薛俊

[摘 要] 在初中數(shù)學(xué)中有一類中檔題叫最值問題，在進(jìn)一步分類中又可按照解決問題所依照的數(shù)學(xué)理論是代數(shù)知識還是幾何知識分為代數(shù)背景下的最值和幾何背景下的最值. 每類問題都可以根據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)理論建立相關(guān)的解題模型，依照模型可以方便解決相關(guān)最值問題.

[關(guān)鍵詞] 代數(shù)；幾何；最小值

最值問題就是在學(xué)生幾何與代數(shù)知識有所積累后，所遇到的一類難度較大、靈活性較強(qiáng)、綜合性較高的題目. 伴隨它在初中數(shù)學(xué)競賽和中考題目中出現(xiàn)的頻率的逐步提高，它在初中數(shù)學(xué)中的重要地位也逐步凸顯. 因此，有必要對這類問題作一個細(xì)致的分析，以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識這類問題的本質(zhì)，提升解題的質(zhì)量.

幾何背景下的最值常見模型

分析

初中階段，幾何背景下最值求解的典型例題是線段和最小，而作為這類問題的解題依據(jù)通常有三種：其一，兩點之間線段最短；其二，點到直線的距離垂線段最短；其三，三角形的兩邊之和大于第三邊. 為增加題目的難度，通常將對稱與上述知識點嵌套使用，這就意味著抽象出幾種常見問題的模型很有必要.

1. 對稱背景下的兩點之間線段最短

兩點之間線段最短，為我們解決線段和最小值提供了解題依據(jù)，同時也勾勒出了幾何背景下的最小值求解的數(shù)學(xué)模型之一. 它通常與對稱問題嵌套使用，共同刻畫線段和的最小值解法步驟. 這種數(shù)學(xué)模型的基本樣式為：如圖1，在兩定點已知的情況下，求直線上一動點到兩定點距離和的最小值. 在這種數(shù)學(xué)模型下，往往先利用對稱求解某一定點關(guān)于定直線的對稱點，將動點到兩點的距離和轉(zhuǎn)化成動點到對稱點和定點的距離和. 由于定點和另一定點的對稱點分居直線兩側(cè)，因此線段和的最小值就可轉(zhuǎn)化成對稱點和一定點之間的距離.

例1 在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0），B（2，0）是x軸上兩定點，求PA+PB的最小值.

分析 因為A，B位于直線的同側(cè)，因此需要借助對稱的方法來確定P點的位置. 因為PA+PB=PA′+PB，所以當(dāng)A′，B，P三點共線時目標(biāo)表達(dá)式取最小值.

由對稱可知：PA+PB=PA′+PB，所以（PA+PB）=BA′.

因為A和A′關(guān)于直線y=x對稱，所以O(shè)A′=OA=1，OB=2. 因為△OBA′為直角三角形，滿足勾股定理，所以（PA+PB）.

2. 對稱背景下的垂線段最短

眾所周知，在點到直線的所有線段中，垂線段的距離是最短的. 因此，幾何題目中這一公理通常被用作點到線最短距離的解題依據(jù). 對于簡單題的處理，上述理論即可解決問題，但有時為了增加試卷的區(qū)分度，命題者往往結(jié)合其他知識點同時進(jìn)行考查. 而對稱則是出現(xiàn)頻率比較高的一類知識點，通過對稱能夠?qū)⒃瓉韮删€段之和距離最小轉(zhuǎn)化成對稱點到直線的所有線段中距離最小，這就是對稱背景下垂線段最短運用的基本模型. 如下，以北京的數(shù)學(xué)競賽題為例，詳細(xì)解讀這一類型題的解決過程.

例2 如圖3，在矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，請在AC，AB上各找一點M，N，使得BM+MN的值最小.

分析 作B關(guān)于直線AC的對稱點B′，當(dāng)B′，M，N三點共線時，BM+MN=B′M+MN=B′N. 如圖所示，當(dāng)B′N⊥AB時線段B′N最短，圖中B′N即為所求.

由AB·BC=BE·AC？圯BE=4？圯BB′=8.

由△BB′N∽△CAB？圯AB ∶ AC=B′N ∶ BB′？圯B′N=16，所以（BM+MN）=16.

3. 對稱背景下的三角形兩邊之和大于第三邊

幾何問題的最值本質(zhì)上是目標(biāo)表達(dá)式的一個取值范圍問題，從知識歸類上看它屬于不等式范疇. 掃描初中幾何知識點，不難找到有關(guān)不等式的幾何公式，它們可以被用來計算幾何最值問題. 這些知識點中三角形的兩邊之和大于第三邊是一個典型的幾何公理. 如圖4所示，若選擇線段AB作為三角形的一邊，則可以發(fā)現(xiàn)若點C位于線段兩側(cè)均可得到AC+BC>AB，但隨著點C運動到A，B之間時，可以發(fā)現(xiàn)AC+BC=AB. 綜合所有情況，可以發(fā)現(xiàn)原公理所表示的不等式可以轉(zhuǎn)化為AC+BC≥AB，這就為我們求解幾何最小值提供了依據(jù).

