彭卓華1，張更容2

（1.湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411201；2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530004）

淺析“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)改革

彭卓華1，張更容2

（1.湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411201；2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530004）

當(dāng)前高?！皬?fù)變函數(shù)”課程教學(xué)存在學(xué)生對(duì)該課程的認(rèn)知方向模糊，學(xué)習(xí)興趣不高；教學(xué)重點(diǎn)不突出，教學(xué)方法單一；講授章節(jié)知識(shí)安排不合理等問(wèn)題。針對(duì)存在的問(wèn)題，提出了“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)中“兩改革四重視”六點(diǎn)改革構(gòu)想。

“復(fù)變函數(shù)”課程；教學(xué)改革；多媒體

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要延伸［1］。復(fù)變函數(shù)的理論與方法現(xiàn)已成為解決很多學(xué)科有關(guān)問(wèn)題至關(guān)重要的一種工具，在工程實(shí)際許多領(lǐng)域如振動(dòng)與控制理論、彈簧理論、信號(hào)圖像處理等有不可估量的應(yīng)用前景?！皬?fù)變函數(shù)”課程現(xiàn)已成為許多專業(yè)如數(shù)學(xué)、電子工程及電氣等專業(yè)必設(shè)的一門課程。目前，“復(fù)變函數(shù)”課程的教學(xué)大多以教師、課堂及課本為中心，在教學(xué)中沿襲著講、聽(tīng)、考這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式。在這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，有些學(xué)生在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)中往往采用了封閉和記憶型的學(xué)習(xí)方法，無(wú)法體會(huì)復(fù)變函數(shù)的用途，不能適應(yīng)新世紀(jì)對(duì)人才培養(yǎng)模式的要求。本文通過(guò)剖析當(dāng)前“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)現(xiàn)狀，找出了“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)中根深蒂固的毛病，提出“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)改革的“兩改革四重視”六點(diǎn)改革構(gòu)想。實(shí)踐表明，這種“復(fù)變函數(shù)”課程的教學(xué)模式有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力，可以顯著提高復(fù)變函數(shù)的教學(xué)效果。

一、當(dāng)前“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)中存在的問(wèn)題

（一）部分學(xué)生對(duì)“復(fù)變函數(shù)”課程的認(rèn)知方向模糊，學(xué)習(xí)興趣不高

眾所周知，學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)掌握的好與差，與他們的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)知識(shí)功底有很大的聯(lián)系。雖然復(fù)變函數(shù)的許多知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)在表現(xiàn)形式上看起來(lái)一樣，但是，它的邏輯性和抽象性卻大大超過(guò)了數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)，兩者之間的實(shí)際意義很不一樣。很多學(xué)生對(duì)此體會(huì)不夠。他們簡(jiǎn)單地認(rèn)為，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)知識(shí)是重復(fù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)知識(shí)，因而產(chǎn)生了錯(cuò)誤的想法，模糊了知識(shí)點(diǎn)，學(xué)習(xí)興趣不高，以至于不能全面地掌握復(fù)變函數(shù)知識(shí)。

（二）講授章節(jié)知識(shí)安排不合理

當(dāng)前有些高校教師在講授“復(fù)變函數(shù)”課程時(shí)，對(duì)章節(jié)知識(shí)的安排存在不合理現(xiàn)象。主要問(wèn)題是：知識(shí)結(jié)構(gòu)體系安排不科學(xué)，缺乏改革創(chuàng)新，內(nèi)容剪裁不合適。例如：在講授復(fù)變函數(shù)積分這一章時(shí)，內(nèi)容有：復(fù)變函數(shù)積分的定義和性質(zhì)；復(fù)變函數(shù)積分的各種計(jì)算方法；Cauchy積分定理；Cauchy積分公式；解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式；Cauchy不等式與Liouville定理等。有些教師在上課時(shí)，就是把這些內(nèi)容平鋪直敘地講解一遍，在知識(shí)內(nèi)容的選擇上缺乏改革創(chuàng)新。哪些知識(shí)必須重點(diǎn)講授，學(xué)生必須掌握，哪些知識(shí)可以讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，一些教師心中沒(méi)有全盤掌控，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)。

