā)展。

數(shù)學(xué)筆記對于數(shù)學(xué)課堂的交流和討論也起著支持作用。首先，數(shù)學(xué)筆記作品對所有數(shù)學(xué)活動參與者都是一個共同的視覺參考物。其次，他們在課前已經(jīng)通過網(wǎng)絡(luò)平臺針對同一數(shù)學(xué)問題進行了精心準(zhǔn)備，經(jīng)歷了獨立學(xué)習(xí)、擴展學(xué)習(xí)、識別和思辨。此時，教師的作用就是把學(xué)生有關(guān)如何解決和分析問題的觀點擺在課堂上去討論，評價他們的論點合理與否，鼓勵他們憑直覺應(yīng)用數(shù)學(xué)原理，但最好是讓學(xué)生們自己判斷有些事情是否符合數(shù)學(xué)原理。

總之，基于數(shù)字技術(shù)的數(shù)學(xué)筆記，能夠有效地幫助學(xué)生建構(gòu)、重構(gòu)他們的數(shù)學(xué)理解。學(xué)生創(chuàng)作數(shù)學(xué)筆記、反思數(shù)學(xué)作品的過程，正是他們積極地學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)知識的過程，也是促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解力不斷深化的過程。

（作者單位：廣東深圳市南方科技大學(xué)實驗學(xué)校）