而對稱背景下的兩邊之和大于第三邊，就是利用對稱將已知點到某點的距離轉(zhuǎn)化成對稱點到點的距離，然后構(gòu)造三角形來解決問題. 如下以2014年東營中考試卷中的一道求解幾何最值的題目詳解上述理論的運用.

例3 如圖5，在⊙O中，AB是直徑，AB=8，，M是AB上一動點，求CM+DM的最小值.

分析 作D關(guān)于AB的對稱點D′，由題意可知C，D為的三等分點，所以CD′為⊙O的直徑.

由軸對稱的性質(zhì)可知，DM=D′M？圯CM+DM=CM+D′M.

M在AB上運動時，D′，C，M三點構(gòu)成三角形（M與O重合除外）. 根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊可知， CM+D′M>D′C；當(dāng)M與O重合時，CM+D′M=D′C. 綜上所述：CM+D′M≥D′C，所以CM+DM的最小值為8.

通過上述三個例子可以發(fā)現(xiàn)，對稱背景下的最小值求解，有一個共性，即求解的第一步為利用對稱性找出對稱點，然后再在此基礎(chǔ)嵌套使用相關(guān)幾何定理來確定動點在何位置時，線段和取最小值. 因此，在對稱背景下的最值求解，關(guān)鍵步驟在于利用對稱的特性，將題意轉(zhuǎn)化，化“折”為“直”.

代數(shù)背景下的最值模型分析

初中階段，代數(shù)背景下最值求解的類型包括如下幾種：其一，函數(shù)背景下的最值；其二，方程背景下的最值；其三，代數(shù)式背景下的最值. 無論哪種類型，其解題的最關(guān)鍵點是建立起不等關(guān)系，利用不等關(guān)系，求解范圍，進(jìn)而求解最值.

1. 函數(shù)背景下的最值

初中階段能夠作為最值求解依據(jù)的包括二次函數(shù)存在最小值或最大值以及函數(shù)單調(diào)性，因此，利用二次函數(shù)頂點求最值是其中一類；而另一類則是利用初中常見基本初等函數(shù)的單調(diào)性來求解.endprint

①二次函數(shù)求解最值：眾所周知，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)a>0時，y存在最小值，最小值為y=；當(dāng)a<0時，y存在最大值，最大值為y=. 例如，二次函數(shù)y= -2x2+140x-500，因為其開口向下，所以頂點縱坐標(biāo)為其最大值，最大值為1950.

②函數(shù)單調(diào)性求解最值：由于初中僅涉獵了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，所以這種類型的題目通常會在上述基本初等函數(shù)中產(chǎn)生. 通常的模型是結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解給定區(qū)間上的函數(shù)最值. 例如，某工廠要招聘A，B兩類工人150人，其中A類工人的工資為600元，B類工人的工資為1000元，要求B類人數(shù)不少于A類的2倍，問：如何招聘工資最少？顯然可設(shè)招A類工人x人，則B類工人為（150-x）人，付出工資為y，則150-x≥2x，解得0

2. 方程背景下的最值

以方程為背景的最值模型，往往為求y=（f（x），g（x）中有一個為二次多項式）的最小值或最大值，這一類型若按原型歸類應(yīng)當(dāng)歸于函數(shù)背景下，但由于初中知識范圍有限，無法通過函數(shù)去求解最值，但可以通過恒等變形將函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程，此時就可以借助一元二次方程根的判別式建立一個關(guān)于y的不等式，求解不等式，可得一個關(guān)于y的范圍.

例如，求y=的最大值和最小值. 恒等變換可得x2-x+1=y（x2+x+1），移項變形為（y-1）x2+（y+1）x+y-1=0. 由于x2+x+1>0恒成立，所以x∈R，所以方程必然有解，Δ=（1+y）2-4（y-1）2≥0，解得≤y≤3. 所以y，ymax=3.

3.？搖代數(shù)式背景下的最值

代數(shù)式背景下的最值模型往往是ax2+bx+cy2+dy+e可化成（kx+m）2+（hy+n）2+l的形式，顯然在實數(shù)范圍內(nèi)（kx+m）2+（hy+n）2+l≥l，當(dāng)且僅當(dāng)kx+m=hy+n=0時代數(shù)式取到l. 這其實是利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)建立了不等關(guān)系，從而獲取最值.

例如，a，b為實數(shù)，求a2+ab+b2-a-2b的最值. 顯然上式可以化成兩個非負(fù)代數(shù)式的和，即原式=ab-1）2-1≥-1，當(dāng)a=0，b=1時取到等號，所以上述代數(shù)式的最小值為-1.

回顧兩類問題的解題思想，反思兩類問題的解題依據(jù)，其實不難發(fā)現(xiàn)，解決最值問題所依賴的知識共可以分成兩類：一類是與最值相關(guān)的幾何定理、公理；一類是與范圍有聯(lián)系的代數(shù)公式. 在解題的過程中根據(jù)題目呈現(xiàn)的不同實際情況，可以單獨使用其中一類知識，或者將兩類知識交叉使用來解決.