（三）教學(xué)重點(diǎn)不突出，教學(xué)方法單一

有些高校教師在上“復(fù)變函數(shù)”課程時(shí)，著重講解如何推導(dǎo)公式、怎樣證明定理、證明方法如何巧妙等，沒(méi)有考慮復(fù)變函數(shù)自身的特征，沒(méi)有把復(fù)變函數(shù)方法與要解決的實(shí)際問(wèn)題完美地結(jié)合起來(lái)。因而在教學(xué)中，由于教學(xué)重點(diǎn)不突出，使得很多學(xué)生高分低能，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題能力低下。有些教師在“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)中，常常是平鋪直敘，照本宣科，講授方法死板單一。當(dāng)前“復(fù)變函數(shù)”課程的授課方式主要有兩種：一是黑板板書，二是使用多媒體課件。但是有些教學(xué)課件比較簡(jiǎn)略，不能形象地演示出“復(fù)變函數(shù)”課程中的有關(guān)知識(shí)。

二、改革構(gòu)想

（一）改革教學(xué)方式

教師應(yīng)該將黑板板書與多媒體課件用科學(xué)的方法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。以往的教學(xué)方法是黑板板書。黑板板書對(duì)于數(shù)學(xué)題目的求解，能使步驟十分清晰，看起來(lái)令人非常爽目。但是黑板板書存在缺點(diǎn)。比如單一使用黑板板書，教師講解的知識(shí)量勢(shì)必較小，有些書寫過(guò)程太費(fèi)時(shí)，而且效果不好。多媒體課件絲毫不存在這些毛病。教師應(yīng)該將多媒體課件和黑板板書結(jié)合使用，這樣才能優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，取得較好的教學(xué)效果。另外，課件的質(zhì)量?jī)?yōu)劣對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情有著莫大的影響。因此，教師在制作“復(fù)變函數(shù)”課程課件時(shí)，要特別注意這些問(wèn)題，做出高質(zhì)量的教學(xué)課件。例如，對(duì)一些知識(shí)，應(yīng)盡量形象化、動(dòng)態(tài)化，使得演示過(guò)程形象生動(dòng)，給學(xué)生一種愉悅的感覺(jué)，使學(xué)生學(xué)得輕松。

（二）改革章節(jié)知識(shí)的安排

高校教師在講授“復(fù)變函數(shù)”課程時(shí)，必須合理安排章節(jié)知識(shí)。例如在講授復(fù)變函數(shù)積分時(shí)，重點(diǎn)講解復(fù)變函數(shù)定義、性質(zhì)及各種計(jì)算，Cauchy積分定理，Cauchy積分公式，解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，Cauchy不等式與Liouville定理，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。對(duì)于Cauchy積分定理的推廣形式、摩勒拉定理等內(nèi)容，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

（三）重視學(xué)習(xí)興趣

“復(fù)變函數(shù)”課程是一門理論性較深?yuàn)W、內(nèi)容較抽象的課程。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，主要感到乏味、不易學(xué)，甚至?xí)磫?wèn)：為什么要學(xué)習(xí)這門課程？因此，教師上課時(shí)，針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生，突出知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用背景，強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。比如，在講授復(fù)數(shù)的輻角時(shí)，可用出自不同相機(jī)的照片來(lái)講述：出自一般的照相機(jī)的照片無(wú)立體感，而出自數(shù)碼相機(jī)的照片立體感很強(qiáng)。理由是：一般照相機(jī)僅僅反映復(fù)數(shù)模，而數(shù)碼相機(jī)不但反映模，而且反映多個(gè)點(diǎn)的方位，也就是輻角，因此，也就有了立體感。再比如：在講授柯西積分公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可提問(wèn)：怎么測(cè)量地球地心的溫度？在已知地球表面各點(diǎn)溫度的情況下，用什么方法可以測(cè)量地球地心的溫度？還比如：在講授解析函數(shù)時(shí)，可提問(wèn)：解析函數(shù)在電場(chǎng)中的作用是什么？在講授映射時(shí)，設(shè)置問(wèn)題：地質(zhì)測(cè)量技術(shù)人員用什么原理處理圖像問(wèn)題？這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不知不覺(jué)地被調(diào)動(dòng)起來(lái)。還可以設(shè)置一些課外任務(wù)，讓學(xué)生在課堂外獨(dú)立地用復(fù)變函數(shù)知識(shí)處理問(wèn)題，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)興趣的目的。

（四）重視類比教學(xué)法

類比就是用參照的方法把事物之間存在的異同找出來(lái)的一種方法。類比教學(xué)法就是在參照的基礎(chǔ)上，找出不同知識(shí)點(diǎn)之間存在的異同，再將知識(shí)點(diǎn)潛移默化到另一知識(shí)點(diǎn)上。換一句說(shuō)，類比教學(xué)法就是將一些既存在差異又存在聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行對(duì)照，挖掘知識(shí)點(diǎn)之間存在的異同，使學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)之后，毫不吃力地掌握另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)的許多概念、性質(zhì)與定理都與數(shù)學(xué)分析相應(yīng)的概念、性質(zhì)和定理相似。因此，在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的時(shí)候，回顧數(shù)學(xué)分析相關(guān)的知識(shí)，采用類比教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生思考，得出相應(yīng)的新知識(shí)。例如，在講授復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，可采用類比教學(xué)法。讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)定義在形式上與數(shù)學(xué)分析單元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義完全一樣。數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的求導(dǎo)公式都可以推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái)。但是復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)含義比數(shù)學(xué)分析中單元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)含義嚴(yán)格得多。這是因?yàn)?，在討論?shù)學(xué)分析單元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，由于x0是實(shí)數(shù)，當(dāng)x僅沿著實(shí)數(shù)軸從x0的左右兩個(gè)方向趨向x0時(shí)，只要比值的極限存在且相等即可得出單元函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo)。但是，在講授復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，不僅要求變量z從z0的左右兩個(gè)方向趨向z0，而且要求z在復(fù)平面上沿任何方向趨向 z0時(shí)，比值的極限都要存在且相等，這就是復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與數(shù)學(xué)分析導(dǎo)數(shù)定義之間的區(qū)別。又如，在復(fù)變函數(shù)中講授復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)時(shí)，可采用類比教學(xué)法。將數(shù)學(xué)分析中級(jí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)平移過(guò)來(lái)，可以得出復(fù)變函數(shù)中復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的必要條件以及復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)同樣具有連續(xù)性和可積性等性質(zhì)。因此，從實(shí)例可知，類比教學(xué)法不僅有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的興趣，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思維的能力以及有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神［2］。因此，類比教學(xué)法在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中是一種行之有效的方法。

（五）重視集中討論，共同學(xué)習(xí)

根據(jù)每一階段學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，在學(xué)生中進(jìn)行有針對(duì)性地討論，讓學(xué)生各抒己見(jiàn)，解決傳統(tǒng)教學(xué)中單向灌輸?shù)谋锥恕Ｔ谟懻撨^(guò)程中，學(xué)生能夠積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)、思考、辨析和醒悟，學(xué)生的潛能得以開發(fā)，學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)也得到了提升。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維、求異思維、探索性思維、創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)大有益處。在集中討論的同時(shí)，要注重共同學(xué)習(xí)。所謂的共同學(xué)習(xí)是指教師與學(xué)生共同學(xué)習(xí)，學(xué)生與學(xué)生共同學(xué)習(xí)。例如：在講授多值函數(shù)（根式函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）的有關(guān)理論時(shí)，學(xué)生不能找到實(shí)函數(shù)理論中相應(yīng)的理論進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，這時(shí)必須由教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的啟發(fā)和誘導(dǎo)，使學(xué)生找到多值函數(shù)（根式函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）與單值函數(shù)（整冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)）之間的反函數(shù)關(guān)系，通過(guò)整冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)，使學(xué)生分析得到根式函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)多值函數(shù)（根式函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）理論的理解。在此過(guò)程中，教師對(duì)新知識(shí)通過(guò)合適的手段進(jìn)行講授，全面提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。

（六）重視電腦輔助教學(xué)

隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步，電腦的飛速發(fā)展，電腦與復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用前景息息相關(guān)，電腦為復(fù)變函數(shù)的發(fā)展開辟了前所未有的新天地。在“復(fù)變函數(shù)”課程課堂教學(xué)中，使用電腦輔助教學(xué)，促進(jìn)理論知識(shí)體系的更新，不僅具有重大的理論意義，而且具有無(wú)可替代的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。對(duì)“復(fù)變函數(shù)”課程開發(fā)輔助教學(xué)系統(tǒng)，能使課堂教學(xué)內(nèi)容栩栩如生，教與學(xué)達(dá)到空前統(tǒng)一，取得意想不到的教學(xué)效果。為了學(xué)生能夠使用電腦解決相關(guān)的問(wèn)題，在課堂教學(xué)中，應(yīng)該重視學(xué)生編寫代碼能力的培養(yǎng)。向?qū)W生介紹Matlab、 Mathematica數(shù)學(xué)軟件［3］。利用數(shù)學(xué)軟件，可以快速地進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。例如在計(jì)算函數(shù)值的實(shí)部、虛部和乘冪時(shí)，采用Matlab軟件計(jì)算，就能使繁瑣的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。也可以利用Matlab軟件，繪制復(fù)變函數(shù)中有關(guān)函數(shù)的圖像，清晰的圖像可以使學(xué)生更直觀地理解復(fù)變函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。例如在講授復(fù)變函數(shù)中三角函數(shù)時(shí)，復(fù)正弦和復(fù)余弦雖然與學(xué)生中學(xué)學(xué)過(guò)的正弦和余弦形式相同，都具有奇偶性、周期性以及可微性，但是在復(fù)數(shù)域內(nèi)，正弦和余弦不再有界。如果利用Matlab軟件做出正弦和余弦的圖像，從圖像上就可以直觀地觀察函數(shù)的變化趨勢(shì)，從而讓學(xué)生更好地理解正弦和余弦的關(guān)系。這樣，學(xué)生在實(shí)際操作中不知不覺(jué)地鞏固了已學(xué)的復(fù)變函數(shù)知識(shí)，能夠達(dá)到潛移默化的效果。

［1］劉顯全.復(fù)變函數(shù)教學(xué)法探討［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2012（2）：155-158.

［2］楊棋，曹月波，王娜.對(duì)比教學(xué)法在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.蘭州文理學(xué)報(bào)，2014（1）：106-110.

［3］郭秀鳳，復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)改革探討［J］.科技信息，2012（3）：21-22.

An Analysis of Teaching Reform on Complex Function

PENG Zhuohua1,ZHANG Gengrong2

（1.School of Mathematics and Computing Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,411201 China;2.School of Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning,Guangxi,530004 China）

At present,college students are usually unclear about“complex variable function”course during teaching of“complex function”in most colleges or universities.So there are problems as students being uninterested in this course;teaching focus being uncer?tain;single teaching method;unreasonable teaching arrangement and so on.Upon this questions this paper presents six ideas of teaching reform in the complex function.

complex function subject;teaching reform;multimedia

G642

： A

： 2096-2126（2016）06-0136-03

（責(zé)任編輯：雷凱）

2016-10-21

新世紀(jì)廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目“地方院校數(shù)學(xué)類專業(yè)創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式的研究與實(shí)踐”研究成果。

彭卓華（1967—），男，湖南邵東人，博士研究生，研究方向：數(shù)值代數(shù